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2011年普通高等学校招生全国统一考试四川卷(数学理)解析版



绝密★启用前 2011 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 数 学(理工类)
本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)。 第一部分 1 至 2 页, 第二部分 3 至 4 页, 4 页. 共 考 生作答时,须将答案答在答题卡上及试题卷,草稿纸上答题无效,满分 150 分,考试时间 120 分钟。考试 结束后,将本试卷和答题卡一并交 回. 参考公式: 如果事

件 A、B 互斥,那么 球的表面积公式 P(A+B) =P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
Pn ( k ) ? C n p (1 ? p )
k k n?k

s ? 4? R

2

其中 R 表示球的半径 球的体积公式
v ? 4 3

?R

2

其中 R 表示球的半径

( k ? 0,1, 2, ...n )

第一部分(选择题

共 60 分)

注意事项: 1.选择题必须使用 2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。 2.本部分共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题 目 要求的。 1、有一个容量为 66 的样本,数据的分组及各组的频数如下: [11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 1l [31.5,35.5) 12 [35.5 .39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计,数据落在[31.5,43.5)的概率约是 (A)
1 6

(B)

1 3

(C)

1 2

(D)

2 3

答案:B 解析:从 3 1 .5 到 4 3 .5 共有 22,所以 P ?
1 i 1 2
22 66 ? 1 3



2、复数 ? i ?

=

(A) ? 2 i (B) 答案:A 解析: ? i ?
1 i

i (C)0 (D) 2i

? ? i ? i ? ? 2i

3、 l1 , l 2 , l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 (A) l1 ? l 2 , l 2 ? l 3 ? l1 ? l 3

(B) l1 ? l 2 , l 2 ? l 3 ? l1 ? l 3 (C) l 2 ? l 3 ? l 3 ?
l1 , l 2 , l 3 共面

(D) l1 , l 2 , l3 共点 ? l1 , l 2 , l3 共面 答案:B 解析:A 答案还有异面或者相交,C、D 不一定 4、如图,正六边形 ABCDEF 中, B A ? C D ? E F =
??? ? ????
??? ? ??? ? ???? ??? ?

(A)0 (B) B E (C) A D (D) C F 答案 D
??? ? ???? ??? ? ??? ?

解析: B A ? C D ? E F ? B A ? A F ? E F ? B F ? E F ? C E ? E F ? C F 5、5 函数, f ( x ) 在点 x ? x 0 处有定义是 f ( x ) 在点 x ? x 0 处连续的 (A)充分而不必要的条件 (B)必要而不充分的条件 答案:B 解析:连续必定有定义,有定义不一定连续。
2 2 2

????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要的条件

6.在 ? ABC 中. sin ? sin B ? sin C ? sin B sin C .则 A 的取值范围是
?
6

(A)(0,

]

(B)[

?
6

, ? ) (c)(0,

?
3

] (D) [

?
3

,? )

答案:C 解析:由题意正弦定理
a ? b ? c ? bc ? b ? c ? a ? bc ?
2 2 2 2 2 2

b ?c ?a
2 2

2

? 1 ? co s A ?

1 2

? 0? A?

?
3

bc

7.已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? ( ) ? 1 ,则 f ( x ) 的反函数的图像大致是
x

1

2

答案:A 解析:由反函数的性质原函数的值域为反函数的定义域,原函数的定义域为反函数的值域。 当 x ? 0, 0 ? ( ) ? 1, ? 1 ? y ? 2 ,故选 A
x

1

2

8.数列 ? a n ? 的首项为 3 , ? b n ? 为等差数列且 b n ? a n ? 1 ? a n ( n ? N *) .若则 b3 ? ? 2 , b10 ? 12 ,则 a 8 ? (A)0 B 解 析 (B)3 (C)8 (D)11











bn ? 2

n ? ?1 8

n

,a

?

n

a ? 2 由

n 叠? 8 加 ,



( a 2 ? a1 ) ? ( a 3 ? a 2 ) ? ? ? ( a 8 ? a 7 ) ? ? 6 ? ? 4 ? ? 2 ? 0 ? 2 ? 4 ? 6 ? 0 ? a 8 ? a1 ? 3

9.某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人,有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型 卡车.某天需运往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆车虚 满载且只运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派用的每辆乙型卡车虚配 1 名工人,运送一次可得利润 350 元.该公 司 合理计划党团派用两类卡车的车辆数,可得最大利润 (A)4650 元 (B)4700 元 (C)4900 元 (D)5000 元 答案:C
?0 ? x ? 8 ? 0? y ?7 ? ? 解析:由题意设派甲,乙 x , y 辆,则利润 z ? 4 5 0 x ? 3 5 0 y ,得约束条件 ? x ? y ? 1 2 画出可行域在 ?1 0 x ? 6 y ? 7 2 ? ?2 x ? y ? 19 ?
? x ? y ? 12 ?x ? 7 的点 ? 代入目标函数 z ? 4900 ? ?2 x ? y ? 19 ?y ? 5

10.在抛物线 y ? x ? a x ? 5( a ≠ 0 ) 上取 横坐标为 x1 ? ? 4 , x
2 2 2

? 2 的两点,过这两点引一条割线,有平
2

行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5 x ? 5 y ? 3 6 相切, 则抛物线顶点的坐标为 (A) ( ? 2, ? 9 ) (B) (0, ? 5) (C) (2, ? 9) (D) (1, ? 6 )

答案:A 解析: 由已知的割线的坐标
( ? 4,11 ? 4 a ), (2, 2 a ? 1), K ? 2 ? a , 设 直 线 方 程 为 y ? ( a ? 2 ) x ? b , 则

36 5

?

b

2 2

1 ? (2 ? a )



? y ? x 2 ? ax ? 5 ? b ? ? 6 ? a ? 4 ? ( ? 2, ? 9 ) ? ? y ? (a ? 2) x ? b

2 , 11.已知定义在 ? 0, ? ? ? 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ) ? 3 f ( x ? 2) , x ? ? 0 当

? 时,f ( x ) ? ? x 2 ? 2 x .设
n? ?

f (x)

在 ? 2 n ? 2, 2 n ? 上的最大值为 a n ( n ? N *) ,且 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,则 lim S n ? (A)3 (B)
5 2

(C)2

(D)

3 2

答案:D 解 析 : 由 题 意
f ( x ? 2) ? 1 3
1 3 1 1
n ?1

f (x)

,



[ 2 n ? 2, 2 n ]





n ? 1, f ( x ) ? 1, n ? 2, f ( x ) ?

, n ? 3, f ( x ) ? ( ) ? a n ? ( ) 3 3
2

1 n 1? ( ) 3 ? lim S ? 3 ? Sn ? n 1 2 1? 3

12.在集合 ?1, 2 , 3, 4 , 5? 中任取一个偶数 a 和一个奇数 b 构成以原点为起点的向量 ? ? ( a , b ) .从所有得到 的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为 n ,其中 面积不超过 4 的平行四边形的个 数为 m ,则 ? ... n (A)
4 15 m

(B)

1 3

(C)

2 5

(D)

2 3

答案:D 基本事件: 由 ( 2,1), ( 2, 3), ( 2, 5), ( 4,1), ( 4, 5), ( 4, 3), n ? C 6 ? 3 ? 5 ? 1 5 其中面积为 1 的平行四边形的个数
2

(2, 3)(4, 5); (2,1)(4, 3); (2,1)(4,1) 其中面积为 2 的平行四边形的 个数为 (2, 3)(2, 5); (2,1)(2, 3) 其中面积为
3 的 平 行 四 边 形 的 个 数 (2,3)(4,3);(2,1)(4,5) 其 中 面 积 为 4 的 平 行 四 边 形 的 个 数

(2,1)(2, 5); (4,1)(4, 3); (4, 3)(4, 5) 其中面积为 5 的平行四边形的个数 (2, 3), (4,1); (2, 5)(4, 5) ;其中面积为
7 的平行四边形的个数 ( 2, 5), ( 4, 3)

其中面积为 8 的平行四边形的个数 (4,1)(4, 5) 其中面积为 9 的平行四

边形的个数 (2, 5), (4,1) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.计算 (lg 答案: ? 20 解析: (lg
1 4 x
2

1 4

? lg 25) ? 100

?

1 2

=

.

? lg 2 5) ? 1 0 0

?

1 2

? lg

1 100

?

1 10

? ?20

14.双曲线
56 5

?

y

2

=1上 一 点 P 到 双 曲 线 右 焦 点 的 距 离 是 4, 那 么 点 P 到左准线的距离是

.

64

36

答案:

0 解 析 : a ? 8 , b ? 6 ,c ? 1 , 点 P 显 然 在 双 曲 线 右 支 上 , 点 P 到 左 焦 点 的 距 离 为 14 , 所 以

14 d

?

c a

?

5 56 ? d ? 4 5

15.如图,半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是,求的表面积与改圆 柱的侧面积之差



.
2

答案: 2 ? R 解 析



S 侧 ? 2? r ? 2 R ? r
2

2

? 4?

r ( R ? r ) ? S 侧 m ax
2 2 2





r ? R ?r ? r ?
2 2 2

R

2

? r ?
2

2 2

R ,则 4 ? R ? 2 ? R ? 2 ? R
2 2

2

2

=f 16.函数 f ( x ) 的定义域为 A,若 x 1, x 2 ? A 且 f ( x 1) ( x 2) 时总有 x 1 = x 2, 则 称 f ( x )为单函数.例如,函数 f ( x ) =2x+1( x ? R )是单函数.下列

命题: ① 函数 f ( x ) x (x ? R)是单函数; =
2

② 若 f( x ) 为单函数, x 1, x 2 ? A 且 x 1 ? x 2, 则 f ( x 1)? f ( x 2) ; ③ 若 f:A ? B 为单函数,则对于任意 b ? B,它至多有一个原象; ④ 函数 f(x)在某区间上具有单调性,则 f(x)一定是单函数. 其中的真命题是 .(写出所有真命题的编号) 答案:②③④ 解析 :①错,? x1 ? ? x 2 ,②③④正确。 三、解答题 17、 已知函数 f ( x ) ? sin ( x ?
7 4

? ) ? co s( x ?

3 4

? ), x ? R

(1)求 f ( x ) 的最小正周期和最小值; (2)已知 co s( ? ? a ) ?
f ( x ) ? sin x co s
4 5 , co s( ? ? ? ) ? ? 4 5 , (0 ? ? ? ? ?

?
2

) ,求证: [ f ( ? )] ? 2 ? 0
2

7? 4

? co s x sin

7? 4

? co s x co s

3? 4

? sin x sin

3? 4

解析: ?

2 sin x ?

2 co s x )

? 2 sin ( x ?

?
4

? T ? 2 ? , f ( x ) m ax ? 2

co s( ? ? ? ) ? co s ? co s ? ? sin ? sin ? ?

4 5

? ? (1) 4 5 ? ? (2)

(2)

co s( ? ? ? ) ? co s ? co s ? ? sin ? sin ? ? ? co s ? co s ? ? 0

?0?? ? ? ?

?
2

? co s ? ? 0 ? ? ?

?
2

? f (? ) ?

2 ? ( f ( ? )) ? 2 ? 0
2

18、本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租 不超过两小时免费,超过两小时的收费标准为 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算) 。有人独立来该租 车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 时还车的概率分别为
1 1 , ;两人租车时间都不会超过四小时。 2 4 1 1 , ;两小时以上且不超过三小 4 2

(Ⅰ)求出甲、乙所付租车费用相同的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人所付 的租车费用之和为随机变量 ? ,求 ? 的分布列与数学期望 E ? ; 解析: (1)所付费用相同即为 0, 2, 4 元。设付 0 元为 P1 ?
P3 ? 1 1 1 ? ? 4 4 16 5 16 1 1 1 1 1 1 ? ? ,付 2 元为 P2 ? ? ? ,付 4 元为 4 2 8 2 4 8

则所付费用相同的概率为 P ? P1 ? P2 ? P3 ?

(2)设甲,乙两个所付的费用之和为 ? , ? 可为 0, 2, 4, 6, 8
P (? ? 0 ) ? P (? ? 2 ) ? P (? ? 4 ) ? P (? ? 6 ) ? P ( ? ? 8) ? 1 8 1 1 1 1 5 ? ? ? ? 4 4 2 2 16 1 1 1 1 1 1 5 ? ? ? ? ? ? 4 4 2 4 2 4 16 1 1 1 1 3 ? ? ? ? 4 4 2 4 16 1 1 1 ? ? 4 4 16

分布列
?
P
0

2

4

6

8

1 8

5 16

5 16

3 16

1 16

E? ?

5 8

?

5 4

?

9 8

?

1 2

?

7 2

19.(本小 题共 l2 分) 如图,在直三棱柱 AB-A1B1C1 中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D 是棱 CC1 上的一 P 是 AD 的延长线与 A1C1 的延长线的交点,且 PB1∥平面 BDA. (I)求证:CD=C1D: (II)求二面角 A-A1D-B 的平面角的余弦值; (Ⅲ)求点 C 到平面 B1DP 的距离.

解析: (1)连接 B1 A 交 B A1 于 O ,? B1 P // 面 B D A 1 , B1 P ? 面 A B1 P , 面 A B1 P ? 面 BA 1 D ? O D ,
? B1 P // O D ,又 O 为 B1 A 的中点,? D 为 AP 中点,? C 1为 A 1 P ,? ? A C D ? ? P C 1 D ? C 1 D ? C D ,D 为 C C 1 的中点。

( 2 ) 由 题 意 A B ? A C , A B ? A A1 ? A B ? 面 AA 1C 1C , 过 B

作 AH ? AD , 连 接 BH , 则
5 2 5 2

B H?

A ,? ? A H B 为二面角 A ? A1 D ? B 的平面角。在 ? A A1 D 中, A A1 ? 1, A D ? D

, A1 D ?

,则

2 5 AH ? 2 5 5 , BH ? 3 5 5 , co s ? A H B ? AH BH ? 5 3 5 5 ? 2 3

(3)因为 V C ? B P D ? V B P C D ,所以 h ? S ? B P D ?
1 1

1

1 3

3

1

A1 B1 ? S ? P C D , A1 B1 ? 1

S ?PCD ? S ?PC C ? S ?PC
1

1D

?

1 2

?

1 4

?

1 4

,
9 ?5? 5

在 ? B1 D P 中, B1 D ?

3 2

, B1 P ?

5, PD ?

5 2

. co s ? D B 1 P ? 4

4 ? 2 5 , sin ? D B P ? 5 , 1 3 5 5 2? ? 5 2

? S ?B PD ?
1

1

?

3

?

5?

5 5

?

3 4

,h ?

1 3

2 2

20.(本小题共 12 分) 设 d 为非零实数, a n ?
1 n (C n d ? 2 C n d
1 2 2

? ? ? ( n ? 1) C n d

n ?1

n ?1

? n C n d ]( n ? N )
n n *

(1)写出 a1 , a 2 , a 3 并判断 { a n } 是否为等比数列。若是,给出证明;若 不是,说明理 由; (II)设 b n ? n d a n ( n ? N ) ,求数列 { b n } 的前 n 项和 S n .
*

解析: (1)
a1 ? d a 2 ? d ( d ? 1) a 3 ? d ( d ? 1)
0
2

an ? C n d ? C n d ? C n d ? ? ? C n d
1 2 2 3

n ?1

n

? d (1 ? d )

n ?1

a n ? 1 ? d (1 ? d ) a n ?1 an ? d ?1

n

因为 d 为常数 ,所以 { a n } 是以 d 为首项, d ? 1 为公比的等比数列。
b n ? n d (1 ? d )
2 2 0 n ?1 n ?1

(2) S n ? d (1 ? d ) ? 2 d (1 ? d ) ? 3 d (1 ? d ) ? ? ? ? n d (1 ? d )
2 1 2 2 2

? d [(1 ? d ) ? 2 (1 ? d ) ? 3(1 ? d ) ? ? ? ? n (1 ? d )
2 0 1 2
2 1 2 3

n ?1

](1)
n

(1 ? d ) S n ? d [(1 ? d ) ? 2 (1 ? d ) ? 3(1 ? d ) ? ? ? ? n (1 ? d ) ](2 )

(2) ? (1) ? d S n ? ? d [
2

1 ? (1 ? (1 ? d ) )
n

1 ? (1 ? d )

? d n (1 ? d ) ? d ? ( d n ? d )(1 ? d )
2 n 2

n

? S n ? 1 ? ( dn ? 1)(1 ? d )

n

21.(本小题共 l2 分) 椭圆有两顶点 A(-1,0)、B(1,0),过其焦点 F(0,1)的直线 l与椭圆交于 C、D 两点,并与 x 轴交于 点 P.直线 AC 与直线 BD 交于点 Q. (I)当|CD | =
3 2 2 时,求直线 l 的方程;

(II)当点 P 异于 A、B 两点时,求证: O P ? O Q 为定值。

??? ???? ?

解析:由已知可得椭圆方程为

y

2

? x ? 1 ,设 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 0 ), k 为 l 的斜率。
2

2

2k ? ? y ? kx ? 1 x ? x2 ? ? 2 ? 1 ? ? 2?k 2 2 则? y2 ? (2 ? k ) x ? 2 kx ? 1 ? 0 ? ? 2 ? x ?1 ? ? x x ? ?1 ? 2 2 ? 1 2 2?k ?
( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 ) ?
2 2

4 ? ? y1 ? y 2 ? 2 ? k 2 ? ? 2 ? y y ? ?2k ? 2 2 ? 1 2 2?k ?

8k ? 8
2

(2 ? k )
2

2

?

8k ? 8k
4

2 2

(2 ? k )
2

?

9 2

? k

2

? 2? k ? ?

2

? l 的方程为 y ? ? 2 x ? 1

22.(本小题共 l4 分) 已知函数 f ( x ) ?
2 3 x? 1 2 , h( x) ? x

(I)设函数 F ( x ) ? f ( x ) ? h ( x ) ,求 F ( x ) 的单调区间与极值; (Ⅱ)设 a ? R ,解关于 x 的方程 lo g 4 [
100

3 2

f ( x ? 1) ?
1 6

3 4

] ? lo g 2 h ( a ? x ) ? lo g 2 ( 4 ? x )

(Ⅲ)试比较 f (1 0 0 ) h (1 0 0 ) ? ? h ( k ) 与
k ?1

的大小.

22、解析: (1) F ( x ) ?
2 3

2 3

x?
? 1 2

1 2

?

x,

F (x) ?
'

?

1 2

x

F (x) ? 0 ? x ?
'

9 16

; 9 16

令 F ' (x) ? 0 ? 0 ? x ?
F (x) ? 0 ? x ?
'

9 16

所以 x ? (2)
3 2

9 16

是其极小值点,极小值为
3 4 ? x ?1;

1 8

。 x ? 0 是其极大值点,极大值为

1 2

f ( x ? 1) ?

lo g 2 h ( a ? x ) ? lo g 2 ( 4 ? x ) ? lo g 2

a? x 4? x
a? x
2

由 lo g 4 [
x ?1 ?
0

3 2

f ( x ? 1) ?

3 4

] ? lo g 2 h ( a ? x ) ? lo g 2 ( 4 ? x ) ? lo g 2 ( x ? 1) ? lo g

4? x

a? x 4? x

? x ? 6x ? a ? 4 ? 0
2

1 3 6 ? 4 ( a ? 4 ) ? 0 ? a ? 5 时方程无解 2 36 ? 4( a ? 4) ? 0 ? a ? 5 时 x ? 3
0

3 3 6 ? 4 ( a ? 4 ) ? 0 ? a ? 5 方程的根为 x1 ? 3 ?
0

5 ? a , x2 ? 3 ?
3 ?? ?

5?a

(3) F (1 0 0 ) h (1 0 0 ) ?

2015 3

, ? h(k ) ?
k ?1

100

1?

2 ?

100



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