9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

2.5



第 二 章 数 列

2.5 等比 数列 的前 n项 和

第二 课时 常见 的数 列求 和

名 师 课 堂 · 一 点 通

考点一

考点二 考点三

创 新 演 练 · 大 冲 关

N0.1 课堂强化
N0.2 课下检测<

br />
返回

返回

返回

返回

[研一题] [例 1] 求和:

? ? n 1?2 ? 2 1 ?2 1 ?2 Sn=?x+x? +?x +x2? +…+?x +xn? . ? ? ? ? ? ?

返回

[自主解答]

当 x≠± 1 时,

? ? n 1?2 ? 2 1 ?2 1 ?2 Sn=?x+x? +?x +x2? +…+?x +xn? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 2n 1? ? 4 1? 1? =?x +2+x2?+?x +2+x4?+…+?x +2+x2n? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1? )+2n+?x2+x4+…+x2n? ? ?

=(x +x +…+x

2

4

2n

返回

x2?x2n-1? x-2?1-x-2n? = 2 + +2n -2 x -1 1- x ?x2n-1??x2n 2+1? = + 2n x2n?x2-1?


当 x=± 1 时,Sn=4n. x=± 1, ?4n, ? 2n + 综上知,Sn=??x -1??x2n 2+1? +2n, x≠± 1. 2n 2 ? x ? x - 1? ?

返回

[悟一法]

某些数列,通过适当分组,可把它拆分成两个或两个
以上的等差数列或等比数列求和问题,那么我们可利用等差

数列或等比数列的求和公式分别求和,进而得出原数列的
和.

返回

[通一类] 1 1 1 1 1.求数列 24,48,616,…,2n+ n+1,…的前 n 项和 Sn. 2

返回

? 1 ? 1 1 1 ? 解:Sn=24+48+616+…+?2n+2n+1? ? ? ?

1 1 1 =(2+4+6+…+2n)+(4+8+…+ n+1) 2 1 1n n?2n+2? 4[1-?2? ] = + 2 1 1- 2 1 1 =n(n+1)+2- n+1. 2

返回

[研一题] [例 2] 22+1 32+1 42+1 ?n+1?2+1 求数列 2 , 2 , 2 ,…, 的 2 2 -1 3 -1 4 -1 ?n+1? -1

前 n 项和 Sn.

返回

[自主解答]

?n+1?2+1 n2+2n+2 数列的通项 an= = 2 =1 ?n+1?2-1 n +2n

2 1 1 + 2 =1+(n- ), n +2n n+ 2 1 1 1 1 1 1 所以 Sn = (1 + 1 - 3 ) + (1 + 2 - 4 ) + (1 + 3 - 5 ) + … + (1 + 1 1 1 1 - )+(1+n- ) n- 1 n+ 1 n+2 1 1 1 1 1 3 =n+1+2- - = n- - + . n+ 1 n+ 2 n+ 1 n+ 2 2

返回

[悟一法] 对于通项公式是分式的一类数列,在求和时常用“裂 项法”.可用待定系数法对通项公式进行拆项,相消时应 注意消去项的规律,即消去哪些项,保留哪些项.常见

的拆项公式有:

返回

1 1 1 1 (1) = k· (n- ); n ? n + k? n+k 1 1 1 1 (2)若{an}为等差数列, 公差为 d, 则 = ( - ); an· an+1 d an an+1 1 (3) = n+1- n等. n+1+ n

返回

[通一类] 2.已知等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前 n 项和为 Sn, {bn}为等比数列,b1=1,且 b2S2=64,b3S3=960. (1)求 an 与 bn; 1 1 1 (2)求S +S +…+S . 1 2 n

返回

解: (1)设{an}的公差为 d, 数列{bn}的公比为 q, 则 d 为正数, ∵an>0(n∈N*), ∴d>0, an=3+(n-1)d,bn=qn 1.


? ?S2b2=?6+d?q=64, 依题意有? 2 ? ?S3b3=?9+3d?q =960,

返回

6 ? d=-5, ? ? d = 2 , ? 解得? 或? ? ?q=8 ?q=40. 3 ?

(舍去)

故 an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1.

返回

(2)∵Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2), 1 1 1 ∴S +S +…+S 1 2 n 1 1 1 1 = + + +…+ 1×3 2×4 3×5 n?n+2?

返回

1 1 1 1 1 1 1 1 =2(1-3+2-4+3-5+…+n- ) n+ 2 1 1 1 1 =2(1+2- - ) n+ 1 n+ 2 2n + 3 3 =4- . 2?n+1??n+2?

返回

[研一题] [例 3] 在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.

an (1)设 bn= n-1,证明数列{bn}是等差数列; 2 (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

返回

[自主解答]

(1)证明:由已知 an+1=2an+2n,得

an+1 2an+2n an bn+1= 2n = 2n = n-1+1=bn+1. 2 又 b1=a1=1, 因此{bn}是首项为 1, 公差为 1 的等差数列.

返回

(2)由(1)知

an - 2n 1. n-1=n,即 an=n· 2

Sn=1+2· 21+3· 22+…+n· 2n-1, 两边乘以 2,得 2Sn=2+2· 22+…+n· 2n, 两式相减,得 Sn=-1-21-22-…-2n-1+n· 2n =-(2n-1)+n· 2n=(n-1)2n+1.

返回

[悟一法] (1)一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数 列,求数列{an· bn}的前n项和时,可采用错位相减法. (2)用错位相减法求和时,应注意: ①要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数

的情形更值得注意;

返回

②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“ 错项对齐”,以便于下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式; ③应用等比数列求和公式必须注意公比q≠1这一前提 条件,如果不能确定公比q是否为1,应分两种情况讨论.

返回

[通一类]

3.求数列1,3a,5a2,7a3,…,(2n-1)an-1,(a≠0)的前n项和.
解:当 a=1 时,数列变为 1,3,5,7,…,(2n-1), n[1+?2n-1?] 2 则 Sn= = n . 2 当 a≠1 时,有

返回

Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)an-1, aSn=a+3a2+5a3+7a4+…+(2n-1)an, ②



①-②,得 Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+…+2an 1-


(2n-1)an, (1-a)Sn=1-(2n-1)an+2(a+a2+a3+a4+…+an-1)
n-1 a ? 1 - a ? n =1-(2n-1)a +2· 1-a

返回

n 2 ? a - a ? n =1-(2n-1)a + . 1-a

又 1-a≠0, 1-?2n-1?an 2?a-an? ∴Sn= + . 1-a ?1-a?2 综上知:当 a=1 时,Sn=n2; 1-?2n-1?an 2?a-an? 当 a≠1 时,Sn= + . 1-a ?1-a?2

返回

2 设 f(x)= x,求 f(-2 010)+f(-2 009)+…+f(0) 2+2 +f(1)+…+f(2 010)+f(2 011)的值.

返回

[巧思]

因为2 011+(-2 010)=1,2 010+(-2 009)=

1,…,0+1=1,所以可考虑f(x)+f(1-x)的值,然后再 求解.

返回

[妙解]

2 2 ∵f(x)+f(1-x)= + - 2+2x 2+21 x

2 2· 2x 2 2x = + = + = 1, 2+2x 2· 2x+2 2+ 2x 2+2x 设 S=f(-2 010)+f(-2 009)+…+f(0)+f(1)+…+f(2 010)+f(2011),

返回

则S=f(2 011)+f(2 010)+…+f(1)+f(0)+…+f(-2 009)
+f(-2 010),

∴2S=[f(-2 010)+f(2 011)]+[f(-2 009)+f(2 010)]
+…+[f(0)+f(1)]+[f(1)+f(0)]+…+[f(2 011)+f(-2 010)] =2 011×2. ∴S=2 011.

返回

返回

点击此图片进入 NO.1 课堂强化

返回

点击此图片进入 NO.2 课下检测

返回



更多相关文章:
电线负荷的计算方法 2.5平方铜线
电线负荷的计算方法 一、常用电线的载流量: 500V 及以下铜芯塑料绝缘线空气中敷设,工作温度30℃ ,长期连续100%负载下的载 流量如下: 1.5平方毫米——22A 2.5...
除锈等级(Sa,St,SI等)
根据SIS055900,这些锈蚀等级的表面处理是根据以下质量标准进行钢丝刷除锈和喷砂除锈的: St - 钢丝刷除锈标准St2,St3 Sa - 喷砂除锈标准Sa1,Sa2,Sa2.5,Sa3 钢丝...
Sa2.5级
“SSPC-”;一种是瑞典 1976 年制定的“Sa-”,它分为四个等级: Sa1、Sa2、Sa2.5、Sa3,为国际惯常通用标准,详细介绍如下: Sa1 级——相当于美国 SSPC—...
电线负荷的计算方法 2.5平方铜线
电线负荷的计算方法 一、常用电线的载流量: 500V 及以下铜芯塑料绝缘线空气中敷设, 工作温度30℃, 长期连续100%负载下的载 流量如下: 1.5平方毫米——22A 2.5...
AQL2.5与4.0对比
AQL2.5与4.0对比_专业资料。AQL2.5 订单数量 抽查件数 Ac Re 3 2—8 5 3 9—15 5 5 16—25 13 5 26—50 13 13 51—90 20 91—150 151—280 281...
鞋子尺码对照表
(mm) :220 220 225 230 235 240 245 250 255 260 265 36 5 2.5 36.5 5.5 3 37.5 6 3.5 6.5 4 38 7 4.5 38.5 7.5 5 39 8 5.5 8.5 6 ...
2.5、4、6 平方铜线(单股)的直径是多少?
2.5、4、6 平方铜线(单股)的直径是多少? 2010 年 10 月 30 日 星期六 18:23 1.5 平方 2.5 平方 2.57 平方 4 平方 4.01 平方 5.43 平方 6 平方 ...
P2.5参数
P2.5 三合一技术参数 P2.5 表贴三合一技术参数项目 Item 产品型号 模组尺寸 物理点间距 物理密度 发光点颜色 LED 封装 模组分别率 模组 Unit Module Model ...
3.5寸移动硬盘与2.5寸移动硬盘的区别
3.5寸移动硬盘与2.5寸移动硬盘的区别_计算机硬件及网络_IT/计算机_专业资料。请问 3.5 寸移动硬盘与 2.5 寸移动硬盘的区别在哪里。各有什么用缺点。 我家里有 5...
AQL2.5质量检验标准
AQL2.5质量检验标准_生产/经营管理_经管营销_专业资料。AQL 服装国际检验标准 AQL 查检概述 AQL : ACCEPTABLE QUALITY LEVEL 验收合格标准的缩写,即平均质量水平,它...
更多相关标签:
pm2.5    2.5d    2.5次元    2.5平方电线负荷    2.5天    3.5    2.5天休假    2    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图