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广东省珠海一中等六校2014届高三上学期第二次联考数学理 Word版含答案6



2014 届高三六校第二次联考数学试题
一、选择题.本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卡的相应位置. 1.设 A ? {0, 2}, B ? {x | x ? 3 x ? 2 ? 0} ,则 A ? B =
2

( D. {0,1, 2} (




A. {0, ?2, ?4}

B. {0, 2, ?4}

C. {0, 2, 4}

2.命题“ ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是 A. ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 C. ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1 ? 0



B. ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 D. ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ( D. y ? ? x
2

3.下列函数中,既是偶函数又在区间 (0, ??) 上递增的函数为 A. y ? x
3



B. y ? log 2 x

C. y ?| x |

4.一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t 2 ,其中 s 的单位是米, t 的单位是秒, 那么物体在 3 秒末的瞬时速度是 A. 7 米/秒 B. 6 米/秒 C. 5 米/秒 ( D. 8 米/秒 ( C. [3, 4] D. [4,5] ( ) ) )

5.函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点位于 A. [1, 2] 6.“ sin ? ? B. [2,3]

1 1 ”是“ cos 2? ? ”的 2 2

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 7.函数 f ( x) ? a x ?

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

1 (a ? 0, a ? 1) 的图象可能是 a

A

B

C

D

第 1 页 共 10 页

8.如图:正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,棱长为 1,黑白二蚁都从点 A 出发,沿棱向前爬行, 每走一条棱称为“走完一段”.白蚁爬行的路线是
D1 B1 C1

AA1 ? A1 D1 ? ? , 黑蚁爬行的路线是 AB ? BB1 ? ?. 它们
都遵循如下规则: 所爬行的第 i ? 2 段所在直线与第 i 段所在直线

A1

D

C B

必须是异面直线(其中 i ? N * ).设黑白二蚁走完第 2014 段后,
A

各停止在正方体的某个顶点处,这时黑白蚁的距离是 A. 1 B.

(

) D. 0

2

C. 3

二、填空题.本大题共 6 小题,每小题 5 分, 30 分 . 请把答案填在答题卡的相应位置. 共 9.函数 f ? x ? ?

lg ? 4 ? x ? x ?3

的定义域为____________.

10.若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a (a ? 0, 且 a ? 1) 的反函数,且函数 y ? f ( x) 的图像经过
x

点 ( a , a ) , 则 f ( x) ? ____________.

? f ( x ? 2), x ? 2 ? 11.已知函数 f ( x) ? ?? 1 ? x ,则 f (?3) 的值为____________. ?? ? , x ? 2 ?? 2 ?
12.如图是函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 的图象,则其解析式是____________. 13.由曲线 y ? e 与直线 x ? 0 、直线 y ? e 所围成的图形的面积为
x

y 3

?
2

)
π 6

O

π 3

5π 6

x

-3
____________. 14.设函数 f ( x) ? lg ? ax 2 ? x ? (b 2 ? b ? ) ? ( a ? 0) ,若对任意实数 b , 函数 f ( x) 的定义域 2 为 R ,则 a 的取值范围为____________.

? ?

1 ? ?

第 2 页 共 10 页

三、解答题.本大题共 6 小题,共 80 分 . 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 . 15. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (1)求 f ? ?

2 sin( x ?

?
12

) , x?R

? ?? ? 的值; ? 6?

(2)若 sin ? ? ?

? 4 ? 3? ? , ? ? ? , 2? ? ,求 f (2? ? ) . 3 5 ? 2 ?

16.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 5 , x ? R
3

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)求函数 f ( x) 在区间 ? ?2, 2? 上的最值.

17. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x , x ? R (1)求函数 f ? x ? 的最小正周期,并求 f ? x ? 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最小值; , ? 4 6? ?

(2)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, A 为锐角,若 f ? A ? ? f ? ? A ? ?

3 , 2

b ? c ? 7 , ?ABC 的面积为 2 3 ,求 a .

18.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x (a ? R )
2

(1)若函数 f (x) 在 x ? 1 处的切线垂直 y 轴,求 a 的值;

第 3 页 共 10 页

(2)若函数 f (x) 在区间 (1,??) 上为增函数,求 a 的取值范围; (3)讨论函数 g ( x) ? f ( x) ? (a ? 2) x 的单调性.

19.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

x(1 ? ln x) , ( x ? 1) x ?1

(1)设 x0 为函数 f ( x) 的极值点,求证: f ( x0 ) ? x0 ; (2)若当 x ? 1 时, x ln x ? (1 ? k ) x ? k ? 0 恒成立,求正整数 k 的最大值. ...

20.(本小题满分 14 分)

x x2 xn 设函数 f n ( x) ? ?1 ? ? ? ? ? , ( x ? R, n ? N * ) 1! 2! n!
(1)证明对每一个 n ? N * ,存在唯一的 xn ? ? ,1? ,满足 f n ( xn ) ? 0 ; (2)由(1)中的 xn 构成数列 ? xn ? ,判断数列 ? xn ? 的单调性并证明; (3)对任意 p ? N , xn , xn ? p 满足(1) ,试比较 xn ? xn ? p 与
*

?1 ? ?2 ?

1 的大小. n

第 4 页 共 10 页

2014 届六校十月联考理科数学参考答案
一.选择题 1 D 二.填空题 9. ? x | x ? 4且x ? 3? 10. log 1 x
2

2 C

3 C

4 C

5 B

6 A

7 D

8 B

11.

1 8

12. y ? 3sin(2 x ? 三.解答题

?
3

)

13. ____1____

14. (1, ??)

15. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (1)求 f ? ?

2 sin( x ?

?
12

) , x ? R 学优高考网

? ?? ? 的值; ? 6?

(2)若 sin ? ? ?

? 4 ? 3? ? , ? ? ? , 2? ? ,求 f (2? ? ) . 3 5 ? 2 ?
2 sin( x ?

解: (1)? f ( x) ?

?
12

)

? f (? ) ? 2 sin(? ? ) 6 6 12

?

?

?

??2 分 ??4 分 ??5 分

? 2 sin(? ) ? ? 2 sin( ) 4 4
? ?1
(2)? sin ? ? ?

?

?

4 ? 3? ? , ? ? ? , 2? ? 5 ? 2 ?
3 5
??7 分 ??8 分 ??9 分 ??10 分

? cos ? ? 1 ? sin 2 ? ?

? sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ?

24 25 7 cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? ? 25

? f (2? ? ) ? 2 sin(2? ? ) 3 4

?

?

? cos 2? sin ) 4 4 24 7 31 =? ? ?? 25 25 25

? 2(sin 2? cos

?

?

??12 分

16.(本小题满分 12 分)学优高考网 设函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 5 , x ? R
3

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)求函数 f ( x) 在区间 ? ?2, 2? 上的最值. 解:(1)? f ( x) ? x ? 6 x ? 5
3

? f '( x) ? 3x 2 ? 6
令 f '( x) ? 0, ? x ? ? 2

??2 分 ??3 分

f '( x), f ( x)随着x 的变化情况如下表:

x
f '( x)

(??, ? 2)

? 2
0 极大值

(? 2, 2)
— 单调递减

2
0 极小值

( 2, ??)

?
单调递增

?
单调递增 ??5 分

f ( x)

由上表可知 f ( x) 的单调递增区间为 (??, ? 2) 和 ( 2, ??) , 单调递减区间为 (? 2, 2) . ??6 分

(2)由(1)可知函数 f ( x) 在 ? ?2, ? 2 ? 上单调递增,在 ? ? 2, 2 ? 上单调递减,

?

?

?

?

在 ? 2, 2 ? 上单调递增,

?

?

??7 分 ??8 分 ??9 分 ??10 分 ??11 分

? f ( x) 的极大值 ? f (? 2) ? 5 ? 4 2 f ( x) 的极小值 ? f ( 2) ? 5 ? 4 2
又? f (2) ? 1 ? 5 ? 4 2 ? f ( ? 2) ,

f (?2) ? 9 ? 5 ? 4 2 ? f ( 2)

? 函数 f ( x) 在区间 ? ?2, 2? 上的最大值为 5 ? 4 2 ,最小值为 5 ? 4 2 . ??12 分

17. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x , x ? R (1)求函数 f ? x ? 的最小正周期,并求 f ? x ? 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最小值; , ? 4 6? ?

(2)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, A 为锐角,若 f ? A ? ? f ? ? A ? ?

3 , 2

b ? c ? 7 , ?ABC 的面积为 2 3 ,求 a .
(资料苏元高考吧 www.gaokao8.net 广东省数学教师QQ群:179818939) 解: (1) f ? x ? ? sin 2 x ? 3 sin x cos x ?

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x 2 2
??3 分

?

1 ?? ? ? sin ? 2 x ? ? 2 6? ?

所以函数 f ? x ? 的最小正周期为 T ? 因为 x ? ??

2? 2? ? ?? |? | 2

??4分

? ? 2? ? ? ? ? ?? . , ? ,所以 2 x ? ? ?? , 6 ? 3 6? ? 4 6? ?
?
6 ??

所以当 2 x ?

?
2

时,函数 f ? x ? 在区间 ??

1 ? ? ?? , ? 上的最小值为 ? . 2 ? 4 6?

??7 分

(2)由 f ? A ? ? f ? ? A ? ? 化简得: cos 2 A ? ? 由题意知: S ?ABC ?

3 ?? ?? 3 ? ? 得: 1 ? sin ? 2 A ? ? ? sin ? 2 A ? ? ? . 2 6? 6? 2 ? ?
??10 分

1 ? ? ,又因为 0 ? A ? ,解得: A ? . 2 2 3 1 bc sin A ? 2 3 , 2

解得 bc ? 8 ,又 b ? c ? 7 , 由余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A ? ? b ? c ? ? 2bc ?1 ? cos A ? ? 25 ,
2 2 2 2

??12 分

?a ? 5 .
18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x (a ? R )
2

??14 分

(1)若函数 f (x) 在 x ? 1 处的切线垂直 y 轴,求 a 的值; (2)若函数 f (x) 在 (1,??) 为增函数,求 a 的取值范围; (3) 讨论函数 g ( x) ? f ( x) ? (a ? 2) x 的单调性.
2 解: (1)因为 f ( x) ? x ? a ln x ,故 f ?( x) ? 2 x ?

a , x

??1 分 ??3 分

函数 f (x) 在 x ? 1 处的切线垂直 y 轴,所以 f ?(1) ? 2 ? a ? 0 ? a ? ?2 (2)函数 f (x) 在 (1,??) 为增函数,所以当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 2 x ? 分离参数得: a ? ?2 x 2 ,从而有: a ? ?2 . (3) g ( x) ? f ( x) ? (a ? 2) x ? x ? (a ? 2) x ? a ln x
2

a ? 0 恒成立, x
??7 分

g ?( x) ? 2 x ? (a ? 2) ?

a 2 x 2 ? (a ? 2) x ? a ( x ? 1)(2 x ? a ) ? ? x x x
a ,因为函数 g ( x) 的定义域为 (0, ??) ,所以 2

??10 分

令 g ?( x) ? 0 ? x1 ? 1, x2 ? (1)当

a ? 0 ,即 a ? 0 时,函数 g ( x) 在 (0,1) 上递减,在 (1, ??) 上递增; ??11 分 2 a a ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时,函数 g ( x) 在 (0, ) 上递增, 2 2
??12 分

(2)当 0 ?

在 ( ,1) 上递减,在 (1, ??) 上递增 (3)当

a 2

a ? 1 ,即 a ? 2 时,函数 g ( x) 在 (0, ??) 上递增; 2

??13 分

(4)当 递增.

a a a ? 1 ,即 a ? 2 时,函数 g ( x) 在 (0,1) 上递增,在 (1, ) 上递减,在 ( , ??) 上 2 2 2
??14 分

19.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

x(1 ? ln x) , ( x ? 1) x ?1

(1)设 x0 为函数 f ( x) 的极值点,求证: f ( x0 ) ? x0 ; (2)若当 x ? 1 时, x ln x ? (1 ? k ) x ? k ? 0 恒成立,求正整数 k 的最大值. 解: (1)因为 f ( x) ?

x ? 2 ? ln x x(1 ? ln x) , , ( x ? 1) ,故 f ?( x) ? x ?1 ( x ? 1) 2

??2 分

? x0 为函数 f (x) 的极值点, ? f ?( x0 ) ? 0 ,
即 x0 ? 2 ? ln x0 ? 0 ,于是 x0 ? 1 ? 1 ? ln x0 , 故 f ( x0 ) ? ??3 分

x0 (1 ? ln x0 ) x0 ( x0 ? 1) ? ? x0 x0 ? 1 x0 ? 1
x(1 ? ln x) ? f ( x) x ?1

??5 分

(2) x ln x ? (1 ? k ) x ? k ? 0 恒成立,分离参数得 k ?

??7 分

则 x ? 1 时, f ( x) ? k 恒成立,只需 f ( x) min ? k ,

f ?( x) ?

x ? 2 ? ln x 1 ,记 g ( x) ? x ? 2 ? ln x ,? g ?( x) ? 1 ? ? 0 , 2 x ( x ? 1)

??9 分

? g ( x) 在 (1,??) 上递增,又 g (3) ? 1 ? ln 3 ? 0, g (4) ? 2 ? ln 4 ? 0 ,
? g ( x) 在 (1,??) 上存在唯一的实根 x0 ,
且满足 x0 ? (3, 4) , ??11 分

? 当 1 ? x ? x0 时 g ( x) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 ;当 x ? x0 时 g ( x) ? 0 ,
即 f ?( x) ? 0 ,

f ( x) min ? f ( x0 ) ? x0 ? (3, 4) ,
??14 分

故正整数 k 的最大值为 3

20. (本小题满分 14 分) 设函数 f n ( x) ? ?1 ?

x x2 xn ? ? ? ? , ( x ? R, n ? N * ) 1! 2! n!
?1 ? ?2 ?

(1)证明对每一个 n ? N * ,存在唯一的 xn ? ? ,1? ,满足 f n ( xn ) ? 0 ; (2)由(1)中的 xn 构成数列 ? xn ? ,判断数列 ? xn ? 的单调性并证明; (3)对任意 p ? N , xn , xn ? p 满足(1) ,试比较 xn ? xn ? p 与
*

1 的大小. n

解:(1) f n?( x) ? 1 ? x ?

x2 x n ?1 ?? ? 2! (n ? 1)!
??2 分

显然,当 x ? 0 时, f n?( x) ? 0 ,故 f n ( x) 在 (0, ??) 上递增. 又 f n (1) ? ?1 ? 1 ?

1 1 ?? ? ? 0 , 2! n!

1 1 1 1 ( )2 ( )n (1 ? ( ) n ) 1 1 2 1 1 2 1 n 2 ? ?( 1 ) n ? 0 f n ( ) ? ?1 ? ? ? ? ? 2 ? ?1 ? ? ( ) ? ? ? ( ) ? ?1 ? 2 1 2 2 2! n! 2 2 2 2 1? 2 1 故存在唯一的 xn ? [ ,1] ,满足 f n ( xn ) ? 0 ??4 分 2
(2)由(1)知 f n ( x) 在 (0, ??) 上递增
2 n xn ?1 xn ?1 因为 f n ( xn ?1 ) ? ?1 ? xn ?1 ? ?? ? 2! n!

2 n n ?1 n ?1 xn ?1 xn ?1 xn ?1 xn ?1 ?? ? ? ? f n ( xn ?1 ) ? ?0 所以 f n ?1 ( xn ?1 ) ? ?1 ? xn ?1 ? 2! n ! (n ? 1)! (n ? 1)!

??6 分

(资料苏元高考吧 www.gaokao8.net 广东省数学教师 QQ 群:179818939)
n ?1 xn ?1 f n ( xn ?1 ) ? ? ? 0 ? f n ( xn ) ,由(1)知 f n ( x) 在 (0, ??) 上递增 (n ? 1)!

故 xn ?1 ? xn ,即数列 {xn } 单调递减. (3) 由(2)数列 {xn } 单调递减,故 xn ? xn ? p ? 0 而 f n ( xn ) ? ?1 ? xn ?
2 xn xn ??? n ? 0 2! n!
2 xn ? p

??9 分

f n ? p ( xn ? p ) ? ?1 ? xn ? p ?

2!

?? ?

n xn ? p

n!

?

n? xn ? 1 p

(n ? 1)!

???

n? p xn ? p

(n ? p)!

?0

??11 分

两式相减:并结合 xn ? p ? xn ? 0 ,以及 xn ? [ ,1]

1 2

xn ? xn ? p ? ?
k ?2

n

k k xn ? p ? xn

k!
k xn ? p

?

k ? n ?1 n? p

?

n? p

k xn ? p

k!

? ?

k ? n ?1 n? p

?

n? p

k! ? 1

?

1 n? p 1 ?1 k ! ? k?1 k (k ? 1) k ?n? ?n? 1? 1 1 1

k ? n ?1

? ? k ?1 ? k ? ? n ? n ? p ? n ? ?
1 n
??14 分

所以有 | xn ? xn ? p |?



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