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重庆市渝中区巴蜀中学2015年高考数学二模试卷(理科)



2015 年重庆市渝中区巴蜀中学高考数学二模试卷(理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.已知全集 U=R,集合 ,则(? UA)∩B=( )

[来源:学科网] A. (0,+∞) B. (0,1] C. (1,+∞) D. (1,2)

2.已知 i 为虚数单位,若

,则复数 z 所对应的

点所在的象限是(



A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.二项式 的展开式中的常数项是( )

A. ﹣45 B. ﹣10 C. 45 D. 65

4.若双曲线 t y ﹣x =t (t≠0)经过点 A. B. C. 2 D.

2 2

2

2

,则该双曲线的离心率为(



5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( 网]

) (单位 cm ) .[来源:学&科&

3

A.

B.

C.

D. 3π

6.已知 MOD 函数是一个求余函数,其格式为 MOD(n,m) ,其结果为 n 除以 m 的余数,例如 MOD(8,3)=2.下面是一个算法的程序框图,当输入的值为 36 时,则输出的结果为( )

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7.命题 p:关于 x 的方程 x|x|﹣2x+m=0(m∈R)有三个实数根;命题 q:0≤m<1;则命题 p 成立是命题 q 成立的( ) A. 充分而不必要的条件 B. 必要而不充分的条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要的条件 [来源:学科网 ZXXK] 8.已知等差数列{an}满足 n 项和为 Sn,则 S100 的值为( A. B. C. ) D. ,数列{bn}的前

9.已知函数 f(x)=x +ax+b(a、b∈R)的两个零点为 x1、x2,并且 0<x1<1<x2<2,则 2 2 a +b ﹣6b 的取值范围是( ) A. [﹣1,4) B. (﹣1,4) C. (1,4) D. [﹣4,1)

2

10.已知△ABC 是半径为 5 的圆 O 的内接三角形,且 ,则 x+y 的最大值为( A. B. C. 1 D. )

,若

二、填空题(11、12、13 小题必做,14、15、16 小题选做两个小题,每小题 5 分,共 25 分)

11.函数

(x∈R)的零点是



12.在编号为 1,2,3,4,5,6 的六个盒子中放入两个不同的小球,每个盒子中最多放入 一个小球,且不能在两个编号连续的盒子中同时放入小球,则不同的放小球的方法有 种. 13.已知随机变量ξ服从正态分布 N(2,9) ,若 P(ξ>3)=a,P(1<ξ≤3)=b,则函数 的值域是 .

14.如图,AB 与圆 O 相切于点 A,又点 D 在圆内,DB 与圆相交于点 C,若 BC=DC=3,OD=2, AB=6,那么该圆的半径的长为 .

15.在直角坐标系 xoy 中,曲线 C 的参数方程为 点 O 为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 E 的极坐标方程为

为参数) ,若以原

,若曲线 C 与曲线 E 有且只有一个公共点,则实数 m 的值 为 . .

16.若关于 x 的不等式|x+1|≥ax 的解集为 R,则实数 a 的取值范围是

三、解答题(第 17、18、19 每小题 13 分,第 20、21、22 每小题 13 分,共 75 分) 17.已知函数 .

(1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 2x﹣y﹣m=0,求 a、m 的值; (2)若 m=1 且关于 x 的不等式 f′(x)≥0 在[2,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围.

18. (2015? 成都校级模拟)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< ∈R) ,且函数 f(x)的最大值为 2,最小正周期为 0) . (1)求函数 f(x)解析式; ,并且函数 f(x)的图象过点(

,x ,

(2)设△ABC 的角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 f( )=2,c= 范围.

,求 a+2b 的取值

19.环保部门对甲、乙两家化工厂的生产车间排污情况进行检查,从甲厂家的 5 个生产车间 和乙厂家的 3 个生产车间做排污是否合符国家限定标准的检验. 检验员从以上 8 个车间中每 次选取一个车间不重复地进行检验. (1)求前 3 次检验的车间中至少有一个是乙厂家的车间的概率; (2) 记检验到第一个甲厂家的车间时所检验的车间个数共为ξ, 求ξ的分布列和数学期望. 20.在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,且 PA⊥平面 ABCD,点 M 是棱 PA 的中点. (1)若 PA=4,求点 C 到平面 BMD 的距离; (2)过直线 BD 且垂直于直线 PC 的平面交 PC 于点 N,如果三棱锥 N﹣BCD 的体积取到最大 值,求此时二面角 M﹣ND﹣B 的大小的余弦值.

21.已知椭圆

的右顶点、上顶点分别为 A、B,坐标原点到直线

AB 的距离为

,且



(1)求椭圆 C 的方程; (2)过椭圆 C 的左焦点 F1 的直线 l 交椭圆于 M、N 两点,且该椭圆上存在点 P,使得四边形 MONP(图形上的字母按此顺序排列)恰好为平行四边形,求直线 l 的方程.

22.数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 (1)求数列{an}的通项公式 an; (3)求证:对任意 x>0, 数的底数) .



为自然对

2015 年重庆市渝中区巴蜀中学高考数学二模试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.已知全集 U=R,集合 A. (0,+∞) B. (0,1] C. (1,+∞) D. (1,2) 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 根据指数函数和对数函数确定出 A 与 B,根据全集 U=R 求出 A 的补集,找出 A 补集 与 B 的交集即可. 解答: 解:由对数函数的定义得:x﹣1>0,即 x>1, ∵全集 U=R,∴? UA=[(﹣∞,1], 由指数函数的图象和性质得 y>0, ∴B=(0,+∞) , 则(? UA)∩B=(0,1]. 故选:B. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. ,则(? UA)∩B=( )

2.已知 i 为虚数单位,若

,则复数 z 所对应的点所在的象限是(



A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.[来源:学科网 ZXXK] 解答: 解:由 ,得 ) ,所在的象限是第二象限. ,

∴复数 z 所对应的点的坐标为(

故选:B. 点评: 本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 3.二项式 的展开式中的常数项是( )

A. ﹣45 B. ﹣10 C. 45 D. 65 考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题;二项式定理. 分析: 根据二项式展开式的通项公式 Tr+1,令 x 的指数为 0,求出 r 的值,即得展开式的常 数项.

解答: 解:二项式(

﹣x ) 的展开式中通项公式为

2

10

Tr+1=

?

?(﹣x ) =(﹣1) ?

2

r

r

?

? x =(﹣1) ?

2r

r

?

, 令 =0,

解得 r=2; ∴当 r=2 时,二项式展开式的常数项为 T2+1=(﹣1) ?
2

? x =45.

0

故选:C. 点评: 本题考查了二项式定理的应用问题,也考查了逻辑推理与运算能力,是基础题目.

4.若双曲线 t y ﹣x =t (t≠0)经过点 A. B. C. 2 D.

2 2

2

2

,则该双曲线的离心率为(



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据已知求出双曲线的标准方程,进而得到 a,c 的值,代入可得双曲线的离心率. 解答: 解:因为双曲线 t y ﹣x =t (t≠0)经过点 所以 2t ﹣4=t , 2 所以 t =4, 所以双曲线的标准方程为 y ﹣ 所以 a=1,b=2,c= , ,[来源:学科网 ZXXK]
2 2 2 2 2 2 2



=1,

所以双曲线的离心率为 e= =

故选:D. 点评: 本题考查的知识点是双曲线的简单性质,其中根据已知求出双曲线的标准方程是解 答的关键. 5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) (单位 cm ) .
3

A.

B.

C.

D. 3π

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知中的三视图,可知该几何体是一个圆台,结合圆台的体积公式,可得答案. 解答: 解:由已知中的三视图,可知该几何体是一个圆台, 其上下底的直径分别为 2cm 和 1cm, 故上下底的半径分别为 R=1cm 和 r= cm, 圆台的高 h=1cm, 故圆台的体积 V= (r +R +Rr)=
2 2

cm ,

3

故选:A 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的 形状. 6.已知 MOD 函数是一个求余函数,其格式为 MOD(n,m) ,其结果为 n 除以 m 的余数,例如 MOD(8,3)=2.下面是一个算法的程序框图,当输入的值为 36 时,则输出的结果为( )

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,根据题意,依次计算 MOD(n,i)的值,由题意 i=2,3,4,6,9,12,18,共要循环 7 次,从而得解. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得: n=36,i=2,MOD(36,2)=0,j=1,i=3 满足条件 i<n,MOD(36,3)=0,j=2,i=4 满足条件 i<n,MOD(36,4)=0,j=3,i=5 满足条件 i<n,MOD(36,5)=1,i=6 … ∵ ∈N ,可得 i=2,3,4,6,9,12,18,
*

∈N ,可得

*

∴共要循环 7 次,故 j=7. 故选:D. 点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图,依次正确写出每次循环得到的 MOD(n,i) 的值是解题的关键,属于基础题. 7.命题 p:关于 x 的方程 x|x|﹣2x+m=0(m∈R)有三个实数根;命题 q:0≤m<1;则命题 p 成立是命题 q 成立的( ) A. 充分而不必要的条件 B. 必要而不充分的条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要的条件 考点: 根的存在性及根的个数判断;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 函数的性质及应用;简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义结合函数和方程之间的关系进行判断即可. 解答: 解:由方程 ,

易知函数 f(x)是 R 上的奇函数,由 f(x)的图象可知,函数 f(x)在[0,+∞)上的最 大值是 1, 根据图象的对称性知函数 f(x)在(﹣∞,0)上的最小值为﹣1, 又函数 f(x)的图象与 x 轴有 3 个交点, 那么原方程有 3 个实数根的充要条件是(﹣1,1) ,而[0,1)? (﹣1,1) , 故选:B

点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,以及函数与方程之间的关系,利用数形 结合是解决本题的关键.

8.已知等差数列{an}满足 n 项和为 Sn,则 S100 的值为( A. B. C. ) D.

,数列{bn}的前

考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用已知条件求出等差数列{an}的通项公式,然后化简 和,求解即可. 解答: 解:在等差数列{an}中,a5+a7=2a6=26? a6=13,又数列{an}的公差 , 所以 an=a3+(n﹣3)d=7+(n﹣3)×2=2n+1, 那么 , ,利用裂项求

故 Sn=b1+b2+…+bn= 故选:C. 点评: 本题考查数列的递推关系式的应用,数列求和,考查计算能力. 9.已知函数 f(x)=x +ax+b(a、b∈R)的两个零点为 x1、x2,并且 0<x1<1<x2<2,则 2 2 a +b ﹣6b 的取值范围是( )[来源:学_科_网 Z_X_X_K] A.[来源:学科网 ZXXK] [﹣1,4) B. (﹣1,4) C. (1,4) D. [﹣4,1)
2

考点: 简单线性规划;函数零点的判定定理;一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 计算题;数形结合法.

分析: 根据题意,由函数根的分布情况可得

,进而可以利用平面区域表示出

来,而 a +b ﹣6b=a +(b﹣3) ﹣9,可以设 t=
2 2 2

2

2

2

2

,分析易得 t 的几何意义,

借助线性规划的内容分析易得 t 的取值范围,由 a +b ﹣6b=t ﹣9 分析可得答案. 2 解答: 解:根据题意,若函数 f(x)=x +ax+b(a、b∈R)的两个零点为 x1、x2,并且 0< x1<1<x2<2,[来源:学科网]

则有

,即



可以用如图的阴影部分表示: (不含边界) 而 a +b ﹣6b=a +(b﹣3) ﹣9, 令 t =a +(b﹣3) ,则 t=
2 2 2 2 2 2 2



则 t 的几何意义为阴影区域内的点与点(0,3)之间的距离, 分析易得:t 的取值范围是(2 , ) , 则 a +b ﹣6b=t ﹣9 的范围为(﹣1,4) ; 故选:B.
2 2 2

点评: 本题考查线性规划的运用,解题的关键是将一元二次方程根的分布情况转化为不等 式组,进而用线性规划进行分析.

10.已知△ABC 是半径为 5 的圆 O 的内接三角形,且 ,则 x+y 的最大值为( A. B. C. 1 D. )

,若

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 平面向量及应用. 分析: 延长 AO 与 BC 相交于点 D,作 OA1∥DA2∥AB,OB1∥DB2∥AC,设 ,推出 表达式,利用三角代换,求解最值即可. 解答: 解:延长 AO 与 BC 相交于点 D,作 OA1∥DA2∥AB,OB1∥DB2∥AC, 设 ,易知 x>0,y>0,则 ,结合 B、D、C 三点共线,得到 x+y 的



又 B、D、C 三点共线,所以



只需 OM,

最小,就能使 x+y 最大,所以当 OD 最小即可,过点 O 作 OM⊥BC 于点 M,从而 OD≥

又∠BOM=∠BAC=θ,由 那么 .



故选:D.

点评: 本题考查向量在集合中的应用,三角代换以及共线向量的应用,是中档题. 二、填空题(11、12、13 小题必做,14、15、16 小题选做两个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.函数 (x∈R)的零点是 1 .

考点: 函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数的零点的求法求解即可.

解答: 解:函数

(x∈R) ,可得

,解得 x=1,

函数的零点是:1. 故答案为:1 点评: 本题考查函数的零点的求法,基本知识的考查. 12.在编号为 1,2,3,4,5,6 的六个盒子中放入两个不同的小球,每个盒子中最多放入 一个小球,且不能在两个编号连续的盒子中同时放入小球,则不同的放小球的方法有 20 种. 考点:[来源:学。科。网] 排列、组合的实际应用. 专题: 排列组合. 分析: 设两个不同的小球为 A、B,需要分两类,当 A 放入 1 号盒或者 6 号盒时,B 有 4 种 不同的放法,当 A 放入 2,3,4,5 号盒时,B 有 3 种不同的放法,根据分类计数原理即可 得到答案. 解答: 解:设两个不同的小球为 A、B,当 A 放入 1 号盒或者 6 号盒时,B 有 4 种不同的放 法; 当 A 放入 2,3,4,5 号盒时,B 有 3 种不同的放法, 一共有 4×2+3×4=20 种不同的放法. 故答案为:20. 点评: 本题考查了分类和分步计数原理,如何分类是关键,属于中档题. 13.已知随机变量ξ服从正态分布 N(2,9) ,若 P(ξ>3)=a,P(1<ξ≤3)=b,则函数 的值域是 .

考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据条件确定 a 的范围,令 ,函数



上是增函数,即可求出函数

的值域.

解答: 解:因为随机变量ξ服从正态分布 N(2,9) , 所以正态曲线关于直线 x=2 对称,所以 P(ξ>3)=P(ξ<1)=a, 则有 令 所以 故答案为: . ,函数 , 在 . , 上是增函数,

点评: 本题考查正态曲线的性质,考查函数的单调性,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题. 14.如图,AB 与圆 O 相切于点 A,又点 D 在圆内,DB 与圆相交于点 C,若 BC=DC=3,OD=2, AB=6,那么该圆的半径的长为 .

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题;推理和证明. 分析: 延长 BD 与圆 O 相交于点 E,直线 OD 与圆 O 相交于点 F、G,根据切割线定理,求出 DE,根据相交弦定理,求出圆的半径. 解答: 解:如图所示,延长 BD 与圆 O 相交于点 E,直线 OD 与圆 O 相交于点 F、G, 设 DE=x,OG=r,根据切割线定理得 36=3×(3+3+x)? x=6, 又根据相交弦定理得 故答案为: . .

点评: 本题考查切割线定理、相交弦定理,考查学生的计算能力,比较基础.

15.在直角坐标系 xoy 中,曲线 C 的参数方程为 点 O 为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 E 的极坐标方程为

为参数) ,若以原

,若曲线 C 与曲线 E 有且只有一个公共点,则实数 m 的值为 .

考点: 参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 化参数方程、极坐标方程为普通方程,利用曲线 C 与曲线 E 有且只有一个公共点, 推出结果即可. 解答: 解:由 ,

曲线 E 的直角坐标方程为直线 l:x﹣y+2m=0, 当直线与抛物线段相切时,由 ,

可得公共点为

满足题目的条件;而抛物线段的两个端点为 ,

当直线过点 A 时可求得 当 故答案为:

,当直线过点 B 时可求得 时,直线 l 与抛物线段有唯一的公共点. .

,由图可知,

点评: 本题考查直线与抛物线的参数方程、极坐标方程的应用,直线与抛物线的位置关系, 考查计算能力. 16.若关于 x 的不等式|x+1|≥ax 的解集为 R,则实数 a 的取值范围是 0≤a≤1 . 考点: 函数恒成立问题;绝对值不等式的解法. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 通过 x 的范围的讨论, 转化不等式去掉绝对值以及绝对值的几何意义求出 a 的范围. 解答: 解:若 x=0,原不等式变化为 1≥0 恒成立,此时的 a∈R; 若 x>0,原不等式变化为 若 x<0,原不等式变化为 恒成立,因为 恒成立,因为 ,所以 a≤1;

,所以 a≥0.

综上所述,0≤a≤1. 故答案为:0≤a≤1. 点评: 本题考查不等式的解法,函数的恒成立的应用,考查代数法,分类与整合的应用; 也可以利用函数 y=|x+1|和函数 y=ax 的图象求解. 三、解答题(第 17、18、19 每小题 13 分,第 20、21、22 每小题 13 分,共 75 分)

17.已知函数



(1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 2x﹣y﹣m=0,求 a、m 的值; (2)若 m=1 且关于 x 的不等式 f′(x)≥0 在[2,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)利用函数的导数,通过切线方程,求解 m,a 即可. (2)利用导函数恒成立,转化构造函数,通过导函数的单调性求解即可. 解答: 解: (1)曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 2x﹣y﹣m=0, 函数 可得 又(1,f(1) )=(1,0)? 2﹣0﹣m=0? m=2, 解得 a=2. (2) 设函数 则 ,所以 恒成立, 函数 g(x)在[2,+∞)是减函数, . , .

点评: 本题考查函数的导数的应用,构造法的应用,导函数的最值的求法,考查计算能力.

18. (2015? 成都校级模拟)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< ∈R) ,且函数 f(x)的最大值为 2,最小正周期为 0) . (1)求函数 f(x)解析式; (2)设△ABC 的角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 f( )=2,c= 范围. ,并且函数 f(x)的图象过点(

,x ,

,求 a+2b 的取值

考点: 余弦定理;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 解三角形. 分析: (1)由函数最大值为 2,确定出 A 的值,由最小正周期求出ω的值,将已知点坐标 代入求出φ的值,即可确定出 f(x)解析式; (2)由 f( )=2,求出 C 的度数,利用正弦定理求出 2R 的值,所求式子利用正弦定理化 简,整理后利用余弦函数的值域求出范围即可. 解答: 解: (1)根据题意得:A=2,ω=4,即 f(x)=2sin(4x+φ) ,

把( ∴

,0)代入得:2sin( +φ=0,即φ=﹣ , ) ;

+φ)=0,即 sin(

+φ)=0,

则 f(x)=2sin(4x﹣

(2)由 f( )=2sin(C﹣ ∴C﹣ = ,即 C= ,

)=2,即 sin(C﹣

)=1,

由正弦定理得:

=

=2R,即

=2R=1,

∴a+2b=2RsinA+4RsinB=sinA+2sinB=sinA+2sin( 2cos sinA=sinA+ cosA﹣sinA= < , cosA< ) . cosA, ,

﹣A)=sinA+2sin

cosA﹣

∵ <cosA<1,即 ∴a+2b 的范围为(

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,两角和与差的正弦函数公式,以及余弦函数的值域, 熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 19.环保部门对甲、乙两家化工厂的生产车间排污情况进行检查,从甲厂家的 5 个生产车间 和乙厂家的 3 个生产车间做排污是否合符国家限定标准的检验. 检验员从以上 8 个车间中每 次选取一个车间不重复地进行检验. (1)求前 3 次检验的车间中至少有一个是乙厂家的车间的概率; (2) 记检验到第一个甲厂家的车间时所检验的车间个数共为ξ, 求ξ的分布列和数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (1)利用对立事件的概率求解前 3 次检验的车间中至少有一个是乙厂家的车间的概 率; (2)记检验到第一个甲厂家的车间时所检验的车间个数共为ξ,求出ξ的可能值,求出概 率得到分布列,然后求解数学期望. 解答: 解: (1)前 3 次检验的车间中至少有一个是乙厂家的车间的概率:

(2)由题意知ξ可取值 1,2,3,4.



, ,

随机变量ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P ξ的数学期望 点评: 本题考查独立重复试验,对立事件的概率,分布列以及期望的求法,考查计算能力. 20.在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,且 PA⊥平面 ABCD,点 M 是棱 PA 的中点. (1)若 PA=4,求点 C 到平面 BMD 的距离; (2)过直线 BD 且垂直于直线 PC 的平面交 PC 于点 N,如果三棱锥 N﹣BCD 的体积取到最大 值,求此时二面角 M﹣ND﹣B 的大小的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;点到直线的距离公式. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)设 BD 与 AC 相交于点 O,连接 MO,则 BD⊥AC,证明平面 BMD⊥平面 PAC,过点 A 在平面 PAC 作 AT⊥MO 于点 T, 则 AT⊥平面 BMD, 利用等面积, 可求点 C 到平面 BMD 的距离; (2)连接 ON,则△ONC 为直角三角形,设∠OCN=θ(0<θ< ) ,过 N 作 NQ⊥OC 于点 Q,

则 NQ⊥平面 ABCD,利用三棱锥 N﹣BCD 的体积取到最大值,确定 AP=AC=2 ,以 A 为原点, 分别以 AB,AD,AP 所在直线为 x、y、z 轴建立坐标系,求出平面 MND 的一个法向量、平面 BND 的一个法向量,利用向量的夹角公式,即可求此时二面角 M﹣ND﹣B 的大小的余弦值. 解答: 解: (1)设 BD 与 AC 相交于点 O,连接 MO,则 BD⊥AC, ∵PA⊥平面 ABCD,BD? ABCD, ∴PA⊥BD, ∴PA∩AC=A, ∴BD⊥平面 PAC, ∵BD? 平面 BMD, ∴平面 BMD⊥平面 PAC,

过点 A 在平面 PAC 作 AT⊥MO 于点 T,则 AT⊥平面 BMD, ∴AT 为点 A 到平面 BMD 的距离, ∵C,A 到平面 BMD 的距离相等, 在△MAO 中,AT= = ; ) ,过 N 作 NQ⊥OC 于点 Q,

(2)连接 ON,则△ONC 为直角三角形,设∠OCN=θ(0<θ< 则 NQ⊥平面 ABCD, ∴VN﹣BCD= 当且仅当θ=

= NQ= NCsinθ= OC? cosθsinθ= × 时,V 最大,此时 AP=AC=2 ,

sin2θ≤



以 A 为原点,分别以 AB,AD,AP 所在直线为 x、y、z 轴建立坐标系,则有点 、

, 设平面 MND 的一个法向量为 ,则有

,取 y=1,

则有

, ,易知二面角 M

∵直线 PC⊥平面 BND,∴平面 BND 的一个法向量为

﹣ND﹣B 的平面角为锐角α,则



点评: 本题考查平面与平面垂直的判定与性质,考查三棱锥 N﹣BCD 的体积取到最大值,求 此时二面角 M﹣ND﹣B 的大小的余弦值,是中档题,解题时要注意空间思维能力的培养.

21.已知椭圆

的右顶点、上顶点分别为 A、B,坐标原点到直线

AB 的距离为

,且



(1)求椭圆 C 的方程; (2)过椭圆 C 的左焦点 F1 的直线 l 交椭圆于 M、N 两点,且该椭圆上存在点 P,使得四边形 MONP(图形上的字母按此顺序排列)恰好为平行四边形,求直线 l 的方程.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)设出直线 AB 的方程为 bx+ay﹣ab=0,利用坐标原点到直线 AB 的距离,以及 ,可得椭圆的方程. (2)求出椭圆的左焦点,设直线 ,点 M(x1,y1) 、N(x2,y2) ,联立直线

与椭圆方程,利用点 P(x1+x2,y1+y2)在椭圆上,求出 m,可得直线 l 的方程. 解答: 解: (1)设直线 AB 的方程为 bx+ay﹣ab=0,坐标原点到直线 AB 的距离为 , 又 , 解得 , 故椭圆的方程为

(2)由(1)可求得椭圆的左焦点为 易知直线 l 的斜率不为 0,故可设直线 因为四边形 MONP 为平行四边形,所以

, ,点 M(x1,y1) 、N(x2,y2) ,



联立

?



因为点 P(x1+x2,y1+y2)在椭圆上, 所以 , 那么直线 l 的方程为 . 点评: 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查分析问题解决问题的能力,转化 思想的应用,设而不求是简化解题的策略. 22.数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 (1)求数列{an}的通项公式 an; (3)求证:对任意 x>0, 数的底数) . 考点: 数列与不等式的综合;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用 Sn﹣Sn﹣1=an,推出数列 数列,然后求解通项公式. (2)利用已知条件推出 ,设 是以 为首项、﹣1 为公比的等比 为自然对 .

,构造函数 ,然

后证明



解答: (1)解:当 n=1 时,

,当 n≥2 时,

, 所以数列 因此 (2)证明:∵ 是以 为首项、﹣1 为公比的等比数列,

, 设 令函数 ,因 为 ,

, 所以 .

点评: 本题考查数列数列的判定,数列与函数相结合的应用,考查分析问题解决问题的能 力.



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