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上海市浦东新区2015届高考数学三模试卷(理科)


上海市浦东新区 2015 届高考数学三模试卷(理科)
一、填空题: (本大题满分 56 分,每小题 4 分)本大题共有 14 小题,考生应在答题纸相应的 编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. (4 分)若集合 A={x|1≤x≤3},集合 B={x|x<2},则 A∩B=. 2. (4 分)函数 f(x)=x , (x<﹣2)的反函数是. 3. (4 分)过点(1,0)且与直线 2x+y=0 垂直的直线的方程. 4. (4 分)已知数列{an}为等比数列,前 n 项和为 Sn,且 a5=2S4+3,a6=2S5+3,则此数列的公 比 q=. 5. (4 分)如果复数 z 满足|z+i|+|z﹣i|=2(i 是虚数单位) ,则|z|的最大值为. 6. (4 分)函数 y=cos x 的单调增区间为.
2 2

7. (4 分)三阶行列式

第 2 行第 1 列元素的代数余子式为﹣10,则 k=.

8. (4 分)设 F1、F2 是双曲线 x ﹣ 则△ PF1F2 的周长.

2

=1 的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|,

9. (4 分)设 A、B、C、D 是球面上的四个点,且在同一平面内,AB=BC=CD=DA=1,球心 到该平面的距离是球半径的 倍,则球的体积是.

10. (4 分)掷两颗骰子得两数,则事件“两数之和为 5”的概率为.

11. (4 分)数列{an}中,

且 a1=2,则数列{an}前 2015 项的积等于.

12. (4 分)若 , , 均为平面单位向量,且 + ﹣ =(

, ) ,则 =.

13. (4 分)在极坐标系中,动点 M 从 M0(1,0)出发,沿极轴 ox 方向作匀速直线运动,速 度为 3 米/秒,同时极轴 ox 绕极点 o 按逆时针方向作等角速度旋转,角速度为 2 米/秒.则动 点 M 的极坐标方程. 14. (4 分)记符号 min{c1,c2,…,cn}表示集合{c1,c2,…,cn}中最小的数.已知无穷项的 * * 正整数数列{an}满足 ai≤ai+1(i∈N ) ,令 bk=min{n|an≥k}, (k∈N ) ,若 a20=14,则 a1+a2+…+a20+b1+b2+…+b14=.

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项 是正确的,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. (5 分)二元一次方程组 A.系数行列式 D≠0 B. 比例式 存在唯一解的必要非充分条件是()

C. 向量

不平行

D.直线 a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2 不平行 16. (5 分)用符号(x]表示不小于 x 的最小整数,如(π]=4, (﹣1.2]=﹣1.则方程(x]﹣x= 在(1,4)上实数解的个数为() A.0 B. 1
2

C. 2

D.3

17. (5 分)已知 P 为椭圆

+y =1 的左顶点,如果存在过点 M(x0,0) (x0>0)的直线交椭

圆于 A、B 两点,使得 S△ AOB=2S△ AOP,则 x0 的取值范围是() A. (1, ] B.

上海市浦东新区 2015 届高考数学三模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、填空题: (本大题满分 56 分,每小题 4 分)本大题共有 14 小题,考生应在答题纸相应的 编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. (4 分)若集合 A={x|1≤x≤3},集合 B={x|x<2},则 A∩B={x|1≤x<2}. 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由集合 A 与 B,求出两集合的交集即可. 解答: 解:∵集合 A={x|1≤x≤3},集合 B={x|x<2}, ∴A∩B={x|1≤x<2}. 故答案为:{x|1≤x<2} 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. (4 分)函数 f(x)=x , (x<﹣2)的反函数是 考点: 反函数. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 直接利用反函数的定义求解即可. 解答: 解:函数 f(x)=x , (x<﹣2) ,则 y>4. 可得 x= , 所以函数的反函数为: . 故答案为: . 点评: 本题考查反函数的定义的应用,考查计算能力. 3. (4 分)过点(1,0)且与直线 2x+y=0 垂直的直线的方程 x﹣2y﹣1=0. 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 方法一,利用两条直线互相垂直,斜率之积等于﹣1,求出垂线的斜率,再求垂线的 方程; 方法二, 根据两条直线互相垂直的关系, 设出垂线的方程, 利用垂线过某点, 求出垂线的方程. 解答: 解:方法一,直线 2x+y=0 的斜率是﹣2, 则与这条直线垂直的直线方程的斜率是 , ∴过点(1,0)且与直线 2x+y=0 垂直的直线方程为 y﹣0= (x﹣1) , 即 x﹣2y﹣1=0; 方法二,设与直线 2x+y=0 垂直的直线方程为 x﹣2y+a=0, 且该垂线过过点(1,0) , ∴1×1﹣2×0+a=0,解得 a=﹣1, ∴这条垂线的直线方程为 x﹣2y﹣1=0. 故答案为:x﹣2y﹣1=0. 点评: 本题考查了直线方程的求法与应用问题,也考查了直线垂直的应用问题,是基础题 目.
2 2



4. (4 分)已知数列{an}为等比数列,前 n 项和为 Sn,且 a5=2S4+3,a6=2S5+3,则此数列的公 比 q=3. 考点: 等比数列的前 n 项和;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 已知两式相减结合等比数列的求和公式可得. 解答: 解:∵a5=2S4+3,a6=2S5+3, ∴两式相减可得 a6﹣a5=2(S5﹣S4) , ∴a6﹣a5=2a5,∴a6=3a5, ∴ 公比 q= =3

故答案为:3. 点评: 本题考查等比数列的求和公式和通项公式,属基础题. 5. (4 分)如果复数 z 满足|z+i|+|z﹣i|=2(i 是虚数单位) ,则|z|的最大值为 1. 考点: 复数的代数表示法及其几何意义;复数求模. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 直接利用复数的几何意义,直接求解即可. 解答: 解:复数 z 满足|z+i|+|z﹣i|=2(i 是虚数单位) ,复数 z 的几何意义是到虚轴上的点到 (0,1) , (0,﹣1)的距离之和,|z|的最大值为:1, 故答案为:1. 点评: 本题考查复数的几何意义,复数的模的求法,考查计算能力.
2

6. (4 分)函数 y=cos x 的单调增区间为

(k∈Z) .

考点: 二倍角的余弦;余弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由二倍角的余弦函数公式可得 y= cos2x+ ,由 2kπ﹣π≤2x≤2kπ,k∈Z 可解得单调增 区间. 解答: 解:∵y=cos x= cos2x+ , ∴由 2kπ﹣π≤2x≤2kπ,k∈Z 可解得单调增区间为: 故答案为: (k∈Z) (k∈Z) ,
2

点评: 本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用,考查了余弦函数的单调性,属于基 本知识的考查.

7. (4 分 )三阶行列式

第 2 行第 1 列元素的代数余子式为﹣10,则 k=﹣14.

考点: 三阶矩阵. 专题: 计算题. 分析: 根据余子式的定义可知,在行列式中划去第 2 行第 1 列后所余下的 2 阶行列式带上 i+j 符号(﹣1) 为 M21,求出其表达式列出关于 k 的方程解之即可. 解答: 解:由题意得 M21=(﹣1)
3

=2×2+1×k=﹣10

解得:k=﹣14. 故答案为:﹣14. 点评: 此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义,会进行矩阵的运算,是一道基础题.

8. (4 分)设 F1、F2 是双曲线 x ﹣ 则△ PF1F2 的周长 24.

2

=1 的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|,

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与 方程. 分析 : 先由双曲线的方程求出|F1F2|=10, 再由 3|PF1|=4|PF2|, 运用双曲线的定义, 求出|PF1|=8, |PF2|=6,由此能求出△ PF1F2 的周长. 解答: 解:双曲线 x ﹣
2

=1 的 a=1,c=

=5,

两个焦点 F1(﹣5,0) ,F2(5,0) , 即|F1F2|=10, 由 3|PF1|=4|PF2|,设|PF2|=x,则|PF1|= x, 由双曲线的定义知, x﹣x=2,解得 x=6. ∴|PF1|=8,|PF2|=6, |F1F2|=10, 则△ PF1F2 的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=8+6+10=24. 故答案为:24. 点评: 本题考查双曲线的定义和性质的应用,考查三角形周长的计算,属于基础题. 9. (4 分)设 A、B、C、D 是球面上的四个点,且在同一平面内,AB=BC=CD=DA=1,球心 到该平面的距离是球半径的 倍,则球的体积是 .

考点: 球的体积和表面积.

专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 设出球的半径, 球心到该平面的距离是球半径的 满足勾股定理,求出 R 即可求球的体积. 解答: 解:设球的半径为 R,由题意可得 ∴R= , = . . 倍, 结合 ABCD 的对角线的一半,

∴球的体积是: 故答案为:

点评: 本题考查球的体积,考查空间想象能力,计算能力,是基础题.

10. (4 分)掷两颗骰子得两数,则事件“两数之和为 5”的概率为 .

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: 本题是一个求概率的问题,考查事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为 5” 这是一个古典概率模型,求出所有的基本事件数 N 与事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点 数之和为 5”包含的基本事件数 N,再由公式 求出概率得到答案. 解答: 解:抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是 6×6=36 事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为 5”所包含的基本事件有(1,4) , (2,3) , (3, 2) , (4,1)共四种 故事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为 5”的概率是 故答案为: . 点评: 本题是一个古典概率模型问题,解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰 子的点数之和为 5”,由列举法计算出事件所包含的基本事件数,判断出概率模型,理解求解 公式 是本题的重点,正确求出事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为 5”所包含的 基本事件数是本题的难点 ,

11. (4 分)数列{an}中,

且 a1=2,则数列{an}前 2015 项的积等于 3.

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 通过计算出数列前几项的值,判断该数列为周期数列,进而可得结论. 解答: 解:∵ 且 a1=2,

∴a2=

=

=﹣3,

a3=

=

=﹣ ,

a4=

=

= ,

a5=

=

=2,

不难发现数列{an}是周期数列, 四个为一周期且最前四个乘积为 ∵2015=503×4+3, ∴数列{an}前 2015 项的积为: =3, =1,

故答案为:3. 点评: 本题考查求数列的前 n 项的乘积,找出其周期是解决本题的关键,注意解题方法的 积累,属于中档题.

12. (4 分)若 , , 均为平面单位向量,且 + ﹣ =(

, ) ,则 =(﹣

,﹣ ) .

考点: 平面向量坐标表示的应用. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据 , , 均为平面单位向量,且 + ﹣ =( ) , =(﹣ ,﹣ ) ,问题得以解决. , ) , , ) ,则可推得 = =( ,

解答: 解: , , 均为平面单位向量,且 + ﹣ =( ∵( ∴( ∵ ) +( ) =1, , )是一个单位向量, = + ﹣(﹣ ) , = + ﹣( ) , ,﹣ ) ,
2 2

∴ = =(

, ) , =(﹣

故答案为: (﹣

,﹣ ) .

点评: 本题考查了向量的坐标运算和单位向量,属于基础题. 13. (4 分)在极坐标系中,动点 M 从 M0(1,0)出发,沿极轴 ox 方向作匀速直线运动,速 度为 3 米/秒,同时极轴 ox 绕极点 o 按逆时针方向作等角速度旋转,角速度为 2 米/秒.则动 点 M 的极坐标方程 ρ=1+ θ.

考点: 专题: 分析: 解答: ∴

极坐标刻画点的位置. 坐标系和参数方程. 由题意可得:ρ=1+3t,θ=2t,消去 t 即可得出. 解:由题意可得:ρ=1+3t,θ=2t, , .

故答案为:

点评: 本题考查了极坐标方程、速度与时间的关系,考查了计算能力,属于基础题. 14. (4 分)记符号 min{c1,c2,…,cn}表示集合{c1,c2,…,cn}中最小的数.已知无穷项的 * * 正整数数列{an}满足 ai≤ai+1(i∈N ) ,令 bk=min{n|an≥k}, (k∈N ) ,若 a20=14,则 a1+a2+…+a20+b1+b2+…+b14=294. 考点: 数列的求和. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 利用特殊值法,即令数列{an}前 20 项每项的值均为 14 计算即可. 解答: 解:不妨令 a1=a2=…=a20=14, 则 b1=b2=…=b14=1, ∴所求值为 14×20+14×1=294, 故答案为:294. 点评: 本题考查求数列的和,注意解题方法的积累,属于中档题. 二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项 是正 确的,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. (5 分)二元一次方程组 A.系数行列 式 D≠0 B. 比例式 存在唯一解的必要非充分条件是()

C. 向量

不平行

D.直线 a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2 不平行 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 利用二元一次方程组存在唯一解时,系数行列式不等于 0,即可得到 A,B,C 为充 要条件,对于选项的,直线分共面和异面两种情况. 解答: 解:当两直当两直线共面时,直线 a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2 不平行,二元一次方程组 存在唯一解

当两直线异面,直线 a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2 不平行,二元一次方程组

无解,

故直线 a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2 不平行是二元一次方程组

存在唯一解的必要

非充分条件. 故选:D. 点评: 本题考查二元一次方程组的解,解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时, 系数行列式不等于 0,以及空间两直线的位置关系,属于基础题. 16. (5 分)用符号(x]表示不小于 x 的最小整数,如(π]=4, (﹣1.2]=﹣1.则方程(x]﹣x= 在(1,4)上实数解的个数为() A.0 B. 1

C. 2

D.3

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据定义分别讨论 x 的取值范围,解方程即可. 解答: 解:若 1<x≤2,则(x]=2,由(x]﹣x= 得 2﹣x= ,即 x= , 若 2<x≤3,则(x]=3,由(x]﹣x= 得 3﹣x= ,即 x= , 若 3<x<4,则(x]=4,由(x]﹣x= 得 4﹣x= ,即 x= , 故方程(x]﹣x= 在(1,4)上实数解的个数为 3 个, 故选:D. 点评: 本题主要考查方程根的个数的判断,根据定义利用分类讨论是解决本题的关键.
2

17. (5 分)已知 P 为椭圆

+y =1 的左顶点,如果存在过点 M(x0,0) (x0>0)的直线交椭

圆于 A、B 两点,使得 S△ AOB=2S△ AOP,则 x0 的取值范围是() A. (1, ] B.

③在与截面 PAB 的平面垂直且过点 M 的平面内建立直角坐标系,不妨设双曲线的标准方程 为 (a,b>0) ,取 M(1,0) ,即 a=1,把点 代入解得 b,可得 =2,

设双曲线两渐近线的夹角为 2θ,可得 tan2θ,可得 sin2θ,即可判断出正误; ④建立直角坐标系,不妨设抛物线的标准方程为 y =2px,把点 代入解出即可. 2 解答: 解:①∵点 M 是母线的中点,∴截面圆的半径 r=2,因此面积=π×2 =4π,正确; ②椭圆的长轴长= = ,因此正确;
2

③在与截面 PAB 的平面垂直且过点 M 的平面内建立直角坐标系,不妨设双曲线的标准方程 为 (a,b>0) ,取 M(1,0) ,即 a=1,把点 代入可得: =1,

解得 b=2,∴ =2,设双曲线两渐近线的夹角为 2θ,∴tan2θ=

=﹣ ,∴sin2θ= ,因此

双曲线两渐近线的夹角为 arcsin ,因此不正确; ④建立直角坐标系,不妨设抛物线的标准方程为 y =2px,把点 ,解得 p= ,∴抛物线中 焦点到准线的距离 p 为
2

代入可得: ,不正确.

故选:B. 点评: 本题考查了圆锥曲线的原始定义、标准方程及其性质,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题. 三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须写出必要的步骤. 19. (12 分)如图,正方形 ABCD 所在平面与圆 O 所在平面相交于 CD,CE 为圆 O 的直径, 线段 CD 为圆 O 的弦,AE 垂直于圆 O 所在平面. (1)求证:CD⊥平面 AED; (2)设异面直线 CB 与 DE 所成的角为 且 AE=1,将△ ACD(及其内部)绕 AE 所在直线

旋转一周形成一几何体,求该几何体的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)通过证明 CD⊥ED,CD⊥AE,然后证明 CD⊥平面 AED.

(2)所求问题实际是将△ ACD(及其内部)绕 AE 所在直线旋转一周形成一几何体的体积是 两圆锥的体积之差.求解即可. 解答: 解: (1)证明:因为 CE 为圆 O 的直径,所以 ,即 CD⊥ED…2 分

又因为 AE 垂直于圆面,CD⊥AE 所在平面,所以 CD⊥AE…4 分 又 CD⊥ED,所以 CD⊥平面 AED…5 分 (2)由题意知,将△ ACD(及其内部)绕 AE 所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两圆 锥的体积之差. 因为异面直线 CB 与 DE 所成角为 ,且 CB∥DA,所以 ,DA=2…9 分 …10 分 …12 分. ,…7 分

又因为 AE=1,所以,在 Rt△ AED 中, 在 Rt△ CDE 中,CD=DA=2, ,所以 所以该几何体的体积

点评: 本题考查几何体的体积的求法,直线与平面垂直的判断,考查逻辑推理能力以及计 算能力. 20. (14 分)如图在半径为 5cm 的圆形的材料中,要截出一个“十字形”ABCDEFGHIJKL,其 为一正方形的四角截掉全等的小正方形所形成的图形. (O 为圆心) (1)若要使截出的“十字形”的边长相等(DE=CD) (图 1) ,此时边长为多少? (2) 若要使截出的“十字形”的面积为最大 (图 2) , 此时∠DOE 为多少? (用反三角函数表示)

考点: 根据实际问题选择函数类型. 专题: 综合题;三角函数的求值. 分析: (1)当“十字形”的边长相等时,过 O 作 OM⊥DE 交 DE 于 E,作 CN⊥OM 交 OM 于 N.设该“十字形”的边长为 2x,则 DM=x,OM=3x.在 Rt△ OMD 中,由勾股定理得边长; (2)过 O 作 OM⊥DE 交 DE 于 E,作 CN⊥OM 交 OM 于 N,求出面积,即可得出结论. 解答: 解: (1)当“十字形”的边长相等时,过 O 作 OM⊥DE 交 DE 于 E,作 CN⊥OM 交 OM 于 N.设该“十字形”的边长为 2x,则 DM=x,OM=3x. 在 Rt△ OMD 中,由勾股定理得, …5 分

所以,边长 …6 分 (2)过 O 作 OM⊥DE 交 DE 于 E,作 CN⊥OM 交 OM 于 N.设∠DOM=θ,则 OM=5cosθ, DM=5sinθ. ∴ON=CN=5sinθ,NM=5cosθ﹣5sinθ.…8 分

∴“十字形”的面积为 S =(2OM) ﹣4(NM) =100cos θ﹣100(cosθ﹣sinθ)
2

2

2

2

=

( 其中





…10

分 ∴当 此时, 时, 或 …12 分 …14 分.

点评: 本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 21. (14 分)设函数 f(x)对任意 x∈R,都有 f(2x)=a?f(x) ,其中 a 为常数.当 x∈…6 分 (2)由于; 且(0,1]?(0,a ]?(0,a ]?…?(0,a ]?…10 分 当 n 为奇数时,f(x)在…14 分. 点评: 本题考查了函数的解析式的求法和函数的值域的求法,由于 所以 n=k+1 时命题也成立, 所以 即存在常数 ,使 a2n<p<a2n+1 对任意正整数 n 都成立.…16 分.
2 4 2k

点评: 本题考查数列的判断,数列与不等式的综合应用,数学归纳法的应用,数列与函数 综合,考查分析问题解决问题的能力. 23. (18 分) 如图, 矩形 ABCD 中, AB=2, BC=4, 以矩形 ABCD 的中心为原点, 过矩形 ABCD 的中心平行于 BC 的直线为 x 轴,建立直角坐标系, (1 )求到直线 AD、BC 的距离之积为 1 的动点 P 的轨迹; (2)若动点 P 分别到线段 AB、CD 中点 M、N 的距离之积为 4,求动点 P 的轨迹方程,并指 出曲线的性质(对称性、顶点、范围) ; (3)已知平面上的曲线 C 及点 P,在 C 上任取一点 Q,线段 PQ 长度的最小值称为点 P 到曲 线 C 的距离.若动点 P 到线段 AB 的距离与射线 CD 的距离之积为 4,求动点 P 的轨迹方程, 并作出动点 P 的大致轨迹.

考点: 轨迹方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用到直线 AD、BC 的距离之积为 1,建立方程,即可求出动点 P 的轨迹; (2) ? =4,化简可得结论;

(3)同时从几何和代数角度进行分析,即可得出结论. 解答: 解: (1)设 P(x,y) ,则|y﹣1||y+1|=1…2 分

化简得 y=± 或 y=0. 故动点 P 的轨迹为三条平行线;…4 分 (2) 化简得 对称性:关于原点、x、y 轴对称;…6 分 顶点: (2 ,0) , (﹣2 ,0) , (0,0) ;…8 分 范围:|x|≤2 ,|y|≤1…10 分 (3)同时从几何和代数角度进行分析 当 y<﹣1 时,y=﹣1﹣ 当﹣1≤y≤1 时,x=±2 当 y>1 时,y=1+ 或 x=0,…14 分 ,…16 分 ,…12 分 ? =4,

作轨迹大致如图.分三个区域给分: ①在直线 y=﹣1 的下方:两段曲线; ②在两直线 y=﹣1,y=1 之间:三条平行线; ③在直线 y=1 的上方:三条曲线.…18 分.

点评: 本题考查轨迹方程,考查学生的计算能力,确定轨迹方程是关键.



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