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课时作业(4)函数及其表示


课时作业(四) [第 4 讲 函数及其表示]

[时间:45 分钟 分值:100 分] 基础热身 1.在以下对应关系中________(填序号)是 A 到 B 的映射. ①A={1,4,9},B={-3,-2,-1,1,2,3},f:x→x 的平方根; ②A=R,B=R,f:x→x 的倒数; ③A=R,B=R,f:x→x2-2; ④A={x|x≤0},B={y|y≥4},对应法则:y=x2+4. 2.已知函数 y=|x|,那么该函数的定义域为________;对应法则为________;值域是 ________. 3.若 f(x+3)=x2-2x+3,则 f(x)=________. 4.下列四组函数中,是同一函数的是________(填写序号). ①y=x-2,y= ?x-2?2;②y=lgx2,y=2lgx; x-1 x ③y= x-1,y= ;④y=lgx-1,y=lg . 10 x-1 能力提升 5.[2011· 南京一模] 函数 y= 2x-x2的定义域是________. 6. 下表表示 y 是 x 的函数, 则函数的值域是________________________________________. 0<x<5 5≤x<10 10≤x<15 15≤x≤20 2 3 4 5 ?1-x2,x≤1, ? 1 7.设函数 f(x)=? 2 则 f? ?=________. ?f?2?? ? ?x +x-2,x>1, 8. 已知函数 f(x)=|x-1|,则在下列几个函数中, f(x)表示同一函数的是_____.(填序号) 与 x2-1 ①g(x)= ; |x+1| x y

?|x -1|?x≠-1?, ? ②g(x)=? |x+1| ?2?x=-1?; ?
?x-1?x>0?, ? ③g(x)=? ? ?1-x?x≤0?; ④g(x)=x-1. 2 9.已知 f?x+1?=lgx,则 f(x)=________. ? ?

2

m 10.已知函数 y= 1-x+ x+3的最大值为 M,最小值为 m,则 的值为________. M 11.定义在区间(-1,1)上的函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),则 f(x)的解析式为 ________. ? x ?2 ,x<0, 12.[2011· 苏北四市二调] 若函数 f(x)= ? -x 则函数 y=f(f(x))的值域是 ? ?-2 ,x>0, ________. 13.(8 分)求下列函数的定义域. -x2+x+6 (1)f(x)= ; x-1
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(2)f(x)=

|x-2|-1 ; log2?x-1?

f?2x? (3)函数 y=f(x)的定义域是[0,2],求函数 g(x)= 的定义域. x-1

14.(8 分)求下列函数的值域. 2 x-4 (1)y= ; x+3 (2)y=2x-3+ 13-4x; (3)y= 1+x+ 1-x.

?1+x?x>1?, ? 15.(12 分)已知函数 f(x)=? x +1?-1≤x≤1?, ?2x+3?x<-1?. ?
1
2

1 ? ,f(f(f(-2)))的值; 2-1? ? (2)求 f(3x-1); 3 (3)若 f(a)= ,求 a 的值. 2 (1)求 f?1-

? ?

16.(12 分)如图 K4-1,在直角三角形 ABC 中,∠B=30° ,AC=a,设有动点 P、Q 同时 从 A 点出发,沿三角形周界运动,若点 P 沿 A→B→C 方向运动,点 Q 沿 A→C→B 方向运动, 到相遇为止.已知点 Q 运动的速度为点 P 运动速度的 3 倍,设 AP=x,AP,AQ 与 PQ 所围成 的图形的面积为 y. (1)求 P、Q 相遇时 x 的值;
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(2)试求以 x 为自变量的函数 y 的解析式.

图 K4-1

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课时作业(四) 【基础热身】 1.③④ [解析] ①不符合. ②实数 0 没有倒数. ③此对应符合映射定义,所以是从集合 A 到集合 B 的映射. ④此对应符合映射定义,所以是从集合 A 到集合 B 的映射. 2.R 求绝对值 [0,+∞) 3.x2-8x+18 [解析] 设 x+3=t,则 x=t-3,∴f(t)=(t-3)2-2(t-3)+3=t2-8t+18. ∴f(x)=x2-8x+18. 4.④ [解析] ①y= ?x-2?2=|x-2|与 y=x-2 的对应法则不一样,所以不是同一函数; ②y=lgx2 与 y=2lgx 的定义域不同,所以是不同的函数; x-1 ③y= x-1的定义域为[1,+∞),而 y= 的定义域为(1,+∞),所以也不是同一 x-1 函数; x ④y=lgx-1 与 y=lg 的定义域、对应法则、值域都是相同的,所以是同一函数. 10 【能力提升】 5.[0,2] [解析] 由 2x-x2≥0,得 0≤x≤2,故函数的定义域为[0,2]. 6.{2,3,4,5} [解析] 函数值只有四个数 2、3、4、5,故值域为{2,3,4,5}. 15 7. [解析] 本题主要考查分段函数问题.正确利用分段函数来进行分段求值. 16 1 1 1 15 ∵f(2)=4,∴f? ?=f?4?=1- = . 16 16 ?f?2?? ? ? 8.② [解析] 根据函数定义,不能仅看解析式,还要注意定义域. 2 2 2 9.lg [解析] 令 +1=t(t>1),则 x= , x x-1 t-1 2 2 ∴f(t)=lg ,f(x)=lg . t-1 x-1 10. 2 2 2
?1-x≥0, ? [解析] 定义域? ? - 3≤x≤1 , y2 = 4 + 2 ?1-x??x+3? = 4 + ? ?x+3≥0

-?x+1?2+4,所以当 x=-1 时,y 取最大值 M=2 2,当 x=-3 或 1 时,y 取最小值 m= m 2 2.∴ = . M 2 2 1 11.f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x),-1<x<1 3 3 [解析] ∵对任意的 x∈(-1,1),有-x∈(-1,1), 由 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),① 有 2f(-x)-f(x)=lg(-x+1),② ①×2+②消去 f(-x),得 3f(x)=2lg(x+1)+lg(-x+1), 2 1 ∴f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x),-1<x<1. 3 3 1? ?1 ? - 12. ?-1,-2? ∪ ?2,1? [解析] 当 x<0 时,f(x)=2x ∈(0,1),故 y=f(f(x))=-2 f(x) ∈ ? ?-1,-1?; 2? ? 1 - 当 x>0 时,f(x)=-2 x ∈(-1,0),故 y=f(f(x))=2f(x) ∈ ?2,1? ,从而原函数的值域为 ? ?

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?-1,-1?∪?1,1?. 2? ?2 ? ?
2 ? ? ?-x +x+6≥0, ?-2≤x≤3, 13.[解答] (1)依题意得? ?? ?x-1≠0 ?x≠1, ? ? 所以定义域为[-2,1)∪(1,3].

?log2?x-1?≠0, ? (2)由题知?x-1>0, ?|x-2|-1≥0. ?

解得 x≥3.所以定义域为[3,+∞).

(3)因为 f(x)的定义域为[0,2],所以对 g(x),0≤2x≤2 但 x≠1,故 x∈[0,1),所以定义域为 [0,1). 2 x-4 10 14.[解答] (1)法一:(分离常数法)将 y= 改写成:y=2- ,根据 x+3≥3 得 x+3 x+3 1 1 0< ≤ , x+3 3 4 10 10 4 ∴0>- ≥- ,∴- ≤y<2,即所求函数的值域为?-3,2?. ? ? 3 3 x+3 2 x-4 3y+4 法二:(逆求法)将 y= 改写成 x= ≥0, 2-y x+3 4 4 解得- ≤y<2,∴所求函数的值域为?-3,2?. ? ? 3 13-t2 (2)(换元法)设 13-4x=t,则 t≥0,且 x= , 4 ∴由 y=2x-3+ 13-4x得: 13-t2 1 y=2× -3+t=- (t-1)2+4, 4 2 ∵t≥0,∴y∈(-∞,4],∴所求函数值域为(-∞,4]. (3)∵y= 1+x+ 1-x, ∴要使函数有意义,必须 1+x≥0 且 1-x≥0, 即-1≤x≤1. ∵y2=2+2 1-x2∈[2,4],且 y≥0, ∴y 的取值范围是[ 2,2],∴所求函数的值域为[ 2,2]. 1 15.[解答] (1)∵1- =1-( 2+1)=- 2<-1, 2-1 1 ? ? ∴f?1- =f(- 2)=-2 2+3, 2-1? ? ? 又∵f(-2)=-1,f(f(-2))=f(-1)=2, 1 3 ∴f(f(f(-2)))=f(2)=1+ = . 2 2 2 (2)若 3x-1>1,即 x> , 3 1 3x 则 f(3x-1)=1+ = ; 3x-1 3x-1 2 若-1≤3x-1≤1,即 0≤x≤ , 3 则 f(3x-1)=(3x-1)2+1=9x2-6x+2; 若 3x-1<-1,即 x<0, 则 f(3x-1)=2(3x-1)+3=6x+1.
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? 2 ∴f(3x-1)=? 9x -6x+2?0≤x≤3?, ? ? ?6x+1?x<0?.
2

3x ? 2? x> , 3x-1? 3?

3 (3)∵f(a)= ,∴a>1 或-1≤a≤1. 2 1 3 当 a>1 时,有 1+ = ,∴a=2; a 2 3 2 当-1≤a≤1 时,有 a2+1= ,∴a=± . 2 2 2 ∴a=2 或± . 2 16.[解答] (1)由题意可得 BC=2a,AB= 3a, ∴AC+BC=3a<3 3a=3AB, ∴点 P 与点 Q 只能在 AB 上相遇, 3+ 3 相遇时有 x+3x=a+2a+ 3a,解得 x= a. 4 3+ 3 ∴当 x= a 时,点 P 与点 Q 在 AB 上相遇. 4 ? 3+ 3 ?. (2)由(1)可得,x 的取值范围为?0, a? 4 ? ? a ①当点 Q 在 AC 上,即 0≤x≤ 时,有 AP=x,AQ=3x. 3 3 此时除点 P 与点 A 重合即 x=0 外,y=S△APQ= x2, 2 显然当 x=0 时,函数关系也成立. a 3 ∴当 0≤x≤ 时,y= x2. 3 2 a ②当点 Q 在 BC 上,即 <x<a 时,y=S△APQ. 3 过点 Q 作 QH⊥AB 于 H(如图所示),

3 由 Rt△BHQ∽Rt△BAC 可得 QH= (a-x), 2 3 ∴y= (a-x)x. 4 3+ 3 ③当点 Q 在 AB 上,即 a≤x≤ a 时,y=0. 4

? ?3 a 综上①②③可得,y=?4?a-x?x?3<x<a?, ? ? ?0???a≤x≤3+4 3a???. ?
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a 3 2? x 0≤x≤3?, ? 2 ?


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