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山西省晋中市太谷县第二中学学高二数学下学期期中试题文-课件



太谷二中 2014 级 2015-2016 学年第二学期期中考试 数学试题(文科)
(本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟) 第Ⅰ卷 客观题(60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1、复数

5i 在复平面内对应的点位于( 1 ? 2i
B.第二象限

) C.第三象限

D.第四象限

A.第一象限 2、考察以下列命题:

①命题“ lg x ? 0, 则x=1 ”的否命题为“若 lg x ? 0, 则x ? 1 ” ②若“ p ? q ”为假命题,则 p、q 均为假命题 ③命题 p: ?x ? R ,使得 sin x ? 1 ;则 ?p : ?x ? R , 均有 sin x ? 1 ④“ x ? 2 ”是“

1 1 ? ”的充分不必要条件 x 2
) C.3 B. x ? 1 )
2

则真命题的个数为( A.1
2
2 2

B.2

D.4 )
2

3、化极坐标方程 ? cos? ? ? ? 0 为直角坐标方程为( A. x ? y ? 0或y ? 1 4 、下列说法中正确的是( 小
2

C. x ? y ? 0或x ? 1

D. y ? 1

A.若分类变量 X 和 Y 的随机变量 K 的观测值 k 越大,则“X 与 Y 相关”的可信程度越 B.对于自变量 x 和因变量 y,当 x 取值一定时 ,y 的取值具有一定的随机性,x,y 间 的这种非确定关 系叫做函数关系 C.相关系数 r 越接近 1,表明两个随机变量线性相关性越弱 D.若分类变量 X 与 Y 的随机变量 K 的观测值 k 越小,则两个分类变量有关系的把握性 越小 5、不等式 3 ? 5 ? 2 x ? 9 的解集为( A.[?2,1) ? [4,7)
3
2 2

) C.(?2, ?1] ? [4,7) D.(?2,1] ? [4,7)

B.(?2,1] ? (4, 7]

) 6、过曲线 y ? x ? x ? 2 上的点 P 0 的切线平行于直线 y ? 4 x ? 1 ,则切点 P 0 的坐标( A.(0, ?1) 或 (1, 0) B.(1, 0) 或 (?1, ?4) C.(0, ?2) 或 (?1, ?4) D.(2,8) 或 (1, 0) 7、直线 l 的参数方程为 ?

?x ? a ? t (t为参数) , l 上的点 P1 对应的参数是 t1 ,则点 P1 与 ?y ? b ?t


P(a, b) 之间的距离是(

A.|t1|
2

B.2|t1|

C.

2 | t1 |

D.

2 | t1 | 2

8、已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上有一点 M(4,y) ,它到焦点 F 的距离为 5,则 ?OFM 的

1

面积(O 为原点)为( A.1

) B.2 C. 2 ) D. 2 2

1 ? ?x ? t ? 9、参数方程为 ? t (t为参数) 表示的曲线是( ? ?y ? 2
A.一条直线 10、已知双曲线 B.两条直线

C.一条射线

D.两条射线

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1、F2,已知双曲线上一点 M 到左焦点 F1 4 12
) D.3 或 7 B. 9 C. 1 或 9 ) D. (??,?4) ? (0,4)

的距离为 5,则点 M 到右焦点的距离为( A. 1

11、 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时 f ( x) ? x ? f / ( x) ? 0 ,且 f (?4) ? 0 则不等式 xf ( x) ? 0 的解集为( A. (?4,0) ? (4,??) 12 、如图,三个图中的多边形 都是正多边形,M,N 是所在边 的中点,椭圆以图中的 F1, F2 为焦点,设图①、图②、图③ 中椭圆的离心率分别是 e1、e2、 e3 ,则 e1 、e2 、e3 的值分别是 ( ) A . 3 ? 1, 3 ? 1, 10 ? 2 B. B. (?4,0) ? (0,4) C. (??,?4) ? (4,??)

3 ? 1 3 ? 1 10 ? 2 , , 2 2 2 10 ? 2 2

C.

3 ?1 3 ?1 , , 10 ? 2 2 2

D. 3 ? 1, 3 ? 1,

第Ⅱ卷 主观题(90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、极坐标方程分别为 ? ? cos ? 与 ? ? sin ? 的两个圆的圆心距_____________ 14、不等式 |

x?2 |? 1 的解集为 x
2



15、若复数 (a ? 3a ? 2) ? (a ? 1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为__ __ .
3 2 16 、 已 知 函 数 f ?x? ? x ? ax ? ?a ? 6?x ? 1 有 极 大 值 和 极 小 值 , 则 a 的 取 值 范 围





三、解答题(17 题满分 10 分,其余每小题满分 12 分,共 70 分,解答应写出文字说明,证 明过程或演算步骤)
2

? 2 t, ?x ? 3 ? ? 2 17、在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数).在极坐标系 ? y ? 5 ? 2 t, ? 2 ?
(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ρ =2 5sin θ . (1) 求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B.若点 P 的坐标为(3, 5),求|PA|+|PB|. 18、 设 f ( x ) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? 1 的导数 f ? ( x) 满足 f ? (1) ? 2a ,f ? (2) ? ?b , 其中常数 a ,

b? R .
求曲线 y ? f ( x )在点 (1, f (1)) 处的切线方程; 19、已知函数 f ( x) ?| x ? a | 。 (Ⅰ)若不等式 f ( x) ? 3 的解集为 ?x | ?1 ? x ? 5? ,求实数 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值 范围 。 20、我省城乡居民社会养老保险个人年缴费分 100,200,300,400,500,600,700,800, 900, 1000(单位元)十个档次,某社区随机抽取了 50 名村民,按缴费在 100~ 500 元,600~1000 元, 以及年龄在 20~39 岁,40~59 岁之间进行了统计,相关数据如下: 100~500 元 20~39 岁 40~59 岁 总计 之间应抽取几人? (2)在(1)的条件下抽取的 5 人中,随机选取 2 人进行到户走访,求这 2 人的年龄都在 40~59 岁之间的概率. (3)能否有 95%的把握认为缴费的档次与年龄有关? P(K ≥k) k
2
2

600~1000 元 6 19 25

总计 16 34 50

10 15 25

(1)用分层抽样的方法在缴费 100~500 元之间的村民中随机抽取 5 人,则年龄在 20~39 岁

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

n(ad ? bc) 2 K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
21、如图,已知椭圆 C:

x2 2 +y =1 的上、下顶点分别为 A. B,点 P 在椭圆上,且异于点 A. B, 4

直线 AP、BP 与直线 l:y=? 2 分别交于点 M、N, (ⅰ)设直线 AP、BP 的斜率分别为 k1、k2,求证:k1?k2 为定值; (ⅱ)当点 P 运动时,以 MN 为直径的圆是否经过定点?请证明你的结论。
3

22、已知函数 f ?x ? ? ax3 ? bx2 ? cx 的极小值为-8,其导函数的 图象过点 ?? 2,0?, ? ,0 ? ,如图所示 (1)求 f ?x ? 的解析式 (2)若对 x ? ?? 3,3? 都有 f ?x ? ? m ? 14m 恒成立,求实数的 m 取值范围。
2

?2 ?3

? ?

?2

2 3

4

太谷二中 2014 级 2015-2016 学年第二学期期中考试 数学文科答案 一、选择题 1 B 2 C 3 C 4 D 5 D 6 B 7 C 8 B 9 D 10 C 11 D 12 B

二、填空题

13.

2 2

14. {x | x ? ?1}

15. 2

16. a ? 6或a ? ?3

三、解答题 17.(1)由 ρ =2 5sin θ ,得 x +y -2 5y=0, 即 x +(y- 5) =5. (2)将 l 的参数方程代入圆 C 的 直角坐标方程,得 2 ?2 ? 2 ?2 ? 2 ?3- t? +? t? =5,即 t - 3 2t+4=0. 2 ? ?2 ? ? 由 于 Δ = (3 2 ) - 4×4 = 2>0 , 故 可 设 t1 , t2 是 上 述 方 程 的 两 实 根 , 所 以
2 2 2 2 2

?t1+t2=3 2, ? ?t1·t2=4.
又直线 l 过点 P(3, 5), 故由上式及 t 的几何意义得 |PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3 2. 18 、 解 因

f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? 1,



f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? b.



x ? 1, 得f ?(1) ? 3 ? 2a ? b, 由已知 f ?(1) ? 2a,因此3 ? 2a ? b ? 2a, 解得b ? ?3. 又令 x ? 2, 得f ?(2) ? 12 ? 4a ? b, 由已知 f ?(2) ? ?b, 3 因此 12 ? 4a ? b ? ?b, 解得 a ? ? . 2 3 5 3 2 所以 f ( x) ? x ? x ? 3 x ? 1, 从而f (1) ? ? 2 2 3 又因为 f ?(1) ? 2 ? ( ? ) ? ?3, 2 故曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线方程为
5 y ? (? ) ? ?3( x ? 1), 即6 x ? 2 y ? 1 ? 0. 2
19. (Ⅰ)由 f ( x) ? 3 得 | x ? a |? 3 ,解 得 a ? 3 ? x ? a ? 3 ,

5

又已知不等式 f ( x) ? 3 的解集为 ?x | ?1 ? x ? 5? ,所以 ?

?a ? 3 ? ?1 ,解得 a ? 2 。 ?a ? 3 ? 5

(Ⅱ )当 a ? 2 时, f ( x) ?| x ? 2 | ,设 g (x)=f ( x) ? f ( x ? 5) ,于是

? ?2 x ? 1,x < ? 3 ? g (x)=|x-2|? | x ? 3 | = ?5, ? 3 ? x ? 2 ,所以 ? 2 x ? 1,x >2 ?
当 x<-3 时, g(x)>5 ;当 -3 ? x ? 2 时, g(x)>5 ;当 x>2 时, g(x)>5 。

?m ? 5

20.解:

解:(Ⅰ)设抽取 x 人,则

,

,所以在

岁之间应抽取 2 人.

?? ????2 分 (Ⅱ)记在缴费 年龄 元之间抽取的 5 人中,年龄 岁的三人为 , , 的两人为 , ,

,所以随机抽取 2 人的所有情况有: 岁之间有 3

a1a2 , a1b1 , a1b2 , a1b3 , a2b1 , a2b2 , a2b3 , b1b2 , b1b3 , b2b3 种,其中年龄都在

种,故

??????7 分

,

?1.47 ? 3.84 1 ,所以没有

的把握认为缴费档次和年龄有关. ???12 分

21

x2 2 解答:(ⅰ)证明:由题设椭圆 C: +y =1 可知,点 A(0,1),B(0,? 1). 4

令 P(x0,y0),则由题设可知 x0≠0. ∴直线 AP 的斜率 k1=(y0? 1)/x0,PB 的斜率为 k2=(y0+1)/x0.

x 2 又点 P 在椭圆上,∴ 0 +y0 =1(x0≠1) 4
6

2

从而有 k1?k2=

y0 ? 1 y0 ? 1 1 ? ?? ; x0 x0 4

(ⅱ)以 MN 为直径的圆恒过定点(0,? 2+2 3 )或(0,? 2? 2 3 ).

事实上,设点 Q(x,y)是以 MN 为直径圆上的任意一点,则 QM ? QN =0,

故有(x+

3 1 )(x+ )+(y+2)(y+2)=0. k1 k2

又 k1?k2=? 1/4 ∴以 MN 为直径圆的方程为 x +(y+2) ? 12+(
2 2

3 ? 4k1)x=0. k1

令 x=0,则(y+ 2) =12,解得 y=? 2±2 3
2

∴以 MN 为直径的圆恒过定点(0,? 2+2 3 )或(0,? 2? 2 3 ).

22.解(1) f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c
2

f ?(?2) ? 0

由题意可知

2 f ?( ) ? 0 3
f ?(?2) ? ?8

?2

2 3

解得:a=-1,b=-2,c=4
2

∴ f ( x) ? ? x ? 2x ? 4x
3 2

(2)由(1)可知 f ?( x) ? ?3x ? 4 x ? 4 ? ( x ? 2)(?3x ? 2) ∴ x ? (?3, ?2) ( ,3)

2 3

f ( x) 单调递减

7

2 x ? ( ?2, ) , f ( x) 单调 递增 3
f (?2) ? ?8, f (3) ? ?33
∴ x ? [?3,3], f ( x ) ? f (3) ? ?33
mm

若对 x ? [?3,3] 都有 f ( x) ? m2 ?14m 成立 只需 f ( x ) ? m ? 14m 成立
2 mm

即 m2 ? 14m ? ?33 ∴m 的取值范围是[3,11]

解得:3≤m≤11

8



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