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椭圆及其标准方程(第一课时)



课题:《椭圆及其标准方程》

高二数学组

(一)
认识椭圆

生活中 的椭圆

尝试实验,形成概念

动手画:
? [1]取一条细绳, ? [2]把它的两端固定在

观察做图过程:[1]绳长应当 大于F1、F2之间的距离。[2] 由于绳

长固定,所以 M 到 两个定点的距离和也固定。

板上的两点F1、F2 ? [3]用铅笔尖(M)把 细绳拉紧,在板上慢 慢移动看看画出的图 形

M F1 F2

二、概念透析
1、椭圆的定义
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数 (大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆。 这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点 两焦点之间的距离叫做焦距。 F1
M

F2

如果设轨迹上任一点M到两定点F1、F2的距离和为 常数2a,两定点之间的距离为2c,则椭圆定义还 可以用集合语言表示为: P={ M| |MF1 |+|MF2|=2a(2a>2c)}.

平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数 (大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆。 这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点 两焦点之间的距离叫做焦距。

反思:椭圆上的点要满足怎样的几何条件?

(1)平面曲线 (2)到两定点F1,F2的距离和等于定长

(3)定长﹥|F1F2|

理解定义的 内涵和外延
注:定长 2a ? F1F2 定长 2a ? F1F2

一定要准确把握奥!

所成曲线是椭圆 所成曲线是线段

定长 2a ? F1F2

无法构成图形

三、椭圆方程的建立 求曲线方程的步骤: 步骤一:建立直角坐标系, 步骤二:设动点坐标 步骤三:列方程
F1 O Y M

F2

X

步骤四:化简方程

方程推导:
解:取过焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂 y 直平分线为y轴,建立平面直角坐标系(如图). 设M(x, y)是椭圆上任意一 点,椭圆的焦距2c(c>0),M F1 O 与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ,则F1、F2的 坐标分别是(?c,0)、(c,0) . 由椭圆的定义,

M
x

F2

代入坐标 | MF1 |? ( x ? c) 2 ? y 2 , | MF2 |? ( x ? c) 2 ? y 2
得方程 ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? 2a

(想一想:下面怎样化简?)

y
b



x2 y2 ? 2 2 ?1 2 a a ?c

a c

x

观察左图, 你能从中找出表示 c 、 a 的线段吗? a2-c2 有什么几何意义?

o

令 | OP |? a 2 ? c 2 ? b
则方程可化为

x 2 y 2 ( a ? b ? 0) ? 2 ?1 2 a b

2、椭圆的标准方程:
焦点在x轴:
x2 y2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 2 a b
F 1

y
M

o
y
F2

F2 x

F1(-c,0)、F2(c,0) 焦点在y轴:
y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

M

o
F1

x

F1(0,-c )、F2(0,c)

注意理解以下几点: ① 在椭圆的两种标准方程中,都有 a ? b ? 0 的要求;

② 在椭圆的两种标准方程中,由于 a2 ? b2, 所以可以根据分母的大小来判定焦点 在哪一个坐标轴上; ③ 椭圆的三个参数 a, b, c之间的关系是 a ? b ? c ,
2 2 2

其中 a ? b ? 0, a ? c ? 0, b和c 大小不确定.

(四)尝试应用
1、下列方程哪些表示的是椭圆,如果是,判断它的焦点
在哪个坐标轴上?

x2 y2 (1) ? ?1 25 16

(2)9 x 2 ? 25 y 2 ? 225 ? 0

(3) ? 3x 2 ? 2 y 2 ? ?1
x2 y2 ( 4) 2 ? ? 1(其中m不等于0) 2 m m ?1

注意:

分母哪个大,焦点就在哪个坐标轴上,反之亦然。

2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程

已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点P到
x2 y2 两焦点距离的和等于10; ? ?1 25 9 变式一:将上题焦点改为(0,-4)、(0,4), 结果如何?
y2 x2 ? ?1 25 9 变式二:将上题改为两个焦点的距离为8,椭圆上一点P到两

焦点的距离和等于10,结果如何?

x2 y2 当焦点在X轴时,方程为: 25 ? 9 ? 1
当焦点在Y轴时,方程为:

y2 x2 ? ?1 25 9

(五)典例分析
写出适合下列条件的椭圆的标准方程
两个焦点的坐标是( 0 ,-2)和( 0 ,2),并且经
? 3 5? 过点P ? ? 2 , ? 2? ?

解: (法一) 因为椭圆的焦点在y轴上,
y2 x2 设它的标准方程为 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b

∵ c=2,且 c2= a2 - b2 ∴ 4= a2 - b2 ……① 又∵椭圆经过点P ∴ ( ) ? (? ) ? 1
5 2 2 2 3 2 2 2

y

? 3 5? ?? , ? ? 2 2?

P
F2

……②
x
F1

联立①②可求得:a 2 ? 10, b 2 ? 6 y2 x2 ? ?1 ∴椭圆的标准方程为 10 6

a

b

(法二) 因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的 标准方程为 y 2 x 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 b 由椭圆的定义知,a
3 2 5 2 a ? ( ? ) ? ( ? 2) 2 ? 2 2 3 1 ? 10 ? 10 2 2 ? 2 10 , ?  a ? 10   . 又 c ? 2, ?  b 2 ? a 2 ? c 2 ? 10 ? 4 ? 6. 3 2 5 ( ? ) ? ( ? 2) 2 2 2

求椭圆的标准方程的步骤: (1)首先要判断焦点位置,设出标准方程(先定位) (2)根据椭圆定义或待定系数法求a,b (后定量)

y2 x2 ? ? 1. 所以所求椭圆的标准方程为 10 6

六 、课堂练习
1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)a=4,b=3,焦点在x轴; (2)a=5,c=2,焦点在y轴上.
2.椭圆
x2 y2 ? ?1 16 9

的焦距是

,焦点坐标为



若CD为过左焦点 F1 的弦,则 ?F2 CD 的周长为



(七)知识整理,形成系统
探究定义 P={ M| |MF1 |+|MF2|=2a(2a>2c)}.
y M

y
F2 M x

不 同 点




F1

O

F2

x

O

F1

标准方程 焦点坐标 相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 a b
F1 ? -c , 0 ?,F2 ? c , 0 ?

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 b a
F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

a2-c2=b2 (a>b>0) 分母哪个大,焦点就在哪个轴上

(八)课后作业
1、课后反思与体验
1、本节课我学到了哪些知识,是用什么方法学会的? 2、我还有什么知识没有掌握,是什么原因导致的? 3、我从老师和同学那儿学到了哪些好的学习方法? 4、通过上述的回顾评价一下自己本节课的表现。

2、基础题:
课本课后练习题A组



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