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高中导数知识点及练习题



导数
一、导数的概率 设函数 y 则函数 Y 的比
?y ?x
? f (x) 在 x ? x0

处附近有定义,当自变量在 x

? x0

处有增量 ? x 时,

? f ( x ) 相应地有增量 ? y ? f ( x 0 ? ? x ) ? f ( x 0 )<

br />
, 如果 ? x ? 0 时,? y 与 ? x

(也叫函数的平均变化率)有极限即

?y ?x

无限趋近于某个常数,我们把
/ x ? x0

这个极限值叫做函数 y
f ( x 0 ) ? lim
/

? f ( x ) 在 x ? x 0 处的导数,记作 y

,即

f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x

?x? 0

注:1.函数应在点 x 0 的附近有定义,否则导数不存在。 2.在定义导数的极限式中, ? x 趋近于 0 可正、可负、但不为 0,而 ? y 可能 为 0。 3.
?y ?x

是函数 y

? f ( x ) 对自变量 x

在 ? x 范围内的平均变化率,它的几何意义 ) 及点 ( x 0
? ?x, f ( x0 ? ?x)

是过曲线 y 4.导数
/

( ? f ( x ) 上点 x 0 , f ( x 0 )

) 的割线斜率。 的处瞬时变化

f ( x 0 ) ? lim

f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x
? f ( x ) 在点 x 0

?x? 0

是函数 y

? f ( x ) 在点 x 0

率,它反映的函数 y 线y

处变化的快慢程度,它的几何意义是曲
? f ( x ) 在点 x 0

? f ( x ) 上点( x 0 , f ( x 0 )

)处的切线的斜率。因此,如果 y 在 点 (
x0 , f (x0 )

可 导 , 则 曲 线
/

y ? f (x)

) 处 的 切 线 方 程 为

y ? f ( x 0 ) ? f ( x 0 )( x ? x 0 ) 。

5.导数是一个局部概念,它只与函数 y 与 ? x 无关。 6.在定义式中, x 设

? f (x) 在 x0

及其附近的函数值有关,

? x0 ? ?x , ?x ? x ? x0 , ?x 则 当

x 趋近于 0 时, 趋近于 x 0 ,
f (x) ? f (x0 ) x ? x0

因此,导数的定义式可写成

f ( x 0 ) ? lim
/

f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x

?x? o

? lim

x ? x0



7.若极限 lim 8.若
f (x)

f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x

?x? 0

不存在,则称函数 y

? f ( x ) 在点 x 0

处不可导。

在 x 0 可导, 则曲线 y

( ? f ( x ) 在点 x 0 , f ( x 0 ) )有切线,函数 y

) 有切线存在, 反之不然。 不一定可导,并

若曲线 y

? f ( x ) 在点( x 0 , f ( x 0 ) ? f (x) 在 x0

? f (x) 在 x0

且,若函数 y 一般地,
?x? 0

不可导,曲线在点( x 0 ,

f (x0 )

)也可能有切线。
?x? 0

lim ( a ? b ? x ) ? a
y ? f (x)

,其中 a , b 为常数。特别地, lim

a ? a



如果函数
x ? (a, b)

在开区间 ( a , b ) 内的每点处都有导数,此时对于每一个
f (x)
/

,都对应着一个确定的导数
f (x)
/

,从而构成了一个新的函数

f (x)

/


/

称这个函数 即
f (x)
/

为函数 y
?y ?x

简称导数, 也可记作 y ? f ( x ) 在开区间内的导函数,
f (x ? ?x) ? f (x) ?x
y
/ x ? x0



= y / = lim
y ? f (x)

?x? 0

? lim

?x? 0

函数


/

x0

处的导数

就是函数
x ? x0

y ? f (x)

在开区间

(a, b)

( x ? ( a , b ))

上导数

f (x)
/

在 x 0 处的函数值, y / 即 。



f (x0 )

/

。 所以函数 y

? f (x)

在 x 0 处的导数也记作 注:1.如果函数 y

f (x0 )

? f ( x ) 在开区间 ( a , b ) 内每一点都有导数,则称函数 y ? f ( x ) 在

开区间 ( a , b ) 内可导。 2.导数与导函数都称为导数,这要加以区分:求一个函数的导数,就是求导 函数;求一个函数在给定点的导数,就是求导函数值。它们之间的关系是函 数y
? f ( x ) 在点 x 0

处的导数就是导函数

f (x)

/

在点 x 0 的函数值。 换成 x 就可,即
f (x)
/

3. 求 导 函 数 时 , 只 需 将 求 导 数 式 中 的
lim f (x ? ?x) ? f (x) ?x

x0



?x? 0

4.由导数的定义可知,求函数 y (1).求函数的改变量 ? y (2).求平均变化率
?y ?x ?

? f ( x ) 的导数的一般方法是:

? f ( x ? ?x) ? f ( x) 。

f (x ? ?x) ? f (x) ?x



(3).取极限,得导数 y / = lim 二.练习题 (一) 、选择题 1.若函数 y
? f (x)

?y ?x

?x? 0



在区间 ( a , b ) 内可导,且 x 0 ? ( a , b ) 则 lim
f ( x0 )
?1? t ? t
'

f ( x0 ? h ) ? f ( x0 ? h ) h

h? 0

的值为( A. f ' ( x 0 )

) B. 2

C. ? 2
2

f ( x0 )

'

D. 0

2.一个物体的运动方程为 s

其中 s 的单位是米, t 的单位是秒, )

那么物体在 3 秒末的瞬时速度是( A. 7 米/秒 C. 5 米/秒 3.函数 y = x 3 + A. ( 0 , ?? ) C. ( ?? , ?? ) 4.
f ( x) ? ax ? 3 x ? 2
3 2

B. 6 米/秒 D. 8 米/秒 x 的递增区间是( ) B. ( ?? ,1) D. (1, ?? ) ,若
16 3

f ( ? 1) ? 4
'

,则 a 的值等于(



A. C.

19 3
13 3

B.

D.

10 3

5.函数 y

? f ( x ) 在一点的导数值为 0

是函数 y

? f ( x ) 在这点取极值的(



A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.必要非充分条件 4 6.函数 y ? x ? 4 x ? 3 在区间 ? ? 2, 3 ? 上的最小值为( A. 7 2 C. 1 2 (二) 、填空题 1.若 f ( x ) ? x 3 , 2.曲线 y 3.函数 y
3



B. 3 6 D. 0
f ( x 0 ) ? 3 ,则 x 0 的值为_________________;
'

? x ? 4x
? s in x x

在点 (1, ? 3) 处的切线倾斜角为__________;

的导数为_________________;
( e , 1 ) 处 的 切 线 的 斜 率 是 _________ , 切 线 的 方 程 为

4 . 曲 线 y ? ln x 在 点 M _______________; 5.函数 y
? x ? x
3 2

? 5x ? 5

的单调递增区间是___________________________。 相切的直线方程。

(三) 、解答题 1.求垂直于直线 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 并且与曲线 y

? x ? 3x ? 5
3 2

2.求函数 y

? ( x ? a )( x ? b )( x ? c )

的导数。

3. 求 函数

f ( x) ? x ? 5 x ? 5 x ? 1 在区间 ?? 1, 4 ? 上的最大值与最小值。
5 4 3

4.已知函数 y

? ax

3

? bx

2

,当 x ? 1 时,有极大值 3 ;

(1)求 a , b 的值; (2)求函数 y 的极小值。

(一) 、选择题 1.函数 y = x 3 -

3 x - 9 x (- 2 < x < 2 ) 有(
2



A.极大值 5 ,极小值 ? 2 7 B.极大值 5 ,极小值 ? 1 1 C.极大值 5 ,无极小值 D.极小值 ? 2 7 ,无极大值 2.若
f ( x 0 ) ? ? 3 ,则 lim
'

f ( x0 ? h ) ? f ( x0 ? 3h ) h

h? 0

?





A. ? 3 C. ? 9 3.曲线 f ( x ) = ( ) A. (1, 0 )

B. ? 6 D. ? 1 2
x + x- 2
3

在 p 0 处的切线平行于直线 y = B. ( 2 , 8 ) D. ( 2 , 8 ) 和 ( ? 1, ? 4 )

4 x - 1 ,则 p 0

点的坐标为

C. (1, 0 ) 和 ( ? 1, ? 4 )

4. f ( x ) 与 g ( x ) 是定义在 R 上的两个可导函数,若 则
f ( x)

f ( x)

, g ( x ) 满足

f (x) ? g (x) ,
' '

与 g ( x ) 满足(

) B. D.
f (x) ? g (x)

A. C.

f (x) ? g (x) f (x) ? g (x) ? 0

为常数函数

f (x) ? g (x)

为常数函数

5.函数 y

? 4x

2

?

1 x

单调递增区间是( B. ( ?? ,1) C. ( ) C. e 2
1 2


, ?? )

A. ( 0 , ?? ) 6.函数 y
? ln x x

D. (1, ?? )

的最大值为( B. e

A. e ? 1

D.

10 3

(二) 、填空题 1.函数 y
? x ? 2 co s x

在区间 [ 0 ,

?
2

] 上的最大值是



x 2 . 函 数 f ( x ) ? 3 ? 4 x? 5 图 像 在 x ? 1 处 的 切 线 在 x 轴 上 的 截 距 为 的 ________________。 3.函数 y ? x2 ? x3 的单调增区间为 ,单调减区间为 ___________________。 4 . 若 f ( x ) ? a x 3 ? b x 2 ? cx ? d ( a ? 0 ) 在 R 增 函 数 , 则 a , b , c 的 关 系 式 为 是 。 2 5 . 函 数 f ( x ) ? x3 ? a x ? b x? 2a, 在 x ? 1 时 有 极 值 1 0 , 那 么 a , b 的 值 分 别 为 ________。 (三) 、解答题 1.已知曲线 y ? x 2 ? 1 与 y ? 1 ? x 3 在 x ? x 0 处的切线互相垂直,求 x 0 的值。

2.如图,一矩形铁皮的长为 8cm,宽为 5cm,在四个角上截去 四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长 为多少时,盒子容积最大?

3. 已知
y ? x?2

f ( x ) ? ax

4

? bx

2

?c

的图象经过点 (0 ,1) ,且在 x ? 1 处的切线方程是

(1)求 y

(2)求 y ? f ( x ) 的单调递增区间。 ? f ( x ) 的解析式;

4.平面向量 a

?

? 1 3 ? ( 3 , ? 1), b ? ( , ) 2 2

,若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ,使 ,试确定函数 k
? f (t )

? ? ? ? ? ? ? ? 2 x ? a ? ( t ? 3) b , y ? ? ka ? tb , 且 x ? y

的单调区间。

(一) 、选择题 1.若 f ( x ) ? sin ? A. sin ? 2. 若函数

? co s x

,则

f (? ) 等于(
'

) D. 2 sin ?
f ( x ) 的图象是 (
'

B. co s ?
f ( x) ? x ? bx ? c
2

C. sin ? ? cos ?

的图象的顶点在第四象限, 则函数



3.已知函数 f ( x ) ? ? x 3 ? ax 2 ? x ? 1 在 ( ?? , ?? ) 上是单调函数,则实数 a 的 取值范围是( ) A. ( ?? , ? 3 ] ? [ 3 , ?? ) B. [ ? 3 , 3 ] C. ( ?? , ?
3 ) ? ( 3 , ?? )

D. ( ?

3,

3)

4.对于 R 上可导的任意函数 f ( x ) ,若满足 ( x ? 1) f ' ( x ) ? 0 ,则必有( ) A. f (0 ) ? f ( 2 ) ? 2 f (1) B. f (0 ) ? f ( 2 ) ? 2 f (1) C. f (0 ) ? f ( 2 ) ? 2 f (1) D. f (0 ) ? f ( 2 ) ? 2 f (1) 4 5.若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为( ) A. 4 x ? y ? 3 ? 0 B. x ? 4 y ? 5 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 D. x ? 4 y ? 3 ? 0 6.函数 f ( x ) 的定义域为开区间 ( a , b ) ,导函数 f ? ( x ) 在 ( a , b ) 内的图象如图所示, 则 函 数 f ( x) 在 开 区 间 (a, b) 内 有 极 小 值 点 ( )

y

y ? f ?(x)

b

a
A. 1 个 (二) 、填空题

O
B. 2 个

x
C. 3 个 D. 4 个

1.若函数 f ( x ) = 2.函数 y 3.设函数 =__________ 4.设

x (x - c)

2

在 x ? 2 处有极大值,则常数 c 的值为_________; 。 ,若 )
f ( x )?

? 2 x ? sin x

的单调增区间为
) ?? ? ? (0

f ( x ) ? c o s ( x3 ? ?

为 f? ( x ) 奇 函 数 , 则 ? 恒成立,则实数 m 的

f (x) ? x ?
3

1 2

x ? 2x ? 5
2

,当 x ? [ ? 1, 2 ] 时, 。
n

f (x) ? m

取值范围为 5.对正整数 n ,设曲线 y 则数列 ? 三、解答题 1.求函数 y
? an ? ? ? n ? 1?

? x (1 ? x )

在 x ? 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,

的前 n 项和的公式是

? (1 ? co s 2 x )

3

的导数。

2.求函数 y

?

2x ? 4 ?

x?3

的值域。

3.已知函数

f ( x) ? x ? ax ? bx ? c
3 2

在x

? ?

2 3

与 x ? 1 时都取得极值

(1)求 a , b 的值与函数 f ( x ) 的单调区间。 (2)若对 x ? [ ? 1, 2 ] ,不等式 f ( x ) ? c 2 恒成立,求 c 的取值范围。

4.已知

f ( x ) ? lo g 3

x ? ax ? b
2

, x ? (0, ? ? ) ,是否存在实数 a、 b ,使

f (x)

同时满足
f (x)

x
f (x)

下列两个条件: (1)

在 (0 ,1) 上是减函数,在 ?1, ? ? ? 上是增函数; (2)

的最小值是 1 ,若存在,求出 a、 b ,若不存在,说明理由.

三.导数综合应用 1.已知函数 f ( x ) ? ax 3 ? bx 2 ? ( c ? 3 a ? 2 b ) x ? d 的图象如图所示. (I)求 c , d 的值; (II)若函数 f ( x ) 在 x ? 2 处的切线方程为 3 x ? y ? 11 ? 0 ,求函数 f ( x ) 的解析式; (III)在(II)的条件下,函数 y
? f (x) 与 y ?

1 3

f ?( x ) ? 5 x ? m



图象有三个不同的交点,求 m 的取值范围.

2.已知函数 f ( x ) (I)求函数

? a ln x ? ax ? 3 ( a ? R ) . f (x)

的单调区间; 的图象的在 x?4 处切线的斜率为
3 2 ,

( II ) 函 数
g (x) ? 1 3
3 2

f (x)
m 2

若函数

x ? x [ f '(x) ?

] 在区间(1,3)上不是单调函数,求

m 的取值范围.

3. 已知函数 f ( x ) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c 的图象经过坐标原点, 且在 x (I)求实数 a 的取值范围; (II)若方程
f (x) ? ? ( 2 a ? 3) 9
2

? 1 处取得极大值.

恰好有两个不同的根,求
f (x)

f (x)

的解析式; ,求证:

|

( III ) 对 于 ( II ) 中 的 函 数 f ( 2 sin ? ) ? f ( 2 sin ? ) |? 81 .

,对任意

?、 ? ? R

4.已知常数 a ? 0 , e 为自然对数的底数,函数 f ( x ) ? e ? x , g ( x ) ? (I)写出 f ( x ) 的单调递增区间,并证明 e ? a ; (II)讨论函数 y ? g ( x ) 在区间 (1, e ) 上零点的个数.
x
a

x

2

? a ln x



a

5.已知函数 f ( x ) ? ln ( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1 . (I)当 k ? 1 时,求函数 f ( x ) 的最大值; (II)若函数 f ( x ) 没有零点,求实数 k 的取值范围;

6.已知 x ? 2 是函数 f ( x ) ? (I)求实数 a 的值; (II)求函数
f ( x)

( x ? a x ? 2 a ? 3) e
2

x

的一个极值点( e ? 2 . 718

???) .

在x?[

3 2

, 3 ] 的最大值和最小值.

7.已知函数 f ( x ) ? x 2 ? 4 x ? ( 2 ? a ) ln x , ( a ? R , a ? (I)当 a=18 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (II)求函数
f (x)

0)

在区间 [ e , e 2 ] 上的最小值.

8.已知函数

f ( x ) ? x ( x ? 6 ) ? a ln x

在 x ? ( 2, ? ? ) 上不具有单调性. ...
f ?( x ) ? 6 ? 38 27 2 x
2

(I)求实数 a 的取值范围; (II)若
f ?( x )


1

f (x)

的导函数,设 g ( x ) ?

,试证明:对任意两

个不相等正数 x 、 x ,不等式 | g ( x1 ) ?
2

g ( x 2 ) |?

| x1 ? x 2 | 恒成立.

9.已知函数

f (x) ?

1 2

x

2

? ax ? ( a ? 1) ln x , a ? 1 .

(I)讨论函数

f (x)

的单调性;
x 1 , x 2 ? ( 0 , ?? ), x 1 ? x 2 , 有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2 ? ?1.

(II)证明:若 a

? 5 , 则对任意

10.已知函数

f (x) ?

1 2

x ? a ln x ,
2

g ( x ) ? ( a ? 1) x , a ? ? 1 .

(I) 若函数 f ( x ), g ( x ) 在区间 [1, 3] 上都是单调函数且它们的单调性相同, 求 实数 a 的取值范围; g (II)若 a ? (, e ( e 2.71828 ) ? ,设 F (x ) ? f (x ) ? (x ) ,求证:当 x , x ? [1, a ] 1 ] ? 时,不等式 | F ( x1 ) ? F ( x 2 ) |? 1 成立.
1 2

11.设曲线 C : f ( x ) ? ln x ? ex ( e ? 2 .7 1 8 2 8 ? ? ? ) f ? ( x ) 表示 , (I)求函数 f ( x ) 的极值; (II)对于曲线 C 上的不同两点 A ( x , y ) , B ( x , y ) , x ? 一的 x ? ( x , x ) ,使直线 A B 的斜率等于 f ?( x ) .
1 1 2 2 1 0 1 2 0

f ( x)

导函数.

x2

,求证:存在唯

12.定义 F ( x , y ) ? (1 ? x ) y , x , y ? ( 0 , ?? ) , (I)令函数 f ( x ) ? F (3, lo g ( 2 x ? x ? 4 )) ,写出函数 f ( x ) 的定义域; (II)令函数 g ( x ) ? F (1, lo g ( x ? a x ? b x ? 1)) 的图象为曲线 C,若存在实数 b 使得曲线 C 在 x 0 ( ? 4 ? x 0 ? ? 1) 处有斜率为-8 的切线,求实数 a 的取值范围; (III)当 x , y ? N * 且 x ? y 时,求证 F ( x , y ) ? F ( y , x ) .
2 2

3

2

2



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