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2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题(全国I)精校版


招生全国统一考试(全国Ⅰ 理科数学( 2010 年普通高等学校 招生全国统一考试(全国Ⅰ卷)理科数学(必 修+选修 II)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 4 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 注意事项: 1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。 ......... 3.第 I 卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 参考公式: 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么

球的表面积公式

P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )
如果事件 A、B 相互独立,那么

S = 4π R 2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P ( A B ) = P ( A) P ( B )
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么

3 V = π R3 4
其中 R 表示球的半径

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k Pn (k ) = Cn p k (1 p )n k (k = 0,1, 2, …n)

一、选择题 (1)复数 (A) i

3 + 2i = 2 3i

(B) i

(C)12-13 i

(D) 12+13 i

(2)记 cos( 80°) = k ,那么 tan100° =

1 k2 A. k

1 k2 B. C. k

k 1 k
2

D. -

k 1 k2

y ≤ 1, (3)若变量 x, y 满足约束条件 x + y ≥ 0, 则 z = x 2 y 的最大值为 x y 2 ≤ 0,
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

(4)已知各项均为正数的等比数列{ an }, a1a2 a3 = 5, a7 a8 a9 =10,则

a4 a5 a6 =

(A) 5 2
3

(B) 7
5

(C) 6

(D) 4 2

(5) (1 + 2 x ) (1 3 x ) 的展开式 中 x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4 (6)某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选择课 4 门,一位同学从中共选 3 门,若要求两类课程 中各至少选一门,则不同的选法共有 (A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种 (7)正方体 ABCD- A1 B1C1 D1 中,B B1 与平面 AC D1 所成角的余弦值为

A

2 3

B

3 3

C

2 3
1 2

D

6 3

(8)设 a= log 3 2,b=In2,c= 5 A a<b<c Bb<c<a

,则 D c<b<a
0

C c<a<b

2 2 (9)已知 F1 、 F2 为双曲线 C: x y = 1 的左、右焦点,点 p 在 C 上,∠ F1 p F2 = 60 ,则 P

到 x 轴的距离为 (A)

3 2

(B)

6 2

(C)

3

(D)

6

(10)已知函数 f ( x ) =| lg x | ,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是 (A) (2 2, +∞ ) (B) [2 2, +∞) (C) (3, +∞) (D) [3, +∞)

(11)已知圆 O 的半径为 1,PA 、PB 为该圆的两条切线,A、B 为俩切点,那么 PA PB 的 最小值为 (A) 4 + 2 (B) 3 + 2 (C) 4 + 2 2 (D) 3 + 2 2

uuu uuu v v

(12)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的 最大值为 (A)

2 3 3

(B)

4 3 3

(C) 2 3

(D)

8 3 3

绝密★ 绝密★启用前

2010 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(必修+选修 II)

第Ⅱ卷
注意事项: 1.答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚,然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.第Ⅱ卷共 2 页,请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答,在试题卷上作答无效。 ......... 3。第Ⅱ卷共 l0 小题,共 90 分。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. (注意:在试题卷上作答无效)

(13)不等式 2 x + 1 x ≤ 1 的解集是
2

.

(14)已知 α 为第三象限的角, cos 2α =
2

3 π ,则 tan( + 2α ) = 5 4

. .

(15)直线 y = 1 与曲线 y = x x + a 有四个 交点,则 a 的取值范围是

(16)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D ,

a + b = a cot A + b cot B uu r uur 且 BF = 2FD ,则 C 的离心率为

.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 10 分)(注意:在试题卷上作答无效) ............ 已知 VABC 的内角 A , 及其对边 a B , b 满足 a + b = a cot A + b cot B , 求内角 C .

(18)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... . 投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审, 则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评 审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录 用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5,复审的稿件能通过评审的概率为 0.3. 各专家独立评审. (I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率; (II)记 X 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被 录用的篇数,求 X 的分布列及期望.

(19) (本小题满分 12 分) 注意:在试题卷上作答无效) (注意: ......... 如图,四棱锥 S-ABCD 中,SD ⊥ 底面 ABCD,AB//DC,AD ⊥ DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E 为

棱 SB 上的一点,平面 EDC ⊥ 平面 SBC . (Ⅰ)证明:SE=2EB; (Ⅱ)求二面角 A-DE-C 的大小 .

(20)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) (注意: ......... 已知函数 f ( x ) = ( x + 1) ln x x + 1 . (Ⅰ)若 xf '( x) ≤ x 2 + ax + 1 ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)证明: ( x 1) f ( x) ≥ 0 .

(21)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) (注意: ......... 已知抛物线 C : y 2 = 4 x 的焦点为 F,过点 K ( 1, 0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点, 点 A 关于 x 轴的对称点为 D . (Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上; (Ⅱ)设 FA FB =

uuu uuu r r

8 ,求 BDK 的内切圆 M 的方程 . 9

(22)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) (注意: ......... 已知数列 {an } 中, a1 = 1, an +1 = c

1 . an

(Ⅰ)设 c =

5 1 , bn = ,求数列 {bn } 的通项公式; 2 an 2

(Ⅱ)求使不等式 an < an +1 < 3 成立的 c 的取值范围 .

年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ 2010 年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷)

理科数学试题(必修+选修Ⅱ)参考答案 理科数学试题(必修+选修Ⅱ)参考答案 Ⅱ)

(18)解 (18)解: (Ⅰ)记 A 表示事件:稿件能通过两位初审专家的评审; B 表示事件:稿件恰能通过一位初审专家的评审; C 表示事件:稿件能通过复审专家的评审; D 表示事件:稿件被录用. 则 D=A+BC,

P ( A) = 0.5 × 0.5 = 0.25, P ( B ) = 2 × 0.5 × 0.5 = 0.5, P (C ) = 0.3, P( D) = P( A + B C )
= P ( A) + P ( B C ) = P ( A) + P ( B ) P (C ) =0.25+0.5×0.3 =0.40.

(Ⅱ) X ~ B(4, 0.4) ,其分布列为:

P( X = 0) = (1 0.4)4 = 0.1296,
1 P ( X = 1) = C4 × 0.4 × (1 0.4)3 = 0.3456, 2 P ( X = 2) = C4 × 0.42 × (1 0.4) 2 = 0.3456, 3 P ( X = 3) = C4 × 0.43 × (1 0.4) = 0.1536,

P ( X = 4) = 0.4 4 = 0.0256.
期望 EX = 4 × 0.4 = 1.6 . 解法一: (19) 解法一: (Ⅰ)连接 BD,取 DC 的中点 G,连接 BG, 由此知 DG = GC = BG = 1, 即 ABC 为直角三角形, 故

BC ⊥ BD .
又 SD ⊥ 平面ABCD,故BC ⊥ SD , 所以, BC ⊥ 平面BDS,BC ⊥ DE . 作 BK ⊥ EC, K 为垂足,因平面EDC ⊥ 平面SBC ,

(Ⅱ) 由 SA =

SD 2 + AD 2 = 5, AB = 1, SE = 2 EB, AB ⊥ SA, 知
2 2

1 2 AE = SA + AB = 1, 又AD=1 . 3 3
故 ADE 为等腰三角形.

取 ED 中点 F,连接 AF ,则 AF ⊥ DE , AF = 连接 FG ,则 FG / / EC , FG ⊥ DE .

AD 2 DF 2 =

6 . 3

所 以, ∠AFG 是二面角 A DE C 的平面角. 连接 AG,A G= 2 , FG =

DG 2 DF 2 =

6 , 3

AF 2 + FG 2 AG 2 1 cos ∠AFG = = , 2 AF FG 2
所以,二面角 A DE C 的大小为 120°. 解法二: 解法二: 为坐标原点, 轴的正半轴, 以 D 为坐标原点,射线 DA 为 x 轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系 D xyz ,

由 m ⊥ DE , m ⊥ DC ,得

m ⊥ DE = 0 , m ⊥ DC = 0


λx λy 2z + + = 0, 2 y = 0 . 1+ λ 1+ λ 1+ λ

令 x = 2 ,则 m = (2, 0, λ ) .

20.解 20.解: (Ⅰ) f ′( x ) =

x +1 1 + ln x 1 = ln x + , x λ

xf ′( x) = x ln x + 1 ,
2 题设 xf ′( x) ≤ x + ax + 1 等价于 ln x x ≤ a .

令 g ( x) = ln x x ,则 g ′( x) =

1 1 x

当 0<x<1 , g ' ( x)>0 ;当 x≥1 时, g ' ( x)≤0 , x = 1 是 g ( x) 的最大值点,

g ( x)≤g (1) = 1
综上, a 的取值范围是 [ 1, +∞ ) . (Ⅱ)有(Ⅰ)知, g ( x)≤g (1) = 1 即 ln x x + 1≤0 . 当 0<x< 时, f ( x) = ( x + 1) ln x x + 1 = x ln x + (ln x x + 1)≤0 ; 1 当 x≥1 时,

f ( x) = ln x + ( x ln x x + 1) = ln x + x(ln x + 1 1) x

= ln x x(ln
≥0
所以 ( x 1) f ( x )≥0 (21)解: 21)

1 1 + 1) x x

设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , D ( x1 , y1 ) , l 的方程为 x = my 1( m ≠ 0) .

(Ⅱ)由①知,

x1 + x2 = (my1 1) + (my2 1) = 4m 2 2 x1 x2 = (my1 1)(my2 1) = 1.
因为

uur uur FA = ( x1 1, y1 ), FB = ( x2 1, y2 ) , uur uur FA FB = ( x1 1)( x2 1) + y1 y2 = x1 x2 ( x1 + x2 ) + 1 + 4 = 8 4m 2

故 解得

8 4m 2 = m=± 4 3

8 , 9

所以 l 的方程为

3 x + 4 y + 3 = 0, 3 x 4 y + 3 = 0
又由①知

y2 y1 = ± (4m) 2 4 × 4 = ±

4 7 3

故直线 BD 的斜率

4 3 , =± y2 y1 7

因而直线 BD 的方程为 3 x + 7 y 3 = 0, 3 x 7 y 3 = 0. 因为 KF 为 ∠BKD 的平分线,故可设圆心 M (t , 0)( 1 < t < 1) , M (t , 0) 到 l 及 BD 的距离分

别为

3 t + 1 3 t 1 , . 5 4 = 3 t 1 4
得t =



3 t +1 5

1 ,或 t = 9 (舍去) , 9
= 2 . 3
2



圆 M 的半径 r =

3 t +1 5 1 9
2

所以圆 M 的方程为 ( x ) + y =

4 . 9

(Ⅱ) a1 = 1, a2 = c 1,由a2 > a1得c > 2. 用数学归纳法证明:当 c > 2 时 an < an +1 . (ⅰ)当 n = 1 时, a2 = c

1 > a1 ,命题成立; a1


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