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专题一:集合,复数和线性规划



一、集合
【例题 1】 已知集合 A ? {x | ?2 ? x ? 7} ,B ? ?x m ? 1 ? x ? 2m ? 1? , 且B??, 若 A B ?A , 则( ) A. ?3 ? m ? 4 B. ?3 ? m ? 4 C. 2 ? m ? 4 D. 2 ? m ? 4 , 则 ( )

? 变式: 已知集合 A ? {x |1 ?

x ? 4} , 且B??, 若A B A B ? ?x m ? 1 ? x ? 2m ? 1? ,

A. m ? 0 或 2 ? m

B. 2 ? m

C. 2 ? m ?

5 2

D.

5 ?m 2
B?

【例题 2】设函数 f ( x) ? lg(1? x2 ) ,集合 A ? {x | y ? f ( x)} , B ? { y | y ? f ( x)} ,则 A ( ) A. [ ?1, 0] B. (?1,0) C. (??, ?1) [0,1) D. (??, ?1] (0,1)

【例题 3】 设 U ? R , 集合 A ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} ,B ? {x | x2 ? (m ? 1) x ? m ? 0} , 如果 (?U A)
B ? ? ,试求 m 的值。

2 【例题 4】设集合 M ? [0,1, 2] , N ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0} ,则 M ? N ? (

)

A . {1}

B . {2}
2

C . {0,1}

D . {1, 2}
)

变式:已知集合 A ? {x | x ? x ? 2 ? 0} ,集合 B 为整数数集,则 A ? B ? (

A . {?1, 0,1, 2}

B . {?2, ?1, 0,1}

C . {0,1}

D . {?1, 0}
)

【例题 5】已知全集 U ? R , A ? {x | x ? 0} , B ? {x | x ? 1} ,则集合 ? U ( A ? B) ? (

A . {x | x ? 0}

B . {x | x ? 1}

C . {x | 0 ? x ? 1}
2

D . {x | 0 ? x ? 1}
)

变式:设全集 U ? {x ? N | x ? 2} ,集合 A ? {x ? N | x ? 5} ,则 ? UA?(

A .?

B . {2}

C . {5}

D . {2,5}

x 【例题 6】已知一元二次不等式 f ( x) ? 0 的解集为 {x | x ? ?1 或 x ? } ,则 f (10 ) ? 0 的

1 2

解集为(



A . {x | x ? ?1 或 x ? ? lg 2}

B . {x | ?1 ? x ? ? lg 2}
1/4

C . {x | x ? ? lg 2}

D . {x | x ? ? lg 2}


【例题 7】 已知集合 A ? {0,1, 2} , 则集合 B ? {x ? y | x ? A, y ? A} 中元素的个数是 (

C .5 D .9 1 【例题 8】 设平面点集 A ? {( x, y ) | ( y ? x) ( y ? ) ? 0} , B ? {( x, y) | ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1} , x 则 A B 所表示的平面图形的面积为( ) 3 3 4 ? C. ? A. ? B. ? D. 5 4 7 2
A .1

B .3

二、复数
【例题 1】已知 x, y 为共轭复数,且 ( x ? y)2 ? 3xyi ? 4 ? 6i ,求 x, y ;

变式:已知 a, b ? R , i 是虚数单位。若 (a ? i) (1 ? i) ? bi ,则 a ? bi ? 【例题 2】若复数 z 满足 iz ? 2 ? 4i ,则在复平面内, z 对应的点的坐标是( )

A . (2, 4)
【例题 3】已知复数 z ?

B . (2, ?4)

C . (4, ?2)

D . (4, 2)

3 ?i , z 是 z 的共轭复数,则 z z ? (1 ? 3i)2

【例题 4】设 z ?

A . ?1 ? 3i

10i ,则 z 的共轭复数为( ) 3?i C . 1 ? 3i B . ?1 ? 3i


D . 1 ? 3i

变式:复数 z ? (3 ? 2i)i 的共轭复数 z 等于(

A . ?2 ? 3i

B . ?2 ? 3i

C . 2 ? 3i

D . 2 ? 3i


【例题 5】设复数 z1 , z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称, z1 ? 2 ? i ,则 z1 z2 ? (

A . ?5

B .5

C . ?4 ? i

D . ?4 ? i

2/4

【例题 6】满足

A.

1 1 ? i 2 2

z ?i ? i ( i 为虚数单位)的复数 z ? ( z 1 1 1 1 C .? ? i B. ? i 2 2 2 2



D .?

1 1 ? i 2 2


变式 1: z 是 z 的共轭复数,若 z ? z ? 2 , ( z ? z)i ? 2 ( i 为虚数单位) ,则 z ? (

B . ?1 ? i 1 【例题 7】复数 z ? 的模为( i ?1

A .1 ? i

C . ?1 ? i


D .1 ? i

A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D .2


变式:若复数 z 满足 (3 ? 4i) z ?| 4 ? 3i | ,则 z 的模为(

A .1

B.

7 5

C.

1 5

D .2

三、线性规划
?x ? y ? 7 ? 0 ? 【例题 1】设 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?3 x ? y ? 5 ? 0 ?
A . 10 B .8


C .3

D .2

?y ? x ? 变式 1: 若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 , 且z ?2 x ? y 的最大值和最小值分别为 m 和 n , ? y ? ?1 ?
则 m ? n 则( A .5 )

B .6

C .7

D .8


?x ? y ? 2 ? 0 ? 变式 2:设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最小值为( ?y ?1 ?
A .2 B .3

C .4

D .5

?x ? y ? 2 ? 0 ? 【例题 2】 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,若 z ? y ? ax 取得最大值的最优解不唯一, ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
则实数 a 的值为( )

1 A . 或 ?1 2

B .2 或

1 2

C . 2 或1

D . 2 或 ?1

3/4

?y ? x ? 变式:设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,且 z ? 2 x ? y 的最小值为 ?6 ,则 k ? ?y ? k ? ?x ? 0 ?x ? y ? 1 ? 【例题 3】由不等式 ? y ? 0 ? 1 确定的平面区域记为 ,不等式组 ? x ? y ? ?2 确定的 ? ?y ? x ? 2 ? 0 ?
1 中随机取一点,则该点恰好在 ?2 内的概率为( 平面区域记为 ?2 ,在 ?



A.

1 8

B.

1 4

C.

3 4

D.

7 8

【例题 4】已知 x, y 满足约束条件 ?

? x ? y ?1 ? 0 ,当目标函数 z ? ax ? by ( a ? 0, b ? 0 ?2 x ? y ? 3 ? 0


)在该约束条件下取到最小值 2 5 时, a 2 ? b 2 的最小值为(

A .5

B .4

C. 5

D .2

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 【例题 5】在平面直角坐标系 xOy 中, M 为不等式组 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,所表示的区域上一 ?3 x ? y ? 8 ? 0 ?
动点,则直线 OM 斜率的最小值为( )

A .2

B .1

C .?

1 3

D .?

1 2

?2 x ? y ? 1 ? 0 ? 变式:设关于 x, y 的 不等式 ? x ? m ? 0 表示的平面区域内存在点 P( x0 , y0 ) ,满足 ?y ? m ? 0 ?

x0 ? 2 y0 ? 2 ,求得 m 的取值范围是(
4 A . (??, ) 3 1 B . (??, ) 3



2 C . (??, ? ) 3

5 D . (??, ? ) 3

?x ? 0 ? 【例题 6】若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ,则 x ? y 的取值范围是 ?2 x ? y ? 3 ? ?x ? 2 y ? 2 ? 变式: 若变量 x, y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4 , 则目标函数 z ? 3x ? y 的取值范围是 ( ? 4 x ? y ? ?1 ?



3 A . [? , 6] 2

3 B . [ ? , ?1] 2

C . [?1, 6]
4/4

3 D . [ ?6, ] 2



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