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几个常用函数的导数2习题


8x)2.

[学业水平训练] 1.函数 y=(2 014-8x)3 的导数 y′=( ) 2 A.3(2 014-8x) B.-24x C.-24(2 014-8x)2 D.24(2 014-8x)2 2 解析:选 C.y′=3(2 014-8x) ×(2 014-8x)′=3(2 014-8x)2×(-8)=-24(2 014-

2.曲线 y=-x3+3x2 在点(1,2)处的切线方程为( ) A.y=3x-1 B.y=-3x+5 C.y=3x+5 D.y=2x 解析:选 A.y′=-3x2+6x,k=-3×12+6×1=3,又切线过点(1,2),则切线方程为 y -2=3(x-1),整理得 y=3x-1. 3.若 f(x)=xln x,且 f′(x0)=2,则 x0=( ) A.e2 B .e ln 2 C. D.ln 2 2 解析:选 B.∵f(x)=xln x,∴f′(x)=ln x+1, 由已知得 ln x0+1=2,即 ln x0=1,解得 x0=e. x2+a2 4.函数 y= (a>0)在 x=x0 处的导数为 0,那么 x0=( ) x A.a B .± a C.-a D.a2 x2+a2 2x· x-?x2+a2? x2-a2 2 解析:选 B.y′=( )′= = 2 ,由 x2 a. 0-a =0,得 x0=± x x2 x 1 - 5.函数 z= (ex+e x)的导数是( ) 2 1 1 - - A. (ex-e x) B. (ex+e x) 2 2 - - C.ex-e x D.ex+e x - - 解析: 选 A.令 y=eu, u=-x, 则 y′x=y′u· u′x, 所以(e x)′=(eu)′· (-x)′=e x×(- 1 1 - - - 1)=-e x.所以 z= (ex+e x)的导数为 (ex-e x). 2 2 6.设 y=-2exsin x,则 y′=________. 解析:y′=-2[(ex)′· sin x+ex· (sin x)′] x x x =-2(e sin x+e cos x)=-2e (sin x+cos x). 答案:-2ex(sin x+cos x) π 1 7.设 f(x)=ax2-bsin x,且 f′(0)=1,f′( )= ,则 a=________,b=________. 3 2 解析:f′(x)=2ax-bcos x,由条件知 ?-bcos 0=1,

? ?2π π 1 ? ? 3 a-bcos 3=2,
? ?b=-1, ∴? ?a=0. ? 答案:0 -1

π 8.函数 y=2cos2x 在 x= 处的切线斜率为________. 12 解析:由函数 y=2cos2x=1+cos 2x,

π π 得 y′=(1+cos 2x)′=-2sin 2x, 所以函数在 x= 处的切线斜率为-2sin(2× )=- 12 12 1. 答案:-1 9.求下列函数的导数: (1)y=x2sin x+2cos x; ex+1 (2)y= x ; e -1 lg x (3)y= . x 解:(1)y′=(x2sin x)′+(2cos x)′ =(x2)′sin x+x2(sin x)′+2(cos x)′ =2xsin x+x2cos x-2sin x. ?ex+1?′?ex-1?-?ex+1??ex-1?′ (2)法一:y′= ?ex-1?2 ex?ex-1?-?ex+1?ex -2ex = = x . ?ex-1?2 ?e -1?2 ex+1 ex-1+2 2 法二:y= x = x =1+ x , e -1 e -1 e -1 2ex y′=- x . ?e -1?2 ?lg x?′x-lg x· ?x?′ lg x (3)y′=( )′= x x2 1 · x-lg x xln 10 1-ln 10· lg x = = . x2 x2· ln 10 b 10. 设函数 f(x)=ax- , 曲线 y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0.求 f(x) x 的解析式. 解:方程 7x-4y-12=0, 7 可化为 y= x-3. 4 1 当 x=2 时,y= . 2 b 又 f′(x)=a+ 2, x b 1 2a- = , 2 2 于是 b 7 a+ = , 4 4

? ? ?

?a=1, ? 3 解得? 故 f(x)=x- . x ?b=3. ?

[高考水平训练] 1.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2exf′(1)+3ln x,则 f′(1)=( A.-3 B.2e 2 3 C. D. 1-2e 1-2e 解析:选 D.∵f′(1)为常数, 3 ∴f′(x)=2exf′(1)+ , x ∴f′(1)=2ef′(1)+3,

)

3 ∴f′(1)= . 1-2e 2.设曲线 y=eax 在点(0,1)处的切线与直线 x+2y+1=0 垂直,则 a=________. 解析:令 y=f(x), 则曲线 y=eax 在点(0,1)处的切线的斜率为 f′(0), 又切线与直线 x+2y+1=0 垂直, 所以 f′(0)=2. 因为 f(x)=eax, 所以 f′(x)=(eax)′=eax· (ax)′=aeax, 0 所以 f′(0)=ae =a, 故 a=2. 答案:2 3.求下列函数的导数: (1)y=5log2(2x+1); 1 (2)y= . ?1-3x?4 解:(1)设 y=5log2u,u=2x+1, 10 则 y′=y′u· u′x=5(log2u)′(2x+1)′= uln 2 10 = . ?2x+1?ln 2 - (2)设 u=1-3x,则 y=u 4, - ∴y′=y′u· u′x=(u 4)′· (1-3x)′ -5 -5 =-4u · (-3)=12u 12 - =12(1-3x) 5= . ?1-3x?5 4.已知函数 f(x)=ax2+ln x 的导数为 f′(x), (1)求 f(1)+f′(1). (2)若曲线 y=f(x)存在垂直于 y 轴的切线,求实数 a 的取值范围. 解:(1)由题意,函数的定义域为(0,+∞), 1 由 f(x)=ax2+ln x,得 f′(x)=2ax+ , x 所以 f(1)+f′(1)=3a+1. (2)因为曲线 y=f(x)存在垂直于 y 轴的切线,故此时切线斜率为 0,问题转化为 x>0 范 1 围内导函数 f′(x)=2ax+ 存在零点, x 1 即 f′(x)=0? 2ax+ =0 有正实数解, x 2 即 2ax =-1 有正实数解,故有 a<0, 所以实数 a 的取值范围是(-∞,0).


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