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高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-1《2.4.1抛物线及标准方程》评估训练



2.4 2.4.1

抛物线

抛物线及其标准方程

双基达标
1. 抛物线 y2=-8x 的焦点坐标是 A.(2,0) B.(-2,0)

?限时 20 分钟? ( C.(4,0) D.(-4,0) ).

p 解析 依题意,抛物线开口向左,焦点在 x 轴的负半轴上,由

2p=8 得 =2,故焦点坐 2 标为(-2,0),故选 B. 答案 B 2. 若抛物线 y2=8x 上一点 P 到其焦点的距离为 10, 则点 P 的坐标为 A.(8,8) C.(8,± 8) B.(8,-8) D.(-8,± 8) ( ).

解析 设 P(xP, yP), ∵点 P 到焦点的距离等于它到准线 x=-2 的距离, ∴xP=8, yP=± 8, 故选 C. 答案 C x2 y2 3.以双曲线 - =1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为 16 9 A.y2=16x C.y2=8x B.y2=-16x D.y2=-8x ( ).

x2 y2 解析 由双曲线方程 - =1,可知其焦点在 x 轴上,由 a2=16,得 a=4,∴该双曲 16 9 线右顶点的坐标是(4,0),∴抛物线的焦点为 F(4,0).设抛物线的标准方程为 y2= p 2px(p>0),则由 =4,得 p=8,故所求抛物线的标准方程为 y2=16x. 2 答案 A 4. 设抛物线 y2=8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4, 则点 P 到该抛物线焦点的距离是________. p 4 解析 由抛物线的方程得 = =2,再根据抛物线的定义,可知所求距离为 4+2=6. 2 2 答案 6

5.若直线 ax-y+1=0 经过抛物线 y2=4x 的焦点,则实数 a=________. 解析 抛物线 y2=4x 的焦点为(1,0),代入 ax-y+1=0,解得 a=-1. 答案 -1 6.根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1)准线方程是 y=3; (2)过点 P(-2 2,4); (3)焦点到准线的距离为 2. p 解 (1)由准线方程为 y=3 知抛物线的焦点在 y 轴负半轴上,且 =3,则 p=6,故所求 2 抛物线的标准方程为 x2=-12y. (2)∵点 P(-2 2,4)在第二象限,∴设所求抛物线的标准方程为 y2=-2px(p>0)或 x2= 2py(p>0),将点 P(-2 2,4)代入 y2=-2px,得 p=2 2;代入 x2=2py,得 p=1. ∴所求抛物线的标准方程为 y2=-4 2x 或 x2=2y. (3)由焦点到准线的距离为 2,得 p= 2,故所求抛物线的标准方程为 y2=2 2x,y2= -2 2x,x2=2 2y 或 x2=-2 2y.

综合提高(限时 25 分钟)
7. 动点到点(3, 0)的距离比它到直线 x=-2 的距离大 1, 则动点的轨迹是 A.椭圆 C.双曲线的一支 B.双曲线 D.抛物线 ( ).

解析 已知条件可等价于“动点到点(3,0)的距离等于它到直线 x=-3 的距离”,由抛 物线的定义可判断,动点的轨迹为抛物线,故选 D. 答案 D 8.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直 线 l2 的距离之和的最小值是 A.2 B.3 11 C. 5 37 D. 16 ( ).

解析 直线 l2:x=-1 为抛物线 y2=4x 的准线,由抛物线的定义 知,P 到 l2 的距离等于 P 到抛物线的焦点 F(1,0)的距离,故本题 化为在抛物线 y2=4x 上找一个点 P 使得 P 到点 F(1,0)和直线 l1 的距离之和最小,最小值为 F(1,0)到直线 l1:4x-3y+6=0 的距

离,即 dmin= 答案 A

|4-0+6| =2,故选择 A. 5

9.已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16 相切,则 p 的值为________. p 解析 由抛物线方程 y2=2px(p>0),得其准线方程为 x=- ,又圆的方程为(x-3)2+y2 2 p =16,∴圆心为(3,0),半径为 4.依题意,得 3-(- )=4,解得 p=2. 2 答案 2 1 10.抛物线 y=- x2 上的动点 M 到两定点 F(0,-1),E(1,-3)的距离之和的最小值为 4 ________. 解析 将抛物线方程化成标准方程为 x2=-4y, 可知焦点坐 1 标为(0,-1),-3<- ,所以点 E(1,-3)在抛物线的内部, 4 如图所示,设抛物线的准线为 l,过 M 点作 MP⊥l 于点 P, 过点 E 作 EQ⊥l 于点 Q,由抛物线的定义可知,|MF|+|ME| =|MP|+|ME|≥|EQ|,当且仅当点 M 在 EQ 上时取等号,又 |EQ|=1-(-3)=4,故距离之和的最小值为 4. 答案 4 11.已知动圆 M 经过点 A(3,0),且与直线 l:x=-3 相切,求动圆圆心 M 的轨迹方程. 解 法一 设动点 M(x,y),设⊙M 与直线 l:x=-3 的切点为 N,则|MA|=|MN|,即动 点 M 到定点 A 和定直线 l:x=-3 的距离相等,所以点 M 的轨迹是抛物线,且以 A(3, 0)为焦点,以直线 l:x=-3 为准线, p ∴ =3,∴p=6. 2 ∴圆心 M 的轨迹方程是 y2=12x. 法二 设动点 M(x,y),则点 M 的轨迹是集合 P={M||MA|=|MN|}, 即 (x-3)2+y2=|x+3|,化简,得 y2=12x. ∴圆心 M 的轨迹方程为 y2=12x. 12. (创新拓展)设 F(1, 0), 点 M 在 x 轴上, 点 P 在 y 轴上, 且 (1)当点 P 在 y 轴上运动时,求点 N 的轨迹 C 的方程; (2) 设 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , D(x3 , y3) 是 曲 线 C 上 除 去 原 点 外 的 不 同 三 点 , 且

成等差数列,当线段 AD 的垂直平分线与 x 轴交于点 E(3,0)时, 求点 B 的坐标. 解 (1)设 N(x,y),由 M(-x,0), ∴ 由 y =(-x,- ), 2 y =(1,- ). 2 y 得点 P 为线段 MN 的中点,∴P(0, ), 2

y2 =-x+ =0,得 y2=4x. 4

即点 N 的轨迹方程为 y2=4x. (2)由抛物线的定义,知|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,|DF|=x3+1, ∵ 成等差数列,

x1+x3 ∴2x2+2=x1+1+x3+1,即 x2= . 2 x1+x3 y1+y3 ∵线段 AD 的中点为( , ),且线段 AD 的垂直平分线与 x 轴交于点 E(3,0), 2 2 y1+y3 -0 2 ∴线段 AD 的垂直平分线的斜率为 k= . x1+x3 -3 2 y3-y1 y3-y1 y1+y3 又 kAD= ,∴ · =-1, x3-x1 x3-x1 x1+x3-6 4x3-4x1 即 =-1. (x32-x12)-6(x3-x1) x1+x3 ∵x1≠x3,∴x1+x3=2,又 x2= ,∴x2=1. 2 ∵点 B 在抛物线上,∴B(1,2)或(1,-2).



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