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2014人教A版数学必修五 第一章 1.1 《正弦定理和余弦定理》 1.1.2 余弦定理课件



课前预习·巧设计

第 一 章 解 三 角 形

1.1 正弦 定理 和余 弦定 理

1. 1. 2 余 弦 定 理

名 师 课 堂 · 一 点 通 创 新 演 练 · 大 冲 关

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[读教材· 填要点] 1.余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,即 a2= b2+c2-2bccos A , b2= a2+c2-2accos B ,
2 2 c2= a +b -2abcos C .

2.余弦定理的推论 在△ABC 中,

b2+c2-a2 a2+c2-b2 2bc 2ac cos A= ,cos B= ,
a2+b2-c2 2ab cos C= .

3.余弦定理及其推论的应用
应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形问题:

(1)已知两边及其夹角解三角形;
(2)已知三边解三角形.

[小问题·大思维]
1.你认为“余弦定理”和“勾股定理”之间有什么关系?
提示:若△ABC 为直角三角形,且∠C=90° , a2+b2-c2 2 2 2 则 cos C= = 0 ,即 a + b = c . 2ab 故余弦定理是勾股定理的推广, 勾股定理是余弦定理的特例.

2.若△ABC为钝角三角形,且A>90°,则三边a,b,c 满足什么关系?
提示:∵a,b,c 为△ABC 的三边,且 A>90° , b2+c2-a2 2 2 2 ∴cos A<0,即 <0. ∴ b + c < a . 2bc

3.已知三角形的两边及其夹角,三角形的其他元素是

否唯一确定?

提示: 由余弦定理可知: 不妨设 a、 b 边和其夹角 C 已知,
2 2 2 a + c - b 则 c2=a2+b2-2abcos C, c 唯一, cos B= 2ac , ∵0<B<π,

∴B 唯一,从而 A 也唯一. 综上可知,三角形其他元素唯一确定.

[研一题] [例 1] 在△ABC 中,已知 b=3,c=3 3,B=30° ,

求 A、C 和 a.

[自主解答]

法一:由余弦定理

b2=a2+c2-2accos B, 得 32=a2+(3 3)2-2×3 3a×cos 30° , a2-9a+18=0,∴a=6 或 a=3. 当 a=6 时,由正弦定理,

1 6×2 asin B 得 sin A= b = 3 =1, ∴A=90° ,C=60° . 当 a=3 时,A=30° ,C=120° .

3 法二: 由 b<c, B=30° , b>csin 30° =2 3知, 本题有两解. csin B 3 3 1 3 sin C= b = 3 ×2= 2 , ∴C=60° 或 C=120° . 当 C=60° 时,A=90° , 由勾股定理 a= b2+c2= 32+?3 3?2=6; 当 C=120° 时,A=30° ,△ABC 为等腰三角形,∴a=3.

若将“c=3 3,B=30° ”改为“c=2 3,A=30° ”, 应如何求解此三角形?

解:直接运用余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A =32+(2 3)2-2×3×2 3×cos 30° =3, 从而 a= 3, a2+c2-b2 ? 3?2+?2 3?2-32 6 1 ∴cos B= 2ac = =12=2. 2× 3×2 3 ∴B=60° .∴C=180° -A-B=180° -30° -60° =90° .

[悟一法]

三角形中,已知两边及一角解三角形有以下两种情况:
(1)若已知角是其中一边的对角,有两种解法,一种方法 是利用正弦定理先求角,再求边;另一种方法是用余弦定理 列出关于第三边的一元二次方程求解. (2)若已知角是两边的夹角,则直接运用余弦定理求出另 外一边,然后根据边角关系利用正弦定理求解.

[通一类]
1.在△ABC中,边a,b的长是方程x2-5x+2=0的两个

根,C=60°,求边c.

解:由题意:a+b=5,ab=2. 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab =(a+b)2-3ab=52-3×2=19. ∴c= 19.

[研一题] [例 2] 在△ABC 中,已知 a=2 3 ,b= 6,c=

3+ 3,解三角形 ABC.

[自主解答]

法一:由余弦定理的推论得

b2+c2-a2 ? 6?2+?3+ 3?2-?2 3?2 2 cos A= 2bc = =2, 2× 6×?3+ 3? ∴A=45° . 同理可求 B=30° . 故 C=180° -A-B=180° -45° -30° =105° .

法二:由余弦定理的推论得 b2+c2-a2 ? 6?2+?3+ 3?2-?2 3?2 2 cos A= 2bc = =2, 2× 6×?3+ 3? ∴A=45° . a b 2 3 6 由正弦定理sin A=sin B知sin 45° =sin B,

得 sin B=

6· sin 45° 1 =2. 2 3

因 a>b 知 A>B,∴B=30° . 故 C=180° -A-B=180° -45° -30° =105° .

[悟一法]
已知三边解三角形的方法及注意事项:

(1)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值,值为正,
角为锐角;值为负,角为钝角,思路清晰,结果惟一.

(2)由余弦定理的推论求一个内角的余弦值,确定角 的大小;由正弦定理求第二个角的正弦值,结合“大边对 大角、大角对大边”法则确定角的大小,最后由三角形内 角和为180°确定第三个角的大小.

(3)若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性
质引入k,从而转化为已知三边求解.

[通一类] 2.在△ABC中,已知BC=7,AC=8,AB=9,试求 AC边上的中线长.

解:由余弦定理的推论得: AB2+AC2-BC2 92+82-72 2 cos A= = =3, 2· AB· AC 2×9×8 设中线长为 x,由余弦定理知: x
2

?AC?2 AC 2 ? ? = 2 +AB -2·2 · ABcos ? ?
2 2

A

2 =4 +9 -2×4×9×3=49 则 x=7. 所以,所求中线长为 7.

[研一题]

[例3]

在△ABC中,若(a-c· cos B)· sin B=(b-c· cos

A)· sin A,判断△ABC的形状.

[自主解答]

结合正弦定理及余弦定理知,原等式可

a2+c2-b2 b2+c2-a2 化为(a-c· 2ac )· b=(b-c· 2bc )· a, 整理得:(a2+b2-c2)b2=(a2+b2-c2)a2, ∴a2+b2-c2=0 或 a2=b2, 故三角形为等腰三角形或直角三角形.

[悟一法]

利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项:
(1)利用余弦定理(有时还要结合正弦定理)把已知条 件转化为边的关系,通过因式分解、配方等方法得出边的 相应关系,从而判断三角形的形状. (2)统一成边的关系后,注意等式两边不要轻易约分, 否则可能会出现漏解.

[通一类] 3.在△ABC中,acos(B+C)+bcos(A+C)=ccos(A+B),

试判断△ABC的形状.

解:∵A+B+C=π, ∴原式可化为 acos A+bcos B=c· cos C. b2+c2-a2 由余弦定理知 cos A= , 2bc a2+c2-b2 a2+b2-c2 cos B= ,cos C= . 2ac 2ab

b2+c2-a2 a2+c2-b2 故有 a· 2bc +b· 2ac a2+b2-c2 =c· 2ab 整理得(a2-b2)2=c4. ∴a2-b2=± c2 即 a2=b2+c2 或 b2=a2+c2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形.

在△ABC 中,已知 a=2,b=2 2,C=15° ,求 A. [错解] -2×2×2 由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C=4+8 6+ 2 2× 4 =8-4 3,所以 c= 6- 2.

asin C 1 又由正弦定理,得 sin A= c =2. 因为 0° <A<180° ,所以 A=30° 或 150° . [错因] 注意到已知条件中 b=2 2>a=2 这一隐含条

件, 可以得 B>A.所以 A=150° 是不可能的. 这一结果就是增 解,应当舍去.

[正解] =8-4

由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C 3,所以 c= 6- 2.又由正弦定理,

asin C 1 得 sin A= c =2,因为 b>a,所以 B>A. 又因为 0° <A<180° ,所以 A=30° .



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