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《椭圆的简单几何性质》教学设计



《椭圆的简单几何性质》教学设计
□ 江西省乐平中学 骆魁敏 教材:高中《数学》 (人教社·必修)第二册(上)第八章“圆锥曲线方程”第二节 一、教学目标 1. 知识目标 (1)熟练掌握椭圆的范围、对称性、顶点等简单几何性质; (2)熟练掌握标准方程中 a、b、c 的几何意义; (3)熟练掌握椭圆的第二定义,并用第二定义画椭圆。 2. 能力目标 (1)重视基础知识教学、基本技能训练和能力的培养; (2)启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造性地解决问题; (3)通过教师指导发现知识结论,培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力; (4)利用电脑模拟动点运动,增强直观性,激励学生的学习动机,培养学生观察能力、数学想象能 力和抽象思维能力。 (5)通过教师指导下的自主探索与合作学习,培养学生自主探究能力与协作探究能力。 3. 发展目标 激发学生的学习兴趣和求知欲,使学生初步掌握数形结合的数学思想方法;培养思维的变通性 和严密性;培养学生的探索精神和创新个性。 二、教学重点、难点 1. 重点:椭圆的简单几何性质与第二定义 三、教学思路 运用基于现代信息技术的高中数学自主探究式教学模式“创设情境—提出问题—自主探索—网 上协作—网上测试—课堂小结” ,创设虚拟数学教学情境,引导学生进行数学虚拟实验,自主探究或 协作探究“椭圆的简单几何性质与第二定义” ,让学生亲身体验数学建构过程。 四、教学媒体 现代信息技术与高中数学课程整合教学平台系统主要包括“几何画板” “Z+Z 智能知识平台” 、 、 “TI 图 形 计 算 器 ”“高中数学虚拟实验室” 、 、多媒体电脑展示平台和连接因特网千兆主干 100M 到 桌面的校园网等几部分。多媒体网络教室内,每 4 张电脑桌呈田字形放置在一起,便于协作探究。 五、教学过程 (一)创设情境 教师通过多媒体电脑展示平台,先播放课件 1“椭圆的第一定义” ,然后再用电脑动态演示课件 2“椭圆的第一定义的应用” ,创设一种能产生身临其境的逼真效果的教学情境,为学生营造一个良 好的学习氛围,激发学生探求数学新知识的兴趣与求知欲。进一步使学生明确学习椭圆的重要性和 必要性,借助计算机形成生动的直观印象,以便更好地掌握椭圆的定义及其标准方程与简单几何性 质。 2.难点:椭圆的第二定义

MF 1 = 5.61 cm MF 2 = 4.39 cm
定 义 动画

5

y MF 1 + MF 2 = 10.00 cm M

坐标 焦 在 点 X轴 焦 在 点 Y轴

-5

F1

O

F2

5

x

课件 1-5 “椭圆的第一定义”
C 是定圆 A 内的一个定点,D 是圆上的动点,求线段 CD 的垂直平分线与半径 AD 的 交点 F 的轨迹方程.

D 探求轨迹 显示轨迹 隐藏轨迹 显示辅助线 隐藏辅助线 建立直角坐标系 隐藏直角坐标系 A C F E

拖动点 D 可以探求点的轨迹,拖动点 A 可以改变圆的半径的大小。

课件 2 “椭圆的第一定义的应用” (二)提出问题:椭圆有哪些几何性质?以椭圆标准方程

x2 y2 ? ? 1 为例进行探究。 a2 b2

椭圆的简单几何性质

5

还原 第一定义 显示范围 对称性 显示顶点

1 a
-1 0

离心率
-5

b

F1

O

F2

5

10

显示准线 e 第二定义 显示特征三角形 0 b=3. 47 a=3.99 e=0.50 c=1.98 离心率变化
-5

点P在椭圆上运动

课件 3 “椭圆的简单几何性质” (三)自主探索
-1 0

为了引导学生正确回答以上问题,教师指导学生利用课件 3“椭圆的简单几何性质”进行数学 虚拟实验,自主探索椭圆的简单几何性质,并得出以下结论: 范围 点击 “显示范围” 可以直观看出曲线在坐标系中的范围: , 椭圆在四条直线 x ? ? a , y ? ?b

围成的矩形内侧。

x2 y2 对称性 点击“对称性” ,可以直观看出椭圆 2 ? 2 ? 1 关于每个坐标轴和原点都是对称的, a b 2 2 x y 这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆 2 ? 2 ? 1 的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中 a b
心。 顶点 椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。点击“显示顶点” ,可以直观看出椭圆和 x 轴有两

个交点 A (?a,0) A2 (a,0) , 椭圆和 y 轴有两个交点 B (0,?b) B2 (0, b) 。 注意:椭圆的顶点有四个顶点,它们分别是长轴和短轴的四个端点。长轴:线段 A1 A2 叫做椭圆 的长轴,它的长等于 2a,a 叫做椭圆的长半轴长。短轴:线段 B1 B2 叫做椭圆的短轴,它的长等于 2b, b 叫做椭圆的短半轴长。 离心率 概念:椭圆焦距与长轴长之比;定义式: e ? 系。点击“离心率” ,可以直观看出:

c a

;范围: 0 ? e ? 1 ;考察椭圆形状与 e 的关

e ? 0, c ? 0 ,椭圆变圆,直至成为极限位置圆,此时也可认为圆为椭圆在 e ? 0 时的特例。
直至成为极限位置线段 F1 F2 , 此时也可认为圆为椭圆在 e ? 1 时的特例。 e ? 1, c ? a, 椭圆变扁, 准线 点击“显示准线” ,可以直观看出:对于

x2 y2 ? ? 1 来说,相对于左焦点 F1 (?c,0) 对应 a2 b2

着左准线 l1 : x ? ?

a2 c
a2 c

相对于右焦点 F2 (c,0) 对应着右准线 l 2 : x ? (四)网上协作

教师指导学生运用课件 4“椭圆的第二定义” ,通过网络交互系统进行网上协作,合作探究椭圆 的第二定义。
请 我 拖P e

椭圆的第二定义
L1 让点M在曲线上动一动 L2

e = 0.75

|F 1M|= 1.23 点M到直线L1的距离= 1.64 O |F 1M| =0.75 点M到直线L1的距离 M F1 F2

课件 4 “椭圆的第二定义” 1.自由组合,组成“学习共同体” 每个小组可以自由组合,每个小组 4~6 位同学参加,组长自定。每个小组就是一个“学习共同 体” 。 2.分工协作,合作探究,攻克难关 事先将本节课的中心任务“研究椭圆的第二定义”分解成四个子任务:⑴若离心率 e 不变,当 点 M 在曲线上自由运动时, “点 M 到左边定点 F1 的距离与点 M 到左边直线 L1 的距离之比”会发生 变化吗?这个比值与离心率 e 有何关系?⑵若改变离心率 e,当点 M 在曲线上自由运动时, “点 M 到左边直线 L1 的距离与点 M 到左边定点 F1 的距离之比” 会发生变化吗?这个比值与离心率 e 有何 关系?⑶根据以上情况,你能得出什么结论?⑷当离心率 e 大于或等于 1 时,原来的椭圆会变成什 么曲线,它还是椭圆吗?这些任务在同一时间内由不同的角色去分别完成。因此,在教师指导下,

每个小组由组长进行分工与协调,每人负责其中的一项研究任务。学生在明确任务后,积极行动起 来,一边操作计算机,一边思考。 例如,承担任务⑴的学生点击按钮“让点 M 在曲线上动一动” ,通过观察,发现规律:当点 M 在曲线上自由运动时,只要离心率 e 保持不变,则“点 M 到左边定点 F1 的距离与点 M 到左边直线 L1 的距离之比”不会发生变化,其值恒等于 e 的值;承担任务⑵的同学点击按钮“请拖我 e” ,通过 观察发现:当点 M 在曲线上自由运动时,如果改变离心率 e 的值,则“点 M 到左边定点 F1 的距离 与点 M 到左边直线 L1 的距离之比”会发生变化,但其值等于 e 的值;承担任务⑶的学生通过网络 及时调看承担任务⑴、⑵的同学的研究结论,运用课件 4“椭圆的第二定义” ,通过实验与进一步观 察,可以发现:无论离心率 e 是否保持不变,当点 M 在曲线上自由运动时,则“点 M 到左边定点 F1 的距离与点 M 到左边直线 L1 的距离之比”总是等于 e 的值;承担任务⑷的同学点击按钮“请拖 我 e” ,经过反复观察发现:当离心率 e 大于或等于 1 时,原来的椭圆将变成不是椭圆的其他曲线。 但无论离心率 e 是否保持不变,当点 M 在曲线上自由运动时,则“点 M 到左边定点 F1 的距离与点 M 到左边直线 L1 的距离之比”总是等于 e 的值。最后各学习小组终于得出几乎一致的结论,即当点 M 与一个定点的距离与点 M 到一条定直线的距离之比是常数 e (e<1 )时,这个点的轨迹是椭圆,定 点是焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数 e 是椭圆的离心率。 (五)网上测试——形成性评价 采用新疆奎屯市一中王新敞先生开发的“ 《几何画板》电子测试系统”的《高中解析几何—— 椭圆基础知识测试 30 题》 (http://downloadk12.com.cn/index.php3)进行测试。我把它上传到校 园网上,要求学生在规定时间内独立完成。该套 30 道测试题为选择题,从四个选项中选出惟一正确 的答案,每题 5 分,总分 150 分。学生完成之后,先由学生自己进行自我评价,测试系统将自动批 改、记分、计时,并给出正确答案。最后,再由教师进行分析与讲解。 (六)课堂小结 由教师进行小结, 同时将要学生掌握的内容投影在大屏幕上。 最后布置作业: 课本 P96 习题 8.1: 6,7,8。 @



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