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高中数学必修四综合训练题



高中数学必修四综合训练题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题 目要求的.) 1.下列命题正确的是( ). A.第一象限角是锐角 C.终边相同的角一定相等 B.钝角是第二象限角 D.不相等的角,它们终边必不相同

2.在四边形

ABCD 中,如果 AB ? AD ? 0 , AB ? DC ,那么四边形 ABCD 的形状是( A.矩形 B.菱形 C.正方形 ). B. ( ? D.直角梯形

??? ???? ?

??? ?

????

).

3.与向量 a ? (12,5) 平行的单位向量为(

?

12 5 ,? ) 13 13 12 5 12 5 ,? ) C.( , )或( ? 13 13 13 13
A. (

12 5 ,? ) 13 13 12 5 12 5 , )或( , ? ) D.( ? 13 13 13 13
).

4.若│ a │ =2sin15? ,│ b │ = 4co s15? , a 与 b 的夹角为 30 ? ,则 a ? b 的值是(

A.

3 2

B. 3

C.2 3

D.

1 2
). D. y ? ? cos 2 x

5.下列函数中,以 ? 为周期且在区间 (0, ) 上为增函数的函数是( A. y ? sin

? 2

x 2

B. y ? sin x

C. y ? ? tan x

2 3 ,则 tan A tan B 的值为 ( ). 3 1 1 1 5 A. B. C. D. 4 3 2 3 ? 7.已知函数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? ) 的部分图象如下图所示, 则函数 f ( x ) 的解析式为 2
6.在 ?ABC 中,角 C ? 120? , tan A ? tan B ? ( ).

y

? ) 6 ? C. f ( x ) ? 2sin(2 x ? ) 6
A. f ( x ) ? 2 sin( x ?

1 2

B. f ( x ) ? 2 sin( x ?

? ) 6 ? D. f ( x ) ? 2sin(2 x ? ) 6 1 2
).

2 O
π 6
5π 12

x

2009 x ? cos2011 x 的值为( 8.已知 sin x ? cos x ? ?1 ,则 sin

A.0

B.1

C.-1

D. ? 1

9.已知 A, B, C 为平面上不共线的三点,若向量 AB ? (1,1) , n ? (1,?1) ,且 n · AC ? 2 ,则 n · BC 等 于( A.-2 ). B.2 C.0 D.2 或-2

10.如图,在△ ABC 中, AD 、 BE 、 CF 分别是 BC 、 CA 、 AB 上的中线,它们交于点 G ,则下列各 等式中不正确的是( ). A ...

? 2 ??? BE 3 ???? 1 ???? C. DG ? AG 2
A. BG ?

??? ?

B. CG ? 2GF

??? ?

??? ?
F E G B D C

D. GA ? GB ? GC ? 0

??? ??? ??? ? ? ?

?

11.若 ? 是锐角,且满足 sin(? ?

? 1 ) ? ,则 cos? 的值为( 6 3
C.

).

A.

2 6 ?1 6

B.

2 6 ?1 6

2 3 ?1 4

D.

2 3 ?1 4
).

12.函数 f ( x) ? 3 cos(3x ? ? ) ? sin(3x ? ? ) 是奇函数,则 tan ? 等于(

A.

3 3

B.-

3 3

C. 3

D.- 3

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 把答案填在题中的横线上.) 13. cos( ?

7 ?) ? 6

. .

14.已知 a ? 3 , b ? 5 ,且 a ? b ? 12 ,则 a 在 b 方向上的投影为 15.若 tan ? ?

1 sin ? ? cos ? ,则 = . 2 2 sin ? ? 3 cos ? ? 16.函数 f ( x ) ? 3sin(2 x ? ) 的图象为 C , 3 11 ? 5? ? 对称; , ) 内是增函数; ①图象 C 关于直线 x ? ②函数 f (x) 在区间 ( ? 12 12 12 ? ? ③由 y ? 3 sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C ; ④图象 C 关于点 ( ,0) 对称. 3 3
其中,正确命题的编号是___________.(写出所有正确命题的编号) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.) 17. (本小题共 10 分) 已知向量 a ? 3e1 ? 2e2 , b ? 4e1 ? e2 ,其中 e1 ? (1,0) , e2 ? (0,1) ,求: (1) a ? b 和 a ? b 的值; (2) a 与 b 夹角 ? 的余弦值.

18. (本小题共 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin( ? ? x)cos x . (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 在区间 [ ?

? ? , ] 上的最大值和最小值. 3 6

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 x ?R . , (1)求函数 f ( x ) 的单调递增取区间; (2)将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移

π 个单位后,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵 4

坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求 g ( x) 的最大值及取得最大值时的 x 的集合.

20. (本小题满分 13 分) 已知向量 a ? (3cos ? ,1) , b ? ( ?2,3sin ? ) ,且 a ? b ,其中 ? ? (0, ) . (1)求 sin ? 和 cos? 的值; (2)若 5 sin(? ? ? ) ? 3 5 cos ? , ? ? (0, ?) ,求角 ? 的值. 21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ?) 为偶函数,图象上相邻的两个最高点之间的距离 为 2? . (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若 ? ? ( ?

? 2

? ? ? 1 5? , ) 且 f (? ? ) ? ,求 sin(2? ? ) 的值. 3 2 3 3 3

22. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ? cos x ? 4t ? sin
2

x x cos ? 2t 2 ? 6t ? 2 ( x ? R ) ,其中 t ? R ,将 f ( x ) 的最小值记 2 2

为 g (t ) . (1)求 g (t ) 的表达式; (2)当 ? 1 ? t ? 1 时,要使关于 t 的方程 g (t ) ? kt 有且仅有一个实根,求实数 k 的取值范围.

必修四综合训练题(一)参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题 目要求的.) 1.B 由任意角和象限角的定义易知只有 B 选项是正确的. 2.A 由 AB ? AD ? 0 知 AB ? AD ,由 AB ? DC 知 AB // CD AB ? CD ,故为矩形. 3.C 设向量 b ? ( x, y) ,解方程组 ?

??? ???? ?

??? ?

????

?12 y ? 5 x,
2 2 ?x ? y ? 1

可得答案.

4.B

a ? b ? 2 sin15? ? 4 cos15? ? cos30? ? 4 sin 30? ? cos30? ? 2 sin 60? ? 3 .

5.D 由 T ? ? 可排除选项 A,B,而 y ? ? tan x 在 (0, ) 上单调递减,故选 D.

?

2

2 3 2 tan A ? tanb 3 6.B tan(A ? B) ? tan( ? ? 120?) ? 3 ? ,故 1 ? tan A tan B ? , 180 ? 3 1 ? tan A tan B 1 ? tan A tan B 1 即 tan A tan B ? . 3 T 5? ? ? 2? ? ? ,即 T ? ? ? 7.D 由图易知 A ? 2 , ? , 4 12 6 4 ? ? ? ? 所以 ? ? 2 ,又由 2 ? ? ? ? 得 ? ? . 6 2 6
8.C

? 1 ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ?
所以 x ? 2 k? ?

?
4

) ? sin(x ?

?
4

)??

3? 2 ? ? , ? x ? ? 2k? ? 或 2k? ? 4 2 4 4

?
2

或 2k? ? ? ,则 sin x ? ?1, cos x ? 0 或 sin x ? 0, cos x ? ?1 ,

故 sin 2009 x ? cos2011 x ? (?1)2009 ? 02011 ? ?1 或 sin 2009 x ? cos2011 x ? 02009 ? (?1)2011 ? ?1 . 9.B

n · AB ? 0 , n · BC ? n · ( AC ? AB) ? n · AC ? n · AB ? 2 ? 0 ? 2 .
???? ? 1 ??? GA ,故 C 不正确. 2

10.C 由条件可知 G 为△ ABC 的重心,由三角形重心的性质可知 DG ? 11.B 由 ? 是锐角,且 sin(? ?

?
6

)?

1 ? 2 2 可得 cos(? ? ) ? , 3 6 3

cos ? ? cos[( ? ?
12.D

?
6

)?

?
6

] ? cos( ? ?

?
6

) cos

?
6

? sin(? ?

?
6

) sin ),

?
6

?

2 6 ?1 . 6

f ( x) ? 3 cos( 3x ? ? ) ? sin(3x ? ? ) ? ? 3 sin( 3x ? ? ?
由 f (x) 是奇函数,可得 ? ? ?

?
3

?
3

? k? ,即 ? ? k? ?

?
3

(k ? Z ) ,

故 tan ? ? tan( k? ?

?

) ? tan( ? ) ? ? 3 . 3 3

?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 把答案填在题中的横线上.) 13. ?

3 2

7 7? ? ? 3 . cos(? ? ) ? cos ? cos(? ? ) ? ? cos ? ? 6 6 6 6 2
| a | ? cos ? ? a ?b |b| ? 12 . 5

14.

12 5

3 15. ? 4

sin ? ? cos? tan? ? 1 ? ? 2 sin ? ? 3 cos? 2 tan? ? 3

1 ?1 3 2 ?? . 1 4 2? ? 3 2

16.①②

2?

11? ? 3? π 5π ? ? ? ? ? ) 时, 2 x ? ? (? , ) ,故②正确; ,故①正确; x ? (? , 12 3 2 12 12 3 2 2

π ? ? ? ? f ( x) ? 3 sin( 2 x ? ) ? 3 sin 2( x ? ) ,故③不正确; 2 ? ? ? ,故④不正确. 3 6 3 3 3
三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.) 17.解:由已知, a ? (3,?2),b ? (4,1) , (1) a ? b ? 10 , a ? b ? (7,?1) ? 5 2 . (2) | a |? 13 , | b |? 17 , ∴ cos? ?

a ?b a?b

?

10 221 . 221

18.解: (1)∵ f ? x ? ? 2sin ?? ? x ? cos x ? 2sin x cos x ? sin 2x , ∴函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? . (2)由 ?

?
3

?x?

?
6

??

2? ? 3 ? 2 x ? ,∴ ? 1 ? sin 2 x ? , 3 3 2

∴ f ( x ) 在区间 ??

3 ? ? ?? ,最小值为 ? 1 . , ? 上的最大值为 2 ? 3 6? π? ? 2 sin ? 2 x ? ? , 4? ?
3? ,(k ? Z) , 4

19.解: (1) f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 当 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

,(k ? Z) 即 k? ?

?
8

? x ? k? ?

因此,函数 f ( x ) 的单调递增取间为 ? k? ? ,k? ? . (k ? Z) 8 4? ? ? (2)由已知, g ( x) ? ∴当 sin( x ?

?

?

3? ?

?
4

2 sin( x ? ) , 4

?

) ? 1,即 x ?

?

4

? 2 k? ?

?
2

,也即 x ? 2k? ?

?
4

(k ? Z) 时, g ( x)max ? 2 .

∴ 当 ? x x ? 2k? ?

? ?

?

? (k ? Z) , g ( x) 的最大值为 2 . ? 4 ?

20.解: (1)∵ a ? b , ∴ a ? b ? ?6 cos? ? 3 sin ? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? , 又∵ sin ? ? cos ? ? 1 ,
2 2



cos 2 ? ?

1 4 2 , sin ? ? , 5 5

∴ sin ? ?
2

4 , 5

又 ? ? (0,

?
2

) ,∴ sin ? ?

2 5 5 . , cos? ? 5 5

(2) ∵ 5 sin(? ? ? ) ? 5(sin? cos? ? cos? sin ? ) ? 2 5 cos ? ? 5 sin ? ? 3 5 cos ? , ∴ cos ? ? ? sin ? ,即 tan ? ? ?1, ∵ ? ? (0, ? ) , ∴? ?

21.解: (1)? 图象上相邻的两个最高点之间的距离为 2? , ∴ T ? 2? , 则 ? ?

3? . 4

2? ? 1, T

∴ f ( x) ? sin(x ? ? ) ,

? f (x) 是偶函数, ∴ ? ? k? ?
∴? ?

?
2

(k ? Z ) ,

又0 ?? ? ? ,

?
2



则 f ( x) ? cos x .

(2)由已知得 cos( ? ? 则 sin(? ?

?
3

)?

1 ? ? ? 5?  ? ? ? (? , ) ,∴ ? ? ? (0, ) , ,  3 3 2 3 6

?
3

)?

2 2 , 3

∴ sin(2? ?

5? 2? ? ? 4 2 . ) ? ? sin(2? ? ) ? ?2 sin(? ? ) cos(? ? ) ? ? 3 3 3 3 9
2

22.解: (1)由已知有: f ( x) ? ? cos x ? 4t ? sin

x x cos ? t 2 ? 6t ? 2 2 2

? sin 2 x ? 2t ? sin x ? 2t 2 ? 6t ? 1

? (sin x ? t )2 ? t 2 ? 6t ? 1 ,
由于 x ? R ,∴ ? 1 ? sin x ? 1 ,
2 ∴ 当 t ? ?1 时,则当 sin x ? ?1 时, f ( x) min ? 2t ? 4t ? 2 ;

当 ? 1 ? t ? 1 时,则当 sin x ? t 时, f ( x) min ? t 2 ? 6t ? 1 ; 当 t ? 1 时,则当 sin x ? 1 时, f ( x) min ? 2t 2 ? 8t ? 2 ;

?2t 2 ? 4t ? 2, t ? (??, ?1) ? 综上, g (t ) ? ?t 2 ? 6t ? 1, t ? [?1,1] ?2t 2 ? 8t ? 2, t ? (1, ??) ?
2 (2)当 ? 1 ? t ? 1 时, g (t ) ? t 2 ? 6t ? 1,方程 g (t ) ? kt 即 t ? 6t ? 1 ? kt ,

即方程 t 2 ? (k ? 6)t ? 1 ? 0 在区间 [?1,1] 有且仅有一个实根, 令 q(t ) ? t 2 ? (k ? 6)t ? 1 ,则有: 解法 1:①若△ ? (k ? 6)2 ? 4 ? 0 ,即 k ? ?4 或 k ? ?8 . 当 k ? ?4 时,方程有重根 t ? 1 ;当 k ? ?8 时,c 方程有重根 t ? ?1 ,∴ k ? ?4 或 k ? ?8 .

?k ? 6 ?k ? 6 ? 2 ? ?1, ?k ? ?8, ? 2 ? 1, ?k ? ?4, ? ? ? ? ② ?q ( ?1) ? 0, ? ?k ? ?8, ? k ? ?8 或 ?q ( ?1) ? 0, ? ?k ? ?8, ? k ? ?4 , ?k ? ?4, ?k ? ?4, ?q (1) ? 0, ?q (1) ? 0, ? ? ? ? ? ?
综上,当 k ? (??, ?8] ? [?4, ??) 时,关于 t 的方程 g (t ) ? kt 在区间 [?1,1] 有且仅有一个实根. 解法 2:由 q(?1)q(1) ? 0,得(k ? 8)(k ? 4) ? 0 ? k ? (??,?8] ? [?4,??) .



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