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5-1 导数



第五章 导数与微分
§1 §2 §3 §4 §5 导数 求导法则 与导数公式 隐函数与参数方程求导法则 微分 高阶导数与高阶微分

§1 导数

在第一章研究了变量与变量之间的依赖关系即函数关 系,在第二、三章研究了变量的变化趋势即函数极限. 除

此之外,还要研究各变量之间相对变化快慢的程度:如质

/>点运动速度、城市人口增长的速度、国民经济发展的速度

等等,这就需要用导数来研究.

一 导数的定义
(一)引例 1.变速直线运动的瞬时速度v(t0)(P177) 设作变速直线运动的质点的运动轨迹为 s = s(t),设质点P从 t0时刻到t0+Δt时刻,动点P在Δt 这段时间内经过的路程为 Δ s = s(t0+Δt)-s (t0) ,
P Δs

? 平均速度为

t0

t 0 ? ?t

?

?s s( t 0 ? ?t ) ? s( t 0 ) v? ? ?t ?t 即路程的增量与时间的增量之商.

当Δt变化, v 也随之而变;当|Δt|很小时,v 可看作是质点 在时刻t0的“瞬时速度”的近似值. 从而当Δt→0时,对平均速

度取极限,便有
s( t 0 ? ?t ) ? s( t 0 ) ?s lim ? lim ? t ? 0 ?t ? t ?0 ?t

如果极限 lim

s( t ? ?t ) ? s( t 0 ) ?s ? lim 0 存在,则称此极限值为质 ?t ? 0 ? t ?t ? 0 ?t

点在时刻t0的瞬时速度,即
s( t 0 ? ?t ) ? s( t 0 ) ?s v ( t 0 ) ? lim ? lim . ?t ? 0 ? t ?t ? 0 ?t

2.平面曲线的切线斜率(P87)

第五章

导数与微分§1

导数的概念

设曲线C 的方程为y=?(x),P(x0 ,y0)为C上一定,Q(x0+Δx,y0+Δy)
为C上一动点,作割线 PQ, 与x轴夹角为?,则割线PQ的斜率为
k PQ ?y f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ? tan ? ? ? ?x ?x y
y ? f ( x)
Q ( x 0 ? ? x , y0 ? ? y )

当动点Q沿曲线C趋向定点P时,有 Δx→0. 此时割线 PQ 的极限位置 就是曲线C 过定点P 的切线PT; 那么割线斜率的极限就是切线PT 的斜率,即 k ? tan ? ? lim tan ?
?x ? 0

C

P ( x0, y0 )

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y ? lim . ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x 如果上述极限存在,此极限值便是曲线在点x0处切线的斜率,即 f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y k ? lim ? lim . ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x ? lim

o

?

??????? ?x ?
x0

? ? ? ? ?y T ? ? ?

x0 ? ? x

x

(二)导数的概念
定义(P180) 设函数 y =?(x)在点 x0 的某个邻域内有定义,

设自变量在点 x0 处有增量Δx ≠ 0 时 (x0+Δx也在该邻域内),函数
有相应增量Δy = f(x0+Δx)-f(x0),若极限
f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y ? lim ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x lim

存在,则称此极限值为函数?(x) 在点 x0 处的导数(或微商). 也称 ?(x)在点 x0处可导. 记作
f ?( x0 ), 即 f ?( x 0 ) ? y ? x ? x ?
0

y? df dx

x ? x0 ,

dy dx dy ? dx

,
x ? x0

df dx

.
x ? x0

x ? x0

x ? x0

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y ? lim ? lim . ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x

若此极限不存在,则称?(x)在点 x0 处不可导.

第五章

导数与微分§1

导数的概念

若质点运动规律是 s ? s ( t ),则质点在 t o时刻的瞬时速度 s ? v ( t o )= lim ? =s ( t o ); ?t ? 0 ?t 曲线 y ? f ( x ) 在 ( xo , yo )处的切线斜率 ?y k ? lim ? x ? f ?( xo ). ?x ? 0

(1)

? y f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ) 反映的是自变量x从x0 改变到 ? ?x ?x

x0+Δx时函数的平均变化速度,称为函数的平均变化率. 而导数
?y 反映的是函数在点 x0 处的变化速度,也称为函 ?x ? 0 ? x 数在 x0 处的变化率. f ?( x0 ) 的值由 x0 唯一确定(极限的唯一性). f ?( x0 ) ? lim



(2)若令 x ? x0 ? ?x 则 ?x ? 0 ? x ? x0 ,从而
f ?( x0 ) ? lim
x ? x0

第五章

导数与微分§1

导数的概念

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) 即 f ?( x0 ) ? lim ?x ? 0 ?x f ( x ) ? f ( x0 ) ? lim x ? x0 x ? x0 f ( x 0 ? h) ? f ( x 0 ) ? lim h? 0 h 例 若 f ?( x0 )存在,则

f ( x ) ? f ( x0 ) x ? x0

f ( x0 ) ? f ( x0 ? h) f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ? ? ? f ( x0 ), lim ? f ?( x0 ), lim h? 0 ?x ? 0 h ?x f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) 再例如 lim h? 0 2h
[ f ( x0 ? h) ? f ( x0 )] ? [ f ( x0 ) ? f ( x0 ? h)] ? f ?( x ). ? lim 0 h? 0 2h

例 1 求函数 f (x) = x2 在 x0 = 1 处的导数,即 f ?(1).
解 第一步求 ?y : = 2?x +(?x)2 .

?y = f (1+ ?x) - f (1) = (1+ ?x)2 - 12

第二步求

?: y ?x

?y 2 ? x ? ( ?x ) 2 ? ? 2 ? ?x ( ?x ? 0). ?x ?x
第三步求极限:

?y lim ? lim ( 2 ? ?x ) ? 2. ?x ? 0 ? x ?x ? 0
所以, f ?(1) = 2.

例 2 求曲线 y = x2 在点 (1, 1) 处的切线方程.
解 为2, 从例 1 知 (x2) ?|x=1 = 2 , 即点 (1, 1) 处的切线斜率 所以, 切线方程为 y – 1 = 2(x - 1). 即 y = 2 x - 1.

例3 常量函数 f (x) = c 在任何一点 x 的导数都为

零. 这是因为 ?y ? 0,所以

f ?( x ) ? 0.

例4 证明函数 f (x) = | x | 在 x = 0 处不可导. 证 因为
y
y? x

f ( x ) ? f (0) x ? 1, ? ?? x?0 x ? ?1,

x ? 0, x ? 0,
o x

当 x ? 0 时它的极限不存在, 所以 f (x) 在 x = 0
处不可导.

第五章

导数与微分§1

导数的概念

例 讨论下列函数在 x = 0 点处的可导性:

1 ? ? x sin , x ? 0, (1) f ( x ) ? ? x ? x ? 0; ? 0,

1 ? 2 ? x sin , x ? 0, (2) g ( x ) ? ? x ? x ? 0. ? 0, 1 x sin f ( x ) ? f (0) 1 x ? 解 (1) f (0) ? lim ? lim sin 不存在, ? lim x?0 x?0 x?0 x?0 x x
1 x sin 1 g ( x ) ? g (0) x ? ? lim x sin ? 0 (2) g (0) ? lim ? lim x ?0 x?0 x ? 0 x x?0 x
2

故 f ( x ) 在 x ? 0处不可导 .

故 g ( x ) 在 x ? 0处可导且 g ?(0) ? 0.

(三)左右导数 定义(P181)
f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y 如果极限 lim? 存在, ? lim? ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x

则称此极限值为函数?(x)在点 x0 处的右导数. 也称?(x)在点 x0 右可导. 记作
f ( x ) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ? lim? . f ?? ( x0 ) ? lim? ?x ? 0 x ? x0 ?x x ? x0 f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y 如果极限 lim? 存在, 则称此极 ? lim? ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x f ( x ) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ? lim? . x ? x0 x ? x0 ?x

限值为函数 ?(x)在点 x0 处的左导数. 也称?(x)在点 x0 左可导. 记作 (P181)
f ?? ( x0 ) ? lim?
?x ? 0

?(x)在 x0 处可导,导数为
f ?( x 0 ) ?

f ?? ( x0 ) ? f ?? ( x0(存在且相等) ) .

例 讨论函数y = |x|在x =0点处的可导性.



f ( x ) ? f (0) ? f ? (0) ? lim? x?0 x?0 x ?0 x ? lim? ? 1, ? lim? x?0 x x?0 x ? 0 f ( x ) ? f (0) f ?? (0) ? lim? x?0 x?0 ?x ? ?1, ? lim ? lim? x?0 x x?0 x ? 0
x ?0

y

y? x

o

x

所以 f ?? (0) ? f ?? (0), 故 f ?(0)不存在 .

第五章

导数与微分§1

导数的概念

四 可导与连续的关系
定理1(P181) 若函数f(x)在点x0可导,则f(x)在点x0一定连续的. 证 根据有限增量公式, ? y ? f ?( x 0 )? x ? o( ? x ).

lim ? y ? lim[ f ?( x0 )? x ? o( ? x )] ? 0 ?x ? 0 ?x ? 0

故 函数 f ( x )在点 x0 连续 .
注(P182) 反之不成立.即连续不一定可导. 比如

函数 f ( x ) ? x 在 x ? 0处连续但不可导 .
但是不连续一定不可导.
y
y? x

o

x

? 1 ? cos x , 例7 设 f ( x ) ? ? x, ?

x ? 0, x ? 0.

试讨论 f (x) 在 x = 0 处的左、右导数和导数.

解 容易看到 f (x) 在 x ? 0 处连续. 又因

所以

? 1 ? cos ? x , ? x ? 0, f (0 ? ?x ) ? f (0) ? ?? ?x ?x ? 1, ? x ? 0, ?
1 ? cos ? x ? (0) ? lim f? ? 0 , ?x ? x ?0?

Δx ? (0) ? lim f? ? lim 1 ? 1. ? x ? 0? Δ x ? x ? 0?
故 f (x) 在 x = 0 处不可导. 由于 f ?? (0) ? f ?? (0),

? si n x , x ? 0 例8. 设 f ( x ) ? ? , 问 a 取何值时, f ?(0) ?a x , x ? 0 存在, 并求出 f ?(0).
解:

sin x ? 0 f ?? (0) ? lim? ? 1, x? 0 x?0

ax ? 0 ? a, f ?? (0) ? lim? x? 0 x ? 0
∴ 要使得 f ?(0) 存在, 必须 f ? (0) ? f ? (0). ? ? 故

a ? 1, 且 f ?(0) ? 1.

四 导函数

第五章

导数与微分§1

导数的概念

定义(P90) 如果函数?(x)在某区间(a, b)内每一点都可导,则

称?(x)在该区间 (a, b)内可导. 设函数?(x)在区间(a, b)内可导, ?x ? ( a , b ) 都有一个导数值 f ?( x )
与之对应,从而得到一个定义在(a, b)内的新函数 f ?( x ) . 将它称为

?(x)的导函数,简称导数,记为
f ?( x ), y ?, dy , dx df . dx

dy df ?y f ( x ? ?x ) ? f ( x ) 即 f ?( x ) ? y ? ? ? ? lim ? lim . dx dx ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x

f ?? ( b )存在, 则称函数?(x)在[a, b]内可导.

定义(补充) 若函数?(x)在区间(a, b) 内每一点都可导,且 f ?? ( a ),

dy 仅为一个记号,学了微分之后就会知 注 这里 dx
道,这个记号实质是一个“微分的商”. 相应地, f ?( x0 ) 也可表示为

d f ( x) dx


x ? x0

,

dy ? y x ? x0 , d x

x ? x0 .

d f ( x0 ) . f ?( x 0 ) ? f ?( x ) x ? x0? dx

利用导数的定义求函数的导数

f ( x ? h) ? f ( x ) f ?( x ) ? lim h? 0 h
一般步骤:

(1) 求增量 ?y ? f ( x ? h) ? f ( x);
( 2) 算比值
( 3) 求极限

f ( x ? h) ? f ( x ) ; h
f ( x ? h) ? f ( x ) f ?( x ) ? lim . h? 0 h

例2 求函数 y ? xn 的导数,n为正整数.

解: f ?( x ) ? lim f ( x ? h) ? f ( x ) ? lim ( x ? h) ? x
h? 0

n

n

h

h? 0

h

? lim[nx
h?0

n ?1

n( n ? 1) n? 2 n ?1 ? x h ? ?? h ] 2!
n n ?1

由此得

( x )? ? n x

.

例4(P184) (ii) 求三角函数y = sin x的导数.

?y sin( x ? ?x ) ? sin x 解 (sin x )? ? lim ? lim ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x ?x ?x 2cos( x ? )sin 2 2 ? lim ?x ? 0 ?x ?x sin ?x 2 ? lim cos( x ? )? ?x ? 0 ?x 2 2 ?x sin ?x 2 ? cos x ? lim cos( x ? ) ? lim ?x ? 0 2 ?x ? 0 ? x 2 故 (sin x )? ? cos x , 同理可证 (cos x )? ? ? sin x .

1 (ii) (log a x )? ? log a e (a ? 0, a ? 0, x ? 0) , x 1 (ln x )? ? ; x?h x log a log ? ?(log f (x ?xh )h ?) f x) a x a( x lim f ?( x ) ? lim ? lim h? ?0 0 h hh h?0 h

1 h? h? ? ? ? lim loga ? 1 ? ? ? limloga ? 1 ? ? h? 0 h x ? h? 0 x? ? ?
1 h ? ? 1 log e. ? ? lim log a ? 1 ? ? a h ? 0 x x x? ?
x h

1 h



1 (log a x )? ? log a e. x

特殊地,

1 (ln x )? ? . x

(iii) (a x )? ? a x ln a .

a f ( x ? h) ? f ( x ) (iii) f ?( x ) ? lim ? lim h? 0 h?0 h

x?h

?a h

x

a ?1 x ? a lim ? a lna. h?0 h
x

h



( a )? ? a ln a .

x

x

特殊地当a ? e 时,

(e )? ? e .

x

x

故由前述可知 C ? ? 0;
( x n )? ? nx n ?1 ? ( x ? )? ? ? x ? ?1 (? 可为任意实数 );
1 1 (log a x )? ? , (ln x )? ? ; x ln a x

( a x )? ? a x ln a ,

( e x )? ? e x ;

(sin x )? ? cos x , (cos x )? ? ? sin x .

第五章

导数与微分§1

导数的概念



? sin x , 设 f ( x) ? ? ? x,

x ? 0, 求 f ?( x ). x ? 0,

注 分段函数求导时,分段点导数用左右导数求. 解

当 x ? 0时 , f ?( x ) ? cos x; 当 x ? 0时 , f ?( x ) ? 1. 当 x ? 0时 ,
sin x ? 0 ? 1; f ??(0) ? lim ? x?0 x?0 x?0 ? 1. f ??(0) ? lim x ? 0? x ? 0
x ? 0, x ? 0.

所以 f ?(0) ? 1.

? cos x , 故 f ?( x ) ? ? ? 1,

三 导数的几何意义

y

第五章

导数与微分§1

导数的概念

f ?( x0 )表示曲线 y ? f ( x ) 在点P ( x0 , f ( x0 ))处的切线的 斜率,即 f ?( x0 ) ? tan ? , (? 为倾角)
P

y ? f ( x)

T
?

o

x0

x

1.根据导数的几何意义,可以得到曲线 y=f(x) 在定点 P(x0,y0) 处的切线方程为:

1 2.如果 f ?( x0 ) ? 0,则法线的斜率为 ? ,从而在定点P f ?( x 0 ) (x0,y0)处法线方程为: 1 y ? y0 ? ? ( x ? x0 ). f ?( x 0 )

y ? y0 ? f ?( x 0 )( x ? x 0 ).

如例1 函数f ( x ) ? x 在x ? 1处的切线方程为 :
2

y ? 1 ? 2( x ? 1) ? y ? 2 x ? 1

第五章
3 2

导数与微分§1

导数的概念

例 曲线 y ? x 上哪些点处的切线与直线 y= 3x?1 平行? 解 由导数的几何意义可知,曲线 y ? x 在点 P(x0,y0) 处的 切线的斜率为: 1 3 3 3 2 2 x0 . y ? x ? x0 ? ( x )? x ? x0 ? x x ? x0 ? 2 2
3 2

而直线 y= 3x?1 的斜率为 k=3.
3 x0 ? 3. 根据两直线平行的条件有 2

解此方程, x0=4 代入曲线方程 y ? x ,得 y0=8.
所以,曲线 y ? x 在点 P(4,8) 处的切线与直线 y= 3x?1 平行.
3 2

3 2

例11 求曲线 y ? x3在其上任一点 P (x0 , y0 ) 处 的切线和法线方程. 解 由例8知道

y? x ? x ? x
0

? ?
3

?
x ? x0

2 ? 3 x0 ,

因此 y = x3在点 P 的切线方程为 法线方程为
2 y ? y0 ? 3x0 (x ? x0 ) ,

1 ( x ? x0 ) 当 x0 ? 0 时 y ? y0 ? ? 2 3 x0 当 x0 =0 时 x =x0

例12 求曲线

y ? 3 x 在点 P(0, 0) 处的切线和法线

方程.
解 由于 y ? 3 x 在 x ? 0 处连续,且

Δx ? 0 1 lim ? lim 3 ? ??, 2 Δx ? 0 Δx? 0 Δx Δx
所以 y ? 3 x 在点 P ( 0, 0 ) 处的切线、法线方程分

3

别为 x ? 0 和 y ? 0.

例13. 求曲线 y ? x 的通过点 ( 0, ? 4) 的切线方程. 解: 设切点为 ( x0 , y0 ), 则 y ? x , 0 且切线斜率为
3 2 0

3 2

求出切点是关键!

3 f ?( x0 ) ? x 2

3 ?1 2

3 ? x0 , 2 x ? x0

切线方程为

3 y ? y0 ? x0 ( x ? x0 ), 2
3 2 0

3 因为切线通过点 (0, ? 4), 则 ? 4 ? x ? x0 (0 ? x0 ), 2
解得 x0 ? 4, y0 ? 8, 所求切线方程为
3 x ? y ? 4 ? 0.



连续函数不存在导数举例

1. 函数 f ( x )连续 , 若 f ??( x0 ) ? f ??( x0 )则称点 x0 为函数 f ( x ) 的角点 , 函数在角点不可导 .
例如,
y
2

?x , f ( x) ? ? ? x,

x?0 , x?0

y?x

2

y?x

0

x

在 x ? 0处不可导, x ? 0为 f ( x )的角点.
返回

2. 设函数 f ( x )在点 x0 连续, 但 f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ?y lim ? lim ? ? , ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x 称函数 f ( x )在点 x0有无穷导数. (不可导)
例如,

y

y ? 3 x ?1

f ( x ) ? 3 x ? 1,

在 x ? 1处不可导.

0

1

x

返回

3. 函数 f ( x )在连续点的左右导数都不存在 (指摆动不定) , 则 x0点不可导 .
例如,
y

1 ? ? x sin , f ( x) ? ? x ? ? 0,
在x ? 0处不可导.

x?0 , x?0

1

-1/π

0

1/π

x

返回

4. 若f ?( x0 ) ? ? , 且在点 x0的两个单侧导数 符号相反 , 则称点 x0为函数 f ( x )的尖点 (不可导点) .
y
y ? f ( x)

y

y ? f ( x)

o

x

o

x0

x

返回

牛顿(1642 – 1727)
伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文 学家和自然科学家. 贡献是创立了微积分. 流数 (微分) 术 , 他在数学上的卓越

1665年他提出正 并于1671


次年又提出反流数(积分)术,

年完成《流数术与无穷级数》一书 (1736年出版).

还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等 .

莱布尼兹(1646 – 1716)
德国数学家, 哲学家.
微积分的创始人 , 他和牛顿同为

他在《学艺》杂志

上发表的几篇有关微积分学的论文中,
有的早于牛顿, 所用微积分符号也远远优于牛顿 . 系统地阐述二进制计

他还设计了作乘法的计算机 ,

数法 , 并把它与中国的八卦联系起来 .



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