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浙江省高二数学竞赛模拟试卷(1) 班 姓名



浙江省高二数学竞赛模拟试卷(1) 班 姓名
一、选择题(每题 6 分共 36 分)
1.由 0,1,2,3,4,5 六个数字能组成数字不重复且百位数字不是 5 的偶数有[ ]个 A.360 B.252 C.720 D.240 2.已知数列{ an }(n≥1)满足 an ? 2 = an?1 - an , 且 a2 =1,若数列的前 2005 项之和为 200

6, 则前 2006 项的和 等于[ ] A.2005 B.2006 C.2007 D.2008
0

3.有一个四棱锥,底面是一个等腰梯形,并且腰长和较短的底长都是 1,有一个底角是 60 ,又侧棱与底 面所成的角都是 45 ,则这个棱锥的体积是[ ] B. 3
0

A.1

C.

3 4

D.

3 2
+

4.若 (2x ? 4)2n ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? a2n x2n (n∈N ), 则 a2 ? a4 ? ? ? a2n 被 3 除的余数是[ A.0 B.1 C.2 D.不能确定

]

5.已知 x, y ? (? 2, 2 ) ,且 xy ? 1 ,则

2 4 的最小值是 ? 2 2? x 4 ? y2
D、

[

]

A、

20 7

B、

12 7

C、

16 ? 4 2 7

16 ? 4 2 7

6.在边长为 12 的正三角形中有 n 个点,用一个半径为 3 的圆形硬币总可以盖住其中的 2 个点,则 n 的 最小值是[ ] A.17 B.16 C.11 D.10

二、填空题(每题 9 分共 54 分)
7.在锐角三角形 ABC 中,设 tanA,tanB,tanC 成等差数列且函数 f(x)满足 f(cos2C)=cos(B+C-A),则 f(x)的解析是为
100

8.

?[(10i ? 1)(10i ? 3)(10i ? 7)(10i ? 9)]的末三位数是_______
i ?1

9.集合 A 中的元素均为正整数,具有性质:若 a ? A ,则 12- a ? A , 这样的集合共有 个. 10.抛物线的顶点在原点, 焦点在 x 轴的正半轴上, 直线 x+y-1=0 与抛物线相交于 A、 B 两点, 且|AB|= 在抛物线上是否存在一点 C,使△ABC 为正三角形 ,若存在,C 点的坐标是

8 6 . 11
.

11.在数列 {an } 中, a1 =2, an ? an?1 ? 1(n ? N * ) ,设 S n 为数列 {an } 的前 n 项和,则

S 2007 ? 2S 2006 ? S 2005 的值为
12. 设函数 f ( x) ? 3 1 ? x ? ?x ,其中 ? ? 0. 函数 f ( x) 在 [0,? ?) 上是单调递减函数; 则 ? 的取值范围是_____________________.

三、解答题(每题 20 分共 60 分)

13. 已知点 A

? 5,0?和曲线 x4 ? y ? 1?2 ? x ? 2
2 2

5 , y ? 0 上的点 P1、P 2、?、 Pn 。

?

若P 1A 、 P 2 A 、?、 P n A 成等差数列且公差 d >0, (1). 试将 d 表示为 n 的函数关系式. (2). 若 d ? ? ,

?1 1 ? ? ,是否存在满足条件的 n(n ? N * ) .若存在,求出 n 可取的所有值,若不存在,说明理由. ?5 5 ?

14.设 a,b,c∈(1,+∞),证明:2(

log b a log c b log a c 9 + + )≥ . a?b?c a?b b ? c c?a

15.定义下列操作规则:
规则 A:相邻两数 a、b,顺序颠倒为 b、a,称为一次“变换” 。 (如一行数 1、2、3、4 要变为 3、1、 2、4,可以这样操作: 1、2、3、4 ? 1、3、2、4 ? 3、1、2、4 。 ) 规则 B:相邻三数 a、b、c,顺序颠倒为 c、b、a,称为一次“变换” 。 规则 C:相邻四数 a、b、c、d,顺序颠倒为 d、c、b、a,称为一次“变换” 。 现按照顺序排列着 1、2、3、?、2004、2005,目标是:经过若干次“变换” ,将这一行数变为 2005、 1、2、?、2003、2004。 问: (1)只用规则 A 操作,目标能否实现? (2)只用规则 B 操作,目标能否实现? (3)只用规则 C 操作,目标能否实现?

高二数学竞赛模拟试卷(1) 参考答案
一、选择题(每题 7 分共 35 分) 1.由 0,1,2,3,4,5 六个数字能组成数字不重复且百位数字不是 5 的偶数有[ ]个 A.360 B.252 C.720 D.240 4 1 2 3 1 3 解:末位是 0 的数共有个 A5 - A4 ,末位是 2 或 4 的数共有 2( A4 A4 - A3 A3 )个.
4 1 2 3 1 3 由加法原理,共有 A5 - A4 +2( A4 A4 - A3 A3 )=252 个. 2.已知数列{ an }(n≥1)满足 an ? 2 = an?1 - an ,且 a2 =1,若数列的前 2005 项之和为 2006,则前

2006 项的和等于[ ] A.2005 B.2006 C.2007 D.2008 解: an ? 3 = an ? 2 - an?1 =( an?1 - an )- an?1 =- an , 因此,对 n≥1, an + an?1 + an ? 2 + an ? 3 + an ? 4 + an ? 5 =0, 从而数列中任意连续 6 项之和均为 0. 2005=334×6+1,2006=334×6+2,所以前 2005 项之和为 a1 ,即 a1 =2006,

于是前 2006 项的和等于 a1 + a2 =2007.所以选(C). 3.有一个四棱锥,底面是一个等腰梯形,并且腰长和较短的底长都是 1,有一个底角是 600 , 又侧棱与底面所成的角都是 450 ,则这个棱锥的体积是[ ] A.1 B. 3 C.
3 4

D.

3 2

1 1 3 3 ? ?6? ? 2 3 4 4 + 2n 2 2n 4.若 (2x ? 4) ? a0 ? a1x ? a2 x ? ?? a2n x (n∈N ), 则 a2 ? a4 ? ? ? a2n 被 3 除的余数是 A.0 B.1 C.2 D.不能确定 1 1 解: a0 ? a2 ? a4 ? ? ? a2n = [ (2 ? 4) 2n ? (?2 ? 4)2n ]= [ 62n ? 22n ] 2 2 2n ?1 2n 2n 2n ?1 a2 ? a4 ? ? ? a2n = 2 (3 ? 1) ? 4 ? (?1) ?1 ? 12n =-2 ? 1(mod3).所以选(B).

解:这个体积是底边和高均为 1 的正六棱锥的体积的一半,因此 V ?

5.已知 x, y ? (? 2, 2 ) ,且 xy ? 1 ,则

2 4 的最小值是 ? 2 2? x 4 ? y2
D、

[

]

A、

20 7

B、

12 7

C、

16 ? 4 2 7

16 ? 4 2 7
4 4? 1 x2 ? ? 4 x 4 ? 16x 2 ? 2 ? 4x 4 ? 9x 2 ? 2

解:由已知得 y ?

1 2 4 2 ? ? ? ,所以 2 2 x 2? x 4? y 2 ? x2

7x2 ? 1? =1 ? ? 4x 4 ? 9x 2 ? 2

7 9 ? (4 x 2 ? 2 ) x2
2 2 ,即 x ? 时,取等号 2 x 8

4x 2 ?

2 ?4 2 x2

当且仅当 4 x 2 ?

故当 x ?

2 16 ? 4 2 2 4 时, 有最小值 ? 2 2 8 7 2? x 4? y

所以选 C 6.在边长为 12 的正三角形中有 n 个点,用一个半径为 3 的圆形硬币总可以盖住其中的 2 个 点,则 n 的最小值是[ ] A.17 B.16 C.11 D.10 解:如图 (1) ,作一个分割,在每个交叉点上置一个点,这时任意两点间距离不小于 4 , 4>2 3 (硬币直径),故这时硬币不能盖住其中的两个点,说明 n=10 是不够的. 如图(2),另作一个分割,得到 16 个全个等的边长为 3 的正三角形,其中“向上”的三角形 共有 10 个,它们的外接圆的半径正好是 3 . 借助图(3)可以证明:只要图(2)中的 10 个“向上”的三角形都用硬币覆盖,则三角形 ABC 完全被覆盖,这时若在三角形 ABC 内置 11 个点,则必有一个硬币可以至少盖住其中的 2 个 点. A 故 n 的最小值是 11,所以选(C). A

二、填空题(每题 8 分共 40 分)

B (1)

C

B

(2)

C

( 3)

6. 设函数 f : R ? R, 满足f (0) ? 1 ,且对任意 x, y ? R, 都有

f ( xy ? 1) ? f ( x) f ( y) ? f ( y) ? x ? 2 ,则 f ( x) =_____________________。
解:? 对?x, y ? R, 有f ( xy ? 1) ? f ( x) f ( y) ? f ( y) ? x ? 2,

?有f ( xy ? 1) ? f ( y) f ( x) ? f ( x) ? y ? 2

? f ( x) f ( y ) ? f ( y ) ? x ? 2 = f ( y ) f ( x) ? f ( x) ? y ? 2
即 f ( x) ? y ? f ( y) ? x, 令y ? 0, 得f ( x) ? x ? 1 。

7.在锐角三角形 ABC 中,设 tanA,tanB,tanC 成等差数列且函数 f(x)满足 f(cos2C)=cos(B+C-A),则 f(x)的解析是为 解:tanA=-tan(B+C),tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,tanA+tanC=2tanB, 于是有 3tanB=tanAtanBtanC,因为 B 为锐角,所以 tanB≠0,所以 tanAtanC=3, 1? x 9(1 ? x) 9 9 令 cos2C=x,则 cos2 C = ,所以 tan2 A = = = 2 1 2 1? x t an C ?1
cos2 C

所以 cos(B+C-A)=cos( ? -2A)=-cos2A=1-2 cos2 A =1即 f(x)=
100 i ?1

4 ? 5x 2 = , 2 1 ? tan A 5 ? 4 x

4 ? 5x . 5 ? 4x

8. ? [(10i ? 1)(10i ? 3)(10i ? 7)(10i ? 9)]的末三位数是_______ 解:(10i+1)(10i+3)(10i+7)(10i+9)=[100 i 2 +100i+9][100 i 2 +100i+21] =10000 i 2 (i ? 1) 2 +3000i(i+1)+189 ? 189(mod1000). 所以 ? [(10i ? 1)(10i ? 3)(10i ? 7)(10i ? 9)] ?
i ?1 100 100 i ?1

?189=189×100 ? 900(mod1000).

所以末三位是 900 9.集合 A 中的元素均为正整数,具有性质:若 a ? A ,则 12- a ? A , 这样的集合共有 个. 解:从集合 A 的性质可得,A 必然是六个集合{1,11},{2,10},{3,9},{4,8},{5,7},{6}, 1 2 3 4 5 6 中某几个的并集,因此符合要求的 A 共有 C6 + C6 + C6 + C6 + C6 + C6 = 26 -1=63 个. 10.抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴的正半轴上,直线 x+y-1=0 与抛物线相交于 A、B 两点,
8 6 .在抛物线上是否存在一点 C,使△ABC 为正三角形 11 坐标是 .

且|AB|=

,若存在,C 点的

解:设所求抛物线方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,由弦长|AB|=

8 6 建立关于 p 的方程. 11 24 4 2 解得 p= 或 p=(舍去),故抛物线方程为 y 2 ? x . 11 11 11 设 AB 的中点为 D(x0,y0),抛物线上存在满足条件的点 C(x3,y3), 3 12 3 由于△ABC 为正三角形.所以 CD⊥AB,|CD|= |AB|= . 2 11 12 3 24 由 CD⊥AB 得 x3 ? y3 ? 15 ① 由 | CD |? ② 得 | x3 ? y3 ? 1 |? 11 11 11 25 10 1 14 解①②得 x3 ? , y3 ? 或x3 ? , y ? ? 11 11 11 11 1 14 25 10 但点( ,? ) 不在抛物线上.故抛物线上存在一点( , ) 11 11 11 11

11.在数列 {an } 中, a1 =2, an ? an?1 ? 1(n ? N * ) ,设 S n 为数列 {an } 的前 n 项和,则

S 2007 ? 2S 2006 ? S 2005 的值为
解:当 n 为偶数时, a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? an?1 ? an ? 1 ,故 S n ?
n 2

当 n 奇数时, a1 ? 2 , a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? ? ? an?1 ? an ? 1 ,故 S n ? 2 ? 故 S 2007 ? 2S 2006 ? S 2005 ? 1005? 2 ?1003? 1004? 3

n ?1 n ? 3 ? 2 2

12. 设函数 f ( x) ? 3 1 ? x ? ?x ,其中 ? ? 0. 函数 f ( x) 在 [0,? ?) 上是单调递减函数; 则 ? 的取值范围是_____________________. 解: (1)设 0 ? x1 ? x2 ? ?? , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 )[

1
3

(1 ? x1 ) ? 3 1 ? x1 ? 3 1 ? x2 ? 3 (1 ? x2 ) 2
2

? ? ].

设M ?

3

(1 ? x1 ) 2 ? 3 1 ? x1 ? 3 1 ? x 2 ? 3 (1 ? x 2 ) 2 ,则显然 M ? 3 .

∵ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,∴ ? ? 数;

1 1 1 1 ? ,∴只需要 ? ? , 就能使 f ( x) 在 [0,? ?) 上是单调递减函 ,∵ M M 3 3

三、解答题(每题 20 分共 60 分) 13. (1). ∵d>0,故为递增数列
由方程 ∴P 1 A 最小, P n A 最大

x2 ? y 2 ? 1 2 ? x ? 2 5 , y ? 0 知 A( 5,0) 是它的右焦点, 4

?

?

L: x ?

4 是它的右准线, ∴ P 1A ? 5 ? 2 5


Pn A ? 3

于是 3 ? ( 5 ? 2) ? (n ?1)d

d?

5? 5 (n ? 1) n ?1

(2) ∵ d ? ( ,

1 1 ) 5 5



1 5? 5 1 ? ? 5 n ?1 5
又∵ n ? N
*

设 n ? (5 5 ? 4,26 ? 5 5 )

∴ n 取最大值 14, n 取最小值 8.

∴ n 可取 8、9、10、11、12、 、13、14 这七个值。

log b a log c b log a c 9 + + )≥ . a?b?c a?b c?a b?c 证明:∵a,b,c∈(1,+∞),logba,logcb,logac,都是正数,并且它们的乘积等于 1, log b a log c b log a c logb a ? logc b ? loga c 3 ∴ + + ≥3 3 = , a?b c?a b?c (a ? b)(b ? c)(c ? a) 3 (a ? b)(b ? c)(c ? a)

14.设 a,b,c∈(1,+∞),证明:2(

又∵2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a)≥3 3 (a ? b)(b ? c)(c ? a) , 3 3 1 ∴ ≥ = , 3 (a ? b)(b ? c)(c ? a) (a ? b) ? (b ? c) ? (c ? a) 2(a ? b ? c)



log b a log c b log a c 9 + + ≥ , a?b c?a b?c 2(a ? b ? c) log b a log c b log a c 9 2( + + )≥ . a?b?c a?b c?a b?c



15.解答: (1)能,实行如下操作:
1、、 2 ?、 2003、 2004、 2005 ? 1、、 2 ?、 2003、 2005、 2004 ? 1、、 2 ?、 2005、 2003、 2004 ? ? ? 1、 2005、、 2 3、 ?、 2003、 2004 ? 2005、1、2、 ?、2003、2004
(2)不能,从左到右,把数所占的位置编上号,按照规则 B,若数 m 在 k 号位置,一次变换后可能是

k ? 2、k、k ? 2 号位置,所以操作过程中数 m 所占位置的奇偶性不会改变。而 1、2、3、?、2004、2005
中 1 在 1 号位,目标 2005、1、2、?、2003、2004 中 1 是 2 号位,这不可能。 (3)能,通过如下操作(记为“*操作” ) :

a、b、c、d、e ? d、c、b、a、e ? d、e、a、b、c ? b、a、e、d、c ? b、c、d、e、a ? e、d、c、b、a ? e、a、b、c、d
可以将一个数往前提 4 个位置,而其他各数的顺序不变。 将 2001、2002、2003、2004、2005 通过“*操作” ,可以变为 2005、2001、2002、2003、2004,再对 1997,1998,1999,2000,2005 施行“*操作” ,变为 2005、1997、1998、1999、2000,如此反复,1、2、 3、?、2004、2005 可以变为 1、2、3、4、2005、5、6、?、2004,最后对 1、2、3、4、2005 施行“* 操作”得到 2005、1、2、?、2003、2004。



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