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3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2课时)



两角和差的余弦,正弦,正切的运用

复习

cos (? –? ) =

cos(? ? ? ) ? ?

sin(? ? ? ) ? ? sin(? ? ? ) ? ? tan(? ? ? ) ?

tan(? ? ? ) ? ?

一、引入辅助角:

/>化 a sin x ? b cos x 为一个角的三角函数形式

a sin x ? b cos x

? ? a b ? a ?b ? sin x ? cos x ? 2 2 2 2 a ?b ? a ?b ? a cos ? ? a 2 ? b2 令 b sin ? ? a 2 ? b2
2 2

? ? ?

? a 2 ? b 2 ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? ? a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? ? a 2 ? b 2 cos ? x ? ? ?

统一函数名:
a 2 ? b 2 sin( x ? ? ) a sin x ? b cos x ?

其中

a a ?b
2 2

? cos? ,

b a ?b
2 2

? sin? .

练习

把下列各式化为一个角的三角函数形式

(1) 2 ? sin ? ? cos ? ?
3 1 (2) sin ? ? cos ? 2 2

2 6 ?? ? ?? ? (3) sin ? ? x ? ? cos ? ? x ? 4 ?4 ? 4 ?4 ?

练习
? 5? ? ?? 5、已知x ? ?0, ? ,求函数y ? cos( ? x) ? cos( ? x)的值域. 12 12 ? 2?

x

一、给角求值
例1、(公式的逆用)求值

(1) cos15 ? cos105 ? ? sin 15 ? sin 105 ? ( 2) sin 13 ? cos17 ? ? cos13 ? cos107 ? 3 ? tan15 ? (3) 1 ? 3 tan15 ?

练 习
1 - 3tan75 o (1) cos 40? cos 70? ? cos 20? cos50? (2) o 3 + tan75 cos15? ? sin15? (3) cos15? ? sin15?

例2.(公式的变用)求值:

tan17?+tan28?+tan17?tan28?

变形公式:

tanα+ tanβ= tan(α+β)(1- tanαtanβ)
tanα- tanβ= tan(α-β)(1+ tanαtanβ)
tan? ? tan? (1 ? tanαtanβ)= tan(? ? ? )

变式:

3 (1) tan 72? ? tan 42? ? tan 72? tan 42? 3 (2)在非直角△ABC中,求证 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

例3.(公式的灵活运用)求值:
cos 7? ? sin15? sin 8? (1) cos8? cos17? (2)(tan17? ? 3 ) ? sin 43?

注:(1)遇切常化弦 (2)公式的变形

二、给值求值
例4、在△ABC中,sinA=3/5,cosB=5/13,求cosC

注:( )?ABC中,A ? B ? C ? ? 1 (2)?ABC中, sin A ? sin B ? A ? B; cos A ? cos B ? A ? B

三、给值求角
例5、 已知 tan(? ? ? ) ?

1 1 , tan ? ? ? , ? , ? ? (0, ? ), 求2? ? ? 2 7

注:( )已知什么函数值就选什么函数 1 (2)若所求角范围时( , ?)选余弦, 0 若范围(?

? ?

, ) , 选正弦 2 2

练习册78页例

四、综合题
1、已知 cos( 且0 ? ? ?

?
3

??) ? ?

?
2

3 2? 5 , sin( ? ?) ? , 5 3 13

? ? ? ? , 求 cos(? ? ? ) 2 , 求 cos? ? cos ? 的取值范围 2 ) ? sin(2 x ?

2、已知 sin ? ? sin ? ? 3、求f ( x ) ? sin(2 x ?

?
4

?

sin(2? ? ? ) sin ? 4、求证: ? 2 cos( ? ? ) ? ? sin ? sin ? 5、求函数f ( x ) ? (1 ? sin x )(1 ? cos x )的值域

4

)的最值和单调区间



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