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新疆兵团农二师华山中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析



新疆兵团农二师华山中学 2014-2015 学年高二上学期期末数学试 卷(文科)
一.选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)设集合 M={1,2},N={a },则“a=1”是“N?M”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 2. (5 分)某校参加舞蹈社团的学生中,2014-

2015 学年高一年级有 40 名,2014-2015 学年 高二年级有 30 名,现用分层抽样的方法在这 70 名 学生中抽取一个样本,已知在 2014-2015 学年高一年级的学生中抽取了 8 名, 则在 2014-2015 学年高二年级的学生中应抽取的人数为 () A.12 B.10 C. 8 D.6 3. (5 分)下列有关命题的叙述错误的是() 2 2 A.对于命题 p:?x0∈R,x0 +x0+1<0,则¬p 为:?x∈R,x +x+1≥0 B. 若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 C. 命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0” 2 D.x ﹣5x+6=0 是 x=2 的必要不充分条件 4. (5 分)双曲线 x ﹣y =1 的顶点到其渐近线的距离等于() A. B.
3 2 2 2 2 2 2

C. 1

D.

5. (5 分)若函数 f(x)=x +ax +(a+6)x+1 有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是() A.(﹣1,2) B.(﹣∞,﹣3)∪(6,+∞) C. (﹣3,6) D. (﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) 6. (5 分)抛物线 y =ax 的准线方程是 x=﹣2,则 a 的值是() A. B. ﹣ C. 8
5 4 3 2 2

D.﹣8

7. (5 分)用秦九韶算法计算多项式 f(x)=2x ﹣3x +7x ﹣9x +4x﹣10 在 x=2 时的值时, V3 的值为() A.34 B.22 C. 9 D.1 8. (5 分)某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试 验,根据收集到的数据(如下表) ,由最小二乘法求得回归直线方程 零件数 x 个 10 20 30 75 40 81 50 89

加工时间 y(min) 62

表中有一个数据模糊不清,请你推断出该数据的值为() A.68 B.68.2 C.69 9. (5 分)若程序框图输出的 S 是 62,则条件①可为()

D.75

A.n≤5

B . n≤ 6

C.n≤7

D.n≤8

10. (5 分)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别为 AB、BC 中点,则异面直线 EF

与 AB1 所成角的余弦值为() A. B. C. D.

11. (5 分)甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a,再由乙猜甲刚才所 想的数字,把乙猜的数字记为 b,其中 a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a﹣b|≤1,就称甲乙“心 有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为() A. B. C. D.

12. (5 分)f(x)是定义在非零实数集上的函数,f′(x)为其导函数,且 x>0 时,xf′(x) ﹣f(x)<0,记 a= ,b= ,c= ,则()

A.a<b<c

B.b<a<c

C.c<a<b

D.c<b<a

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 2 13. (5 分)若曲线 y=ax ﹣2lnx 在点(1,a)处的切线平行于 x 轴,则 a=. 14. (5 分) 从等腰直角△ ABC 的底边 BC 上任取一点 D, 则△ ABD 为锐角三角形的概率为. 15. (5 分)已知抛物线 y =2px(p>0) ,过其焦点且斜率为﹣1 的直线交抛物线于 A、B 两 点,若线段 AB 的中点的纵坐标为﹣2,则该抛物线的准线方程为.
2

16. (5 分)方程

+

=1 表示曲线 C,给出以下命题:

①曲线 C 不可能为圆; ②若曲线 C 为双曲线,则 t<1 或 t>4; ③若 1<t<4,则曲线 C 为椭圆; ④若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<t< . 其中真命题的序号是(写出所有正确命题的序号) .

三.解答题(本大题共 6 小题,第 17 题 10 分,其余每题 12 分,共 70 分,解答应写出文 字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (10 分)设 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0(其中 a>0) ,q:实数 x 满足(x﹣3) (x﹣ 2)<0 (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 18. (12 分)2014-2015 学年高二某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部都介于 13 秒 到 18 秒之间,将测试结果按如下方式分成五组,第一组,如图是按上述分组方法得到的频 率分布直方图. (1)若成绩大于等于 14 秒且小于 16 秒规定为良好,求该班在这次百米测试中成绩为良好 的人数. (2)请根据频率分布直方图,估计样本数据的众数和中位数(精确到 0.01) . (3)设 m,n 表示该班两个学生的百米测试成绩,已知 m,n∈,求事件“|m﹣n|>2”的概率.
2 2

19. (12 分)在平面直角坐标系中,已知一个双曲线的中心在原点,左焦点为 F(﹣2,0) , 且过点 . (1)求该双曲线的标准方程; (2)若 P 是双曲线上的动点,点 A(1,0) ,求线段 PA 中点 M 的轨迹方程. 20. (12 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA⊥底面 ABC,且侧棱和底面边长均 为 2,D 是 BC 的中点 (1)求证:AD⊥平面 BB1CC1; (2)求证:A1B∥平面 ADC1; (3)求三棱锥 C1﹣ADB1 的体积.

21. (12 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的右焦点为 F2(3,0) ,离心率为 e.

(Ⅰ)若 e=

,求椭圆的方程; =0,求 k +
2

(Ⅱ)设直线 y=kx(k>0)与椭圆相交于 A,B 两点,若 的值. 22. (12 分)已知函数 f(x)=mx﹣lnx, (m>0) . (1)若 m=1,求函数 f(x)的极值; (2)求函数 f(x)在区间上的最小值; (3)若 f(x)≤0 恒成立,求 m 的取值范围.

?

新疆兵团农二师华山中学 2014-2015 学年高二上学期期 末数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一.选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)设集合 M={1,2},N={a },则“a=1”是“N?M”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 考点: 集合关系中的参数取值问题. 专题: 集合. 分析: 先由 a=1 判断是否能推出“N?M”;再由“N?M”判断是否能推出“a=1”,利用充要条 件的定义得到结论. 解答: 解:当 a=1 时,M={1,2},N={1}有 N?M 当 N?M 时,a =1 或 a =2 有 所以“a=1”是“N?M”的充分不必要条件. 故选 A. 点评: 本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的条件问题. 2. (5 分)某校参加舞蹈社团的学生中,2014-2015 学年高一年级有 40 名,2014-2015 学年 高二年级有 30 名,现用分层抽样的方法在这 70 名学生中抽取一个样本,已知在 2014-2015 学年高一年级的学生中抽取了 8 名, 则在 2014-2015 学年高二年级的学生中应抽取的人数为 () A.12 B.10 C. 8 D.6 考点: 专题: 分析: 解答: 分层抽样方法. 概率与统计. 根据分层抽样的定义进行求解即可. 解:根据分层抽样的定义可得在 2014-2015 学年高一年级的学生中抽取了 8 名,则 ,
2 2 2

在 2014-2015 学年高二年级的学生中应抽取的人数为 故选:D. 点评: 本题主要考查分层抽样的应用,比较基础.

3. (5 分)下列有关命题的叙述错误的是() 2 2 A.对于命题 p:?x0∈R,x0 +x0+1<0,则¬p 为:?x∈R,x +x+1≥0 B. 若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 2 2 C. 命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0” 2 D.x ﹣5x+6=0 是 x=2 的必要不充分条件 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: A.利用“非命题”的否定即可得出; B.利用复合命题的真假判定即可得出; C.利用逆否命题的定义即可得出; 2 D.x ﹣5x+6=0,解得 x=2,3,即可判断出; 2 2 解答: 解:对于 A.命题 p:?x0∈R,x0 +x0+1<0,则¬p 为:?x∈R,x +x+1≥0,正确; 对于 B.p∧q 为假命题,则 p,q 至少有一个为假命题,因此不正确;

对于 C.“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1 ”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0”;正确, 2 2 对于 D.由于 x ﹣5x+6=0,解得 x=2,3,因此 x ﹣5x+6=0 是 x=2 的必要不充分条件,正 确. 综上可得:只有 B 不正确. 故选:B. 点评: 本题考查了简易逻辑的判定,考查了推理能力,属于基础题. 4. (5 分)双曲线 x ﹣y =1 的顶点到其渐近线的距离等于() A. B. C. 1 D.
2 2

2

2

考点: 专题: 分析: 解答:

双曲线的简单性质. 计算题. 求出双曲线的渐近线方程,顶点坐标,利用点到直线的距离求解即可. 2 2 解:双曲线 x ﹣y =1 的顶点坐标(1,0) ,其渐近线方程为 y=±x, = .

所以所求的距离为

故选 B. 点评: 本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力. 5. (5 分)若函数 f(x)=x +ax +(a+6)x+1 有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是() A.(﹣1,2) B.(﹣∞,﹣3)∪(6,+∞) C. (﹣3,6) D. (﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 计算题;导数的综合应用. 2 3 2 分析: 由题意求导 f′(x)=3x +2ax+(a+6) ;从而化函数 f(x)=x +ax +(a+6)x+1 有 2 极大值和极小值为△ =(2a) ﹣4×3×(a+6)>0;从而求解. 3 2 解答: 解:∵f(x)=x +ax +(a+6)x+1, 2 ∴f′(x)=3x +2ax+(a+6) ; 3 2 又∵函数 f(x)=x +ax +(a+6)x+1 有极大值和极小值, 2 ∴△=(2a) ﹣4×3×(a+6)>0; 故 a>6 或 a<﹣3; 故选 B. 点评: 本题考查了导数的综合应用,属于中档题. 6. (5 分)抛物线 y =ax 的准线方程是 x=﹣2,则 a 的值是() A. B. ﹣ C. 8 D.﹣8
2 3 2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由抛物线的 y =2px 的准线方程为 x=﹣ ,结合题意即可求得 a 的值.
2

解答: 解:∵y =2px 的准线方程为 x=﹣ , ∴由 y =ax 的准线方程为 x=﹣2 得:a=﹣4×(﹣2)=8, ∴a=8. 故答案为:8. 点评: 本题考查抛物线的简单性质, 掌握 y =2px 的准线方程为 x=﹣ 是解决问题的关键, 属于基础题. 7. (5 分)用秦九韶算法计算多项式 f(x)=2x ﹣3x +7x ﹣9x +4x﹣10 在 x=2 时的值时, V3 的值为() A.34 B.22 C. 9 D.1 考点: 秦九韶算法. 专题: 计算题;算法和程序框图. 分析: 所给的多项式写成关于 x 的一次函数的形式,依次写出,得到最后结果,从里到外 进行运算,得到要求的值. 解答: 解:f(x)=2x ﹣3x +7x ﹣9x +4x﹣10 4 3 2 =(2x ﹣3x +7x ﹣9x+4)x﹣10 =x+4)x﹣10 ={x+4}x﹣10 ={{x+7}x﹣9}x+ 4}x﹣10 ∴在 x=2 时的值时,V3 的值为=x+7=9 故选:C. 点评: 本题考查秦九韶算法, 本题解题的关键是对多项式进行整理, 得到符合条件的形式, 不管是求计算结果还是求加法和减法的次数都可以. 8. (5 分)某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试 验,根据收集到的数据(如下表) ,由最小二乘法求 得回归直线方程 零件数 x 个 10 20 30 75 40 81 50 89 D.75
5 4 3 2 5 4 3 2 2 2

2

加工时间 y(min) 62

表中有一个数据模糊不清,请你推断出该数据的值为() A.68 B.68.2 C.69

考点: 线性回归方程. 专题: 应用题. 分析: 根据表中所给的数据,做出横标和纵标的平均数,得到样本中心点,根据由最小二 乘法求得回归方程 ,代入样本中心点求出该数据的值,

解答: 解:设表中有一个模糊看不清数据为 m. 由表中数据得: =30, = ,

由于由最小二乘法求得回归方程 将 x=30,y=



代入回归直线方程,得 m=68.

故选 A. 点评: 本题考查线性回归方程的应用,解题的关键是正确应用线性回归方程进行预测. 9. (5 分)若程序框图输出的 S 是 62,则条件①可为()

A.n≤5 考点: 程序框图. 专题: 计算题. 分析: 由 S1=0,

B . n≤ 6

C.n≤7

D.n≤8

(n≥2) ,可得 Sn=2 ﹣2.令 2 ﹣2=62,则 n=6.进而

n

n

可推断①的限制条件. 解答: 解:由 S1=0,
n

(n≥2) ,可得

=2 ﹣2.

n

令 2 ﹣2=62,则 n=6. 故①中可为 n≤5. 故选 A. 点评: 弄清循环结构的功能及得出 S 与 n 的关系式,是解决问题的关键.

10. (5 分)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别为 AB、BC 中点,则异面直线 EF

与 AB1 所成角的余弦值为() A. B. C. D.

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 空间角. 分析: 先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点 A, 得到的锐角或直角就是异面直线 所成的角,在三角形中再利用余弦定理求出此角即可. 解答: 解:如图,将 EF 平移到 AC,连结 B1C, 则∠B1AC 为异面直线 AB 1 与 EF 所成的角, ∵三角形 B1AC 为等边三角形, ∴故异面直线 AB1 与 EF 所成的角 60°, ∴cos∠B1AC= . 故选 A. 点评: 本小题主要考查异面直线所成的角, 考查空间想象能力、 运算能力和推理论证能力, 属于基础题. 11. (5 分)甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a,再由乙猜甲刚才所 想的数字,把乙猜的数字记为 b,其中 a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a﹣b|≤1,就称甲乙“心 有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为() A. B. C. D.

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 新定义. 分析: 本题是一个古典概型, 试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏, 其中满足条 件的满足|a﹣b|≤1 的情形包括 6 种,列举出所有结果,根据计数原理得到共有的事件数,根 据古典概型概率公式得到结果. 解答: 解:由题意知本题是一个古典概型, ∵试验包含的所有事件是任意找两人玩这 个游戏,共有 6×6=36 种猜字结果, 其中满足|a﹣b|≤1 的有如下情形: ①若 a=1,则 b=1,2;②若 a=2,则 b=1,2,3; ③若 a=3,则 b=2,3,4;④若 a=4,则 b=3,4,5;

⑤若 a=5,则 b=4,5,6;⑥若 a=6,则 b=5,6, 总共 16 种, ∴他们“心有灵犀”的概率为 .

故选 D. 点评: 本题是古典概型问题,属于 2015 届高考新增内容,解本题的关键是准确的分类, 得到他们“ 心有灵犀”的各种情形. 12. (5 分)f(x)是定义在非零实数集上的函数,f′(x)为其导函数,且 x>0 时,xf′(x) ﹣f(x)<0,记 a= A.a<b<c ,b= B.b<a<c ,c= C.c<a<b ,则() D.c<b<a

考点: 利用导数研究函数的单调性;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 g(x)= 而得出答案. 解答: 解:令 g(x)= ,则 g′(x)= , ,得到 g(x)在(0,+∞)递减,通过 >2 >0.2 ,从
0.2 2

∵x>0 时,xf′(x)﹣f(x)<0, ∴g(x)在(0,+∞)递减, 又 ∴ ∴g( >
0.2

=2,1<2 <2,0.2 =0.04,
2

0.2

2

>2 >0.2 , )<g<g(0.2 ) ,
2

∴c<a<b, 故选:C. 点评: 本题考查了函数的单调性问题,考查了导数的应用,考查了指数,对数的性质,是 一道中档题. 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 2 13. (5 分)若曲线 y=ax ﹣2lnx 在点(1,a)处的切线平行于 x 轴,则 a=1. 考点: 专题: 分析: 解答: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 导数的概念及应用. 求出原函数的导函数,得到函数在 x=1 时的导数,由导数值为 0 求得 a 的值. 2 解:由 y=ax ﹣2lnx,得 ,则 y′|x=1=2a﹣2,

∵曲线 y=ax ﹣2lnx 在点(1,a)处的切线平行于 x 轴, ∴2a﹣2=1,即 a=1. 故答案为:1. 点评: 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,过曲线上某点的切线的斜 率,就是函数在该点处的导数值,是基础题. 14. (5 分)从等腰直角△ ABC 的底边 BC 上任取一点 D,则△ ABD 为锐角三角形的概率为 .

2

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 根据△ ABD 为锐角三角形,确定 D 的位置,然后根据几何概型的概率公式即可得 到结论. 解答: 解:∵△ABC 是等腰直角三角形,E 为 BC 的中点, ∴B=45°,当 D 位于 E 时,△ ABD 为直角三角形, ∴当 D 位于线段 EC 上时,△ ABD 为锐角三角形, ∴根据几何概型的概率公式可得△ ABD 为锐角三角形的概率为 故答案为: ,

点评: 本题主要考查几何概型的概率公式的计算,利用锐角三角形,确定 D 的位置是解 决本题的关键. 15. (5 分)已知抛物线 y =2px(p>0) ,过其焦点且斜率为﹣1 的直线交抛物线于 A、B 两 点,若线段 AB 的中点的纵坐标为﹣2,则该抛物线的准线方程为 x=﹣1. 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由题设条件知直线 AB 的方程为 x=﹣y+ ,代入抛 物线方程,得 y +2py﹣p =0,由线段 AB 的中点的纵坐标为﹣2,推导出 y1+y2=﹣2p=﹣4, 由此能求出结果. 2 解答: 解:∵抛物线 y =2px(p>0) ,过其焦点且斜率为﹣1 的直线交抛物线于 A、B 两 点, ∴直线 AB 的方程为:y=﹣x+ ,
2 2 2

∴x=﹣y+ , 把 x=﹣y+ 代入抛物线方程, 整理得 y +2py﹣p =0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 y1+y2=﹣2p, ∵线段 AB 的中点的纵坐标为﹣2, ∴y1+y2=﹣4, ∴p=2, 2 ∴抛物线方程为 y =4x, ∴该抛物线的准线方程为 x=﹣1. 故答案为:x=﹣1. 点评: 本题考查抛物线的准线方程的求法, 是中档题, 解题时要熟练掌握抛物线的简单性 质.
2 2

16. (5 分)方程

+

=1 表示曲线 C,给出以下命题:

①曲线 C 不可能为圆; ②若曲线 C 为双曲线,则 t<1 或 t>4; ③若 1<t<4,则曲线 C 为椭圆; ④若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<t< . 其中真命题的序号是②④(写出所有正确命题的序号) . 考点: 圆锥曲线的共同特征. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: ①当 4﹣t=t﹣1>0,即 t= 时,曲线 C 表示圆; ②若曲线 C 为双曲线,则(4﹣t) (t﹣1)<0,解出即可判断出; ③若 4﹣t>0,t﹣1>0 且 4﹣t≠t﹣1,解出即可得出曲线 C 为椭圆; ④若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆,则 4﹣t>t﹣1>0. 解答: 解:方程 + =1 表示曲线 C,以下命题:

①当 4﹣t=t﹣1>0,即 t= 时,曲线 C 表示圆,因此不正确; ②若曲线 C 为双曲线,则(4﹣t) (t﹣1)<0,解得 t<1 或 t>4,正确; ③若 4﹣t>0,t﹣1>0 且 4﹣t≠t﹣1,解得 1<t<4 且 确; ④若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆,则 4﹣t>t﹣1>0,解得 1<t< ,正确. ,则曲线 C 为椭圆,因此不正

综上可得真命题为:②④. 故答案为: ②④. 点评: 本题考查了分类讨论的思想方法, 考查了椭圆双曲线圆的标准方程及其性质, 考查 了推理能力与计算能力,属于中档题. 三.解答题(本大题共 6 小题,第 17 题 10 分,其余每题 12 分,共 70 分,解答应写出文 字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (10 分)设 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0(其中 a>0) ,q:实数 x 满足(x﹣3) (x﹣ 2)<0 (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: (1)若 a=1,求出命题 p,q 的等价条件,利用 p∧q 为真,则 p,q 为真,即可求 实数 x 的取值范围; (2) 求出命题 p, q 的等价条件, 利用 p 是 q 的必要不充分条件, 即可求实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)若 a=1,不等式为 x ﹣4x+3<0,即 1<x<3,即 p:1<x<3, 由(x﹣3) (x﹣2)<0 则 2<x<3,即 q:2<x<3, 若 p∧q 为真,则 p,q 同时为真, 即 ,解得 2<x<3,
2 2 2

则实数 x 的取值范围是 2<x<3; (2)∵x ﹣4ax+3a <0, ∴(x﹣a) (x﹣3a)<0, 若 a>0,则不等式的解为 a<x<3a, 若 a<0,则不等式的解为 3a<x<a, ∵q:2<x<3, ∴若 p 是 q 的必要不充分条件, 则 a>0,且 ,
2 2

即 1≤a≤2, 则实数 a 的取值范围是. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的应用, 以及不等式的求解, 利用不等式的解法 时解决本题的关键. 18. (12 分)2014-2015 学年高二某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部都介于 13 秒 到 18 秒之间,将测试结果按如下方式分成五组,第一组,如图是按上述分组方法得到的频 率分布直方图. (1)若成绩大于等于 14 秒且小于 16 秒规定为良好,求该班在这次百米测试中成绩为良好 的人数. (2)请根据频率分布直方图,估计样本数据的众数和中位数(精确到 0.01) . (3)设 m,n 表示该班两个学生的百米测试成绩,已知 m,n∈,求事件“|m﹣n|>2”的概率.

考点: 古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据频率分布直方图能求出成绩在 ∴中位数一定落在第三组中, 假设中位数是 x,则 0.22+(x﹣15)×0.38=0.5, 解得 x= ,

∴中位数是 15.74. (3)成绩在, ∴事件“|m﹣n|>2”的概率 p= = .

点评: 本题考查众数、中位数的求法,考查概率的计算,是中档题,解题时要认真审题, 注意频率分布直方图的合理运用. 19. (12 分)在平面直角坐标系中,已知一个双曲线的中 心在原点,左焦点为 F(﹣2,0) , 且过点 . (1)求该双曲线的标准方程; (2)若 P 是双曲线上的动点,点 A(1,0) ,求线段 PA 中点 M 的轨迹方程. 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)设双曲线方程,由题意得 c=2,a= ,再由 a,b,c 的关系可得 b,进而得 到双曲线方程; (2)设线段 PA 的中点为 M(x,y) ,点 P 的坐标是(x0,y0) ,运用中点坐标公式和双曲 线方程,即可得到轨迹方程. 解答: 解: (1)设双曲线的方程为 ﹣ =1(a>0,b>0) ,

则由题意得 c=2,a= 则双曲线的标准方程为

,b= ;

=1.

(2)设线段 PA 的中点为 M(x,y) ,点 P 的坐标是(x0,y0) ,



,得



因为点 P 在双曲线上,得 ∴线段 PA 中点 M 的轨迹方程是(2x﹣1) ﹣12y =3. 点评: 本题考查双曲线方程和性质,考查轨迹方程的求法,考查中点坐标公式,考查运算 能力,属于基础题. 20. (12 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA⊥底面 ABC,且侧棱和底面边长均 为 2,D 是 BC 的中点 (1)求证:AD⊥平面 BB1CC1; (2)求证:A1B∥平面 ADC1; (3)求三棱锥 C1﹣ADB1 的体积.
2 2

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)利用线面垂直的判定与性质定理、等边三角形的性质即可证明; (2)连接 A1C 交 AC1 于点 O,连接 OD,利用三角形的中位线定理与线面平行的判定定理 即可得出; (3)由于 ,利用三棱锥的体积计算公式即可得出.

解答: (1)证明:∵CC1⊥平面 ABC,又 AD?平面 ABC, ∴CC1⊥AD ∵△ABC 是正三角形,D 是 BC 的中点, ∴BC⊥AD,又 BC∩CC1=C, ∴AD⊥平面 BB1CC1; (2)证明:如图,连接 A1C 交 AC1 于点 O,连接 OD 由题得四边形 ACC1A1 为矩形,O 为 A1C 的中点, 又 D 为 BC 的中点, ∴A1B∥OD

∵OD?平面 ADC1,A1B?平面 ADC1 ∴A1B∥平面 ADC1. (3)解:∵ ∴ , = , . ,

点评: 本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、 等边三角形的性质、 三角形的中位线 定理与线面平行的判定定理、三棱锥的体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中 档题.

21. (12 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的右焦点为 F2(3,0) ,离心率为 e.

(Ⅰ)若 e=

,求椭圆的方程; =0,求 k +
2

(Ⅱ)设直线 y=kx(k>0)与椭圆相交于 A,B 两点,若 的值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)由题意可得

?

,由此可的 a,再由 a =b +c ,可求 b =3.

2

2

2

2

(Ⅱ) 由

得 (b +a k ) x ﹣a b =0, 设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 根据

2

2 2

2

2 2

?

=0,

得 入不表示可求结果;

. 分离得

. 代

解答: 解析: (Ⅰ)由题意得 又由 a =b +c ,解得 b =3. ∴椭圆的方程为 .
2 2 2 2

,解得



(Ⅱ)由

得(b +a k )x ﹣a b =0.

2

2 2

2

2 2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由根与系数的关系可知,x1+x2=0,且 又 ∴ .

. ,即



整理得







点评: 本题考查椭圆的方程、性质,考查直线与椭圆的位置关系,考查方程思想,考查学 生的运算求解能力,属中档题. 22. (12 分)已知函数 f(x)=mx﹣lnx, (m>0) . (1)若 m=1,求函数 f(x)的极值; (2)求函数 f(x)在区间上的最小值; (3)若 f(x)≤0 恒成立,求 m 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数 的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1) (x)<0,可得单调性,进而得到极值; ,分别解出 f′(x)=0,f′(x)>0,f′

(2)

,分别解出 f′(x)=0,f′(x)>0,

令 f′(x)<0,可得其单调性,再对 m 分类讨论即可得出; (3) 由f (x) ≥0 恒成立, 又f (x) 定义域为 (0, +∞) 可得 利用导数研究其单调性极值与最值,即可得出. 解答: 解: (1) , 恒成立, 设 ,

令 f′(x)=0 得 x=1,令 f′(x)>0 得 x>1,令令 f′(x)<0 得 0<x<1, ∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴f(x)的极小值为 f(1)=1﹣ln1=1,f(x)无极大值. (2) ,

令 f′(x)=0 得 x= ,令 f′(x)>0 得 x> ,令 f′(x)<0 得 0<x< , ∴f(x)在 ∵x∈, ∴当 当 . 当 时,f(x)在减,f(x)的最小值为 f(e)=me﹣1. 时,f(x)在单调递增,f(x)的最小值为 f(1)=m, 时,f(x)在 减, 增,f(x)的最小值为 上单调递减,在 上单调递增,

(3)∵f(x)≥0 恒成立,即 mx﹣lnx≥0 恒成立,∴mx≥lnx, 又∵f(x)定义域为(0,+∞)∴ 设 , 恒成立,



,∴当 x=e 时,g′(e)=0.

当 0<x<e 时,g′(x)>0,g(x)为单调增函数. 当 x>e 时,g′(x)<0,g(x)为单调减函数, ∴ ∴当 , 时,f(x)≥0 恒成立.

点评: 本题考查了利用导数 研究闭在区间上函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等 价转化方法、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.



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