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高三极坐标与参数方程 打印版 2



中小学 1 对 1 课外辅导专家

龙文教育 个性化辅导教案讲义
任教科目: 数 学

授课题目: 极坐标与参数方程 年 级: 高 三 坤

任课教师: 倪 授课对象:

武汉龙文个性化教育
常青校区 教研组组长签字: 教学主任签名: 日 期:

龙文教育·教育是一项良心工程

中小学 1 对 1 课外辅导专家

武汉龙文教育学科辅导讲义
授课对象 授课时间 课 型 授课教师 授课题目 使用教具 极坐标与参数方程 白板、白板笔

教学目标

1. 理解什么是极坐标系和参数方程; 2.会求基本曲线的极坐标方程;会进行极坐标和直角坐标系之间的转化; 3. 本章内容计算量较大,要提升计算的正确率,养成细心谨慎的习惯。

重点:1. 极坐标的概念; 教学重点和难点
2.极坐标和直角坐标间的转化;

难点:1. 极坐标的概念;
2.极坐标和直角坐标间的转化;

参考教材
教学流程及授课详案 [基础知识回顾] 一、极坐标系 1.极坐标系的建立:在平面上取一个定点 O,自点 O 引一条射线 OX,同时确定一个单位长度和计算角度的 正方向(通常取逆时针方向为正方向) ,这样就建立了一个极坐标系。 (其中 O 称为极点,射线 OX 称为极轴。 ) ① 设 M 是平面上的任一点, ? 表示 OM 的长度, ? 表示以射线 OX 为始边, 射线 OM 为终边所成的角。 那么有序数对 ( ? ,? ) 称为点 M 的极坐标。 其中 ? 称 为极径, ? 称为极角。 约定:极点的极坐标是 ? =0, ? 可以取任意角。 4.直角坐标与极坐标的互化 以直角坐标系的 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的 单位长度平面内的任一点 P 的直角坐标极坐标分别为(x,y)和 ( ? ,? ) , 则

基 础 知 识 回 顾 3 0 分 钟

x ? ? cos?
y ? ? sin ?

? 2 ? x2 ? y2
tan ? ?
y ?x ? 0? x

二、参数方程 1.参数方程的意义

? x ? f (t ) 在平面直角坐标系中,若曲线 C 上的点 P( x, y ) 满足 ? ,该方程叫曲线 C 的参数方程,变量 t 是参变 ? y ? f (t ) 数,简称参数
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2.常见的化普通方程为参数方程, (1) 直线经过一定点 P0 ?x0 , y 0 ? ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程 为?

? x ? x 0 ? t cos? ( t 为参数) ? y ? y 0 ? t sin ? ? x ? x0 ? at, ( t 为参数) ? y ? y 0 ? bt.

(2) 直线参数方程的一般形式为 ?

(3) 圆的参数方程: ?

? x ? x 0 ? r cos? , ( ? 为参数) ? y ? y 0 ? r sin ? .

(4) 圆锥曲线的参数方程

? x ? a cos? , x2 y2 椭圆 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? 的参数方程: ? ( ? 为参数) ; a b ? y ? b sin ? .
抛物线 y ? 2 px? p ? 0?的参数方程: ?
2

? x ? 2 pt 2 , ? y ? 2 pt.

( t 为参数)

【典型例题选讲】 考点 1、极坐标与直角坐标互化 【例 1】在极坐标中,求两点 P(2,

?

), Q(2,? ) 之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程。 4 4

?

基 础 知 识 回 顾 3 0 分 钟

0 【针对练习】1.已知曲线 C1,C2 的极坐标方程分别为 ? cos ? ? 3 , ? ? 4 cos ? ? ? ≥ 0,≤? ?
曲线 C1 与 C2 交点的极坐标为 .

? ?

π? ? ,则 2?

2.已知圆 C: ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 1 ,则圆心 C 的极坐标为_______ ( ? ? 0, 0 ? ? ? 2? )
2 2

3

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考点 2、极坐标与直角坐标方程互化 课 【例 2】已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4sin ? .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴, 堂 讲 ? 2 t ?x ? 练 ? 2 (t为 参数) 建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ? ,点 P 是曲线 C 上的动点,点 Q 是 3 ?y ? ? 4? 2 t 0 ? ? 2 分 直线 l 上的动点,求| PQ |的最小值. 钟

【针对练习】设过原点 O 的直线与圆 C : ( x ? 1) ? y ? 1 的一个交点为 P ,点 M 为线段 OP 的中点。
2 2

(1) 求圆 C 的极坐标方程; (2) 求点 M 轨迹的极坐标方程,并说明它是什么曲线.

考点 3、参数方程与直角坐标方程互化 【 例 3 】 已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 ?

? x ? ?2 ? 10 cos? ? ? y ? 10 sin ? ?

( ? 为 参 数 ) 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为 ,

? ? 2 cos? ? 6 sin ? .
(1)将曲线 C1 的参数方程化为普通方程,将曲线 C 2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)曲线 C1 , C 2 是否相交,若相交请求出公共弦的长,若不相交,请说明理由.

4

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【针对练习】1.已知曲线 C: ?

? x ? 3 ? 2 cos ? (? 为参数,0≤ ? <2π ), y ? 1 ? 2 sin ? ?

(Ⅰ)将曲线化为普通方程; (Ⅱ)求出该曲线在以直角坐标系原点为极点, x 轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程.

考点 4:利用参数方程求求值域

1 ? ? x ? ?2 2 ? 2 t ? x ? 1 ? cos? ? (?为参数) 上求一点,使它到直线 C 2 : ? (t为参数) 【例 4】在曲线 C1 : ? 的 1 ? y ? sin ? ? y ? 1? t ? ? 2
距离最小,并求出该点坐标和最小距离。

课 堂 讲 练 8 0 分 钟

【针对练习】1.在平面直角坐标系 xOy 中,动圆 x2 + y 2 - 8x cos? - 6 y sin ? + 7cos2 ? + 8 = 0 ( q ? R)的圆 心为 P( x, y ) ,求 2x - y 的取值范围..

课 堂 讲 练 8 0 分 钟
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3 ? ?x ? ? 5 t ? 2 , ( t 为参数) 2.已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 sin? ,设直线 L 的参数方程是 ? . 4 ?y? t 5 ?

(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 L 与 x 轴的交点是 M , N 曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值.

考点 5:直线参数方程中的参数的几何意义 【例5】已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? ①写出直线 l 的参数方程; ②设 l 与圆 x ? y ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积.
2 2

?
6



4 ? ?x ? 1? 5 t ? ? 【针对练习】1.求直线 ? ( t为参数 )被曲线 ? ? 2 cos(? ? ) 所截的弦长. 4 ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?
课 堂 讲 练 8 0 分 钟

6

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2. 已知直线 l是过点P(?1,2), 倾斜角为 ?的直线.圆方程? ? 2 cos( ? ? (I)求直线 l 的参数方程; (II)设直线 l 与圆相交于 M、N 两点,求|PM|·|PN|的值。

2 3

?
3

).

3.若直线的参数方程为 ? A.

? x ? 1 ? 2t (t 为参数) ,则直线的斜率为() ? y ? 2 ? 3t

3 2

B.

2 3

C.—

3 2

D.-

2 3

4.极坐标方程ρ =cosθ 和ρ =sinθ 的两个圆的圆心距是( A. 2 B. 2 C. 1



D.

2 2

【课堂加强训练】 1.在极坐标系中,圆 ? ? 4sin ? 的圆心到直线 ? ? 6 ( ? ? R) 的距离是 _____

?

2.直线 ?

?x ? 2 ? t ? x ? 3 cos? (? 为参数)的交点个数为______。 (t 为参数)与曲线 ? ? y ? 3 sin ? ? y ? ?1 ? t

课 后 总
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3.在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为几点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线 l 上两点

M, N 的极坐标分别为 (2,0), (

? x ? 2 ? 2 cos? 2 3 ? , ) ,圆 C 的参数方程 ? 。 (? 为参数) 3 2 y ? ? 3 ? 2 sin ? ?

(Ⅰ)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线 l 与圆 C 的位置关系。

结 1 0 分 钟

4. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 曲 线 C1 和 C2 的 参 数 方 程 分 别 为 C1 : ?

? x ? 2 cos ? ? C2 : ? (? 是参数) ,它们的交点坐标为_______. ? y ? 2 sin ? ?

?x ? t ? (t 是 参 数 ) 和 ?y ? t ?

5.在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线 ? ?
? x ? t ? 1, (t 为参数)相交于 A,B 两点,则线段 AB 的中点的直角坐标为 ? 2 ? y ? (t ? 1)

π 与曲线 4

.

6.在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : ?

? x ? t ? 1, ? x ? a sin ? , (t 为参数)与曲线 C2 : ? ? y ? 1 ? 2t ? y ? 3cos ?

( ? 为参数, a ? 0 ) 有一个公共点在 X 轴上,则 a ? __ .

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7.在极坐标中,已知圆 C 经过点 P 标方程.

?

2,

?? 3 ? ? ,圆心为直线 ? sin ? ? ? ? ? ? 与极轴的交点,求圆 C 的极坐 3? 2 4 ?

?

8.曲线 C 的直角坐标方程为 x +y -2x=0,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立积坐标系,则曲线 C 的 极坐标方程为___________。

2

2

2 2 2 9 在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x +y =4 ,圆 C2 : ? x -2 ? +y =4 2

(1)在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1 ,C2 的极坐标方程,并求出圆 C1 ,C2 的交点坐标(用极坐标表示) (2)求圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程

10.直线 2 ? cos ? ? 1 与圆 ? ? 2cos ? 相交的弦长为



11.如图,在极坐标系中,过点 M (2,0) 的直线 l 与极轴的夹角 ? ? 的形式,则 f (? ) ? .

?
6

,若将 l 的极坐标方程写成 ? ? f (? )

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12.已知曲线 C1 的参数方程是 ?

?x ? 2cos? (?为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立坐标 ? y ? 3sin?

系,曲线 C 2 的坐标系方程是 ? ? 2 ,正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上,且 A, B, C, D 依逆时针次序排列, 点 A 的极坐标为 (2,

?
3

)

(1)求点 A, B, C, D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围。
2 2 2 2

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武汉龙文教育学科辅导教案
学生 时间 教学目标:
1. 理解什么是极坐标系和参数方程; 2.会求基本曲线的极坐标方程;会进行极坐标和直角坐标系之间的转化; 3. 本章内容计算量较大,要提升计算的正确率,养成细心谨慎的习惯。

教师 星期

倪坤

学科 时间段

数学 高三年级

教学重难点:
重点:1. 极坐标的概念;
2.极坐标和直角坐标间的转化;

难点:1. 极坐标的概念;
2.极坐标和直角坐标间的转化. 教学流程及授课提纲 一、极坐标系 1.极坐标系的建立:在平面上取一个定点 O,自点 O 引一条射线 OX,同时确定一个单位长度和计算角度 的正方向(通常取逆时针方向为正方向) ,这样就建立了一个极坐标系。 (其中 O 称为极点,射线 OX 称为极轴。 ) ② 设 M 是平面上的任一点,? 表示 OM 的长度,? 表示以射线 OX 为始边, 射线 OM 为终边所成的角。 那么有序数对 ( ? ,? ) 称为点 M 的极坐标。 其中 ? 称为极径, ? 称为极角。 约定:极点的极坐标是 ? =0, ? 可以取任意角。 考点 1、极坐标与直角坐标互化 【例 1】在极坐标中,求两点 P(2,

?

), Q(2,? ) 之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程。 4 4

?

0 【针对练习】1.已知曲线 C1,C2 的极坐标方程分别为 ? cos ? ? 3 , ? ? 4 cos ? ? ? ≥ 0,≤? ?

? ?

π? ?, 2?
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则曲线 C1 与 C2 交点的极坐标为
2 2



3.已知圆 C: ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 1 ,则圆心 C 的极坐标为_______ ( ? ? 0, 0 ? ? ? 2? )

学生对于本次课的评价: □特别满意 □满意 □一般 □差 学生签字: 教师评定: 1、学生上次作业评价: 2、学生本次上课情况评价: □好 □好 □较好 □较好 □一般 □一般 □差 □差

教师签字: 附: 跟踪回访表 家长(学生)反馈意见:

学生阶段性情况分析:

自我总结及调整措施:

主任签字: 龙文教育教务处

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