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2016中考数学专题复习——数形结合思想


中考数学专题复习——数形结合思想
一、知识梳理 数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索,使抽象思维和形象思维相结合,通过 “以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化,抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思 维为形象思维,有助于把握数学问题的本质。另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而 解,且解法简捷,从而起到优化计算的目的。 华罗庚先生曾指出: “数与形本是相倚依,焉能分作两边飞;数缺形时少直觉,形少数时难入微; 数形结合百般好,隔裂分家万事休。 ”这充分说明了数形结合在数学学习中的重要性,是中考数学的 一个最重要数学思想。 二、典型例题 (一)在数与式中的应用 例 1、实数 a、b 在数轴上的位置如图所示,化简 a2 ? | a ? b |? _________。 (二)在方程、不等式中的应用 例 2、已知关于 x 的不等式组 ?
?x ? a ? 0 的整数解共有 2 个,则 a 的取值范围是____________。 ?2 ? x ? 0
y
3 2 1 O -1 -1

a

0

b

例 3、用图象法解某二元一次方程组时,在同一直角坐标系中作出相应 的两个一次函数的图象(如图所示) ,则所解的二元一次方程组是(
? x ? y ? 2 ? 0, A. ? ?3x ? 2 y ? 1 ? 0 ? 2 x ? y ? 1 ? 0, B. ? ?3x ? 2 y ? 1 ? 0



·P(1,1)
1 2 3

C. ?

? 2 x ? y ? 1 ? 0, ?3x ? 2 y ? 5 ? 0

D. ?

? x ? y ? 2 ? 0, ?2 x ? y ? 1 ? 0

x

(三)在锐角三角函数中的应用 1 例 4、画△ABC,使 cosA= ,AB=2cm,∠A 的对边可以在长为 1cm、 2 2cm、3cm 中任选,这样的三角形可以画_______个。 (四)在函数中的应用 例 5、如图为二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象,在下列说法中: ① ac ? 0 ;②方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的根为 x1 ? ?1 , x2 ? 3 ; ③ a ? b ? c ? 0 ;④当 x ? 1 时, y 随着 x 的增大而增大. 正确的说法有 . (请写出序号) (五)在概率统计中的应用 例 6、 某报社为了解读者对本社一种报纸四个 版面的喜欢情况,对读者作了一次问卷调查,要 求读者选出自己最喜欢的一个版面,将所得数据 整理后绘制成了如图所示的条形统计图: ⑴请写出从条形统计图中获得的一条信息;
-1 O

y

3

x

⑵请根据条形统计图中的数据补全扇形统计图,并说明这两幅统计图各有什么⑶请你根据上述数据, 对该报社提出一条合理的建议。
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例7

以x为自变量的二次函数y=-x2+2x+m,它的图象与 y 轴交于点 C(0,3) ,与 x 轴交

于点 A、B,点 A 在点 B 的左边,点 O 为坐标原点, (1)求这个二次函数的解析式及点 A,点 B 的坐标,画出二次函数的图象; (2)在 x 轴上是否存在点 Q,在位于 x 轴上方部分的抛物线上是否存在点 P,使得以 A,P,Q 三点 为顶点的三角形与△ AOC 相似(不包含全等)?若存在,请求出点 P,点 Q 的坐标;若不存在,请 说明理由.

三、综合训练 1、 “数轴上的点并不都表示有理数,如图中数轴上的点 A 所表示的数是 2 ” ,这种利用图形直观说 明问题的方式体现的数学思想方法叫( A.代入法 B.数形结合 ) D.分类讨论
-1 0 1A 2

C.换元法

2、某人从 A 地向 B 地打长途电话 6 分钟,按通话电话收费,3 分钟以内收费 2.4 元,此后每加 1 分 钟加收 1 元,则表示电话费 y(元)与通话时间(分)之间的关系的图象正确的是( )

3、若 M ? ? , y1 ? ,N ? ? , y2 ? ,P ? , y3 ? 三点都在函数 y ? (k ? 0) 的图象上,则 y1,y2,y3 的大小关系 2 2 4 为( ) A、y2>y3>y1 A、第一象限 B、y2>y1>y3 B、第二象限 C、y3>y1>y2 C、第三象限 D、y3>y2>y1 ) D、第四象限 4、关于 x 的一元二次方程 x2―x―n=0 没有实数根,则抛物线 y=x2―x―n 的顶点在(

? 1 ?

? ?

? 1 ?

? ?

?1 ?

? ?

k x

5、如图,在平面直角坐标系中,∠AOB =150°,OA=OB=2, 则点 A、B 的坐标分别是___________和___________。

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6、如图,已知函数 y ? x ? b 和 y ? ax ? 3 的图象交点为 P , 则不等式 x ? b ? ax ? 3 的解集为 .
O

y P 1

y=x+b

7、如图,为实数 a 、 b 在数轴上的位置, 化简
a2 ? b2 ? (a ? b)2 。

y=ax+3

x

思考题: 5、函数 y ? x2 ? x ? m ( m 为常数)的图象如图,如果 x ? a 时, y ? 0 ; 那么 x ? a ? 1 时,函数值( A. y ? 0 ) C. y ? m D. y ? m B. 0 ? y ? m

y

2、 如图 1 是一种带有黑白双色、 边长是 20cm 的 正方形装饰瓷砖,用这样的四块瓷砖可以拼成如图 2 的图案.已知制作图 1 这样的瓷砖,其黑、白两部分 所用材料的成本分别为 0.02 元/(cm2)和 0.01 元/(cm2), 那么制作这样一块瓷砖所用黑白材料的最低成本是 _________元(π 取 3.14,结果精确到 0.01 元) 中考链接
?x ? 8 ? 4x ?1 ? 1.(湖北中考)将不等式 ? 1 3 的解集在数轴上表示出来,正确的是( x ? 8? x ? 2 ?2

O x1

x2

x

图1

图2

2.(临沂中考)直线l1:y=k1x+b与直线l2:y=k2x在同一平面直 角坐标系中的图象如图所示,则关于 x 的不等式 k1x+b>k2x 的解为 ( ) A.x>-1 B.<-1 C.x<-2 D.x无法确定 3.(威海中考)下列四个点中,有三个点在同一条直线上,不在这条直 线上的是( A.(-3,-1) ) B.(1,1) C.(3,2) D.(4,3)

4.(赤峰中考)如下图所示,半径为1的圆和边长为3的正方形如下图所示,半径为1的圆和边长 为3的正方形在同一水平线上,圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形,设穿过时间为 t,正方形除 去圆部分的面积为 S(阴影部分) ,则 S 与 t 的大致图象为(
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5.(金华中考)如图在 24 个边长为1的小正三角形组成的网格中, 以格点 P 为 直角顶点作格点直角三角形(即顶点均在格点上的三角形) ,请你写出所有 可能的直角三角形斜边的长 .

6.在直角坐标系中, △ABC的三个顶点的位置如图 所示,现将△ABC 平移使点A移至图中的点A/的位置. (1)在直角坐标系中,画出平移后所得的△A/B/ / C (其中B/,C/分别是B,C的对应点). (2)计算:对应点的横坐标的差: xA/-xA= ,xB/-xB= , / xC -xC= ; 对应点的枞坐标的差:yA/-yA= ,yB/-y / B= ,Yc - yC= . (3)从(2)的计算中,你发现了什么规律?请你把 你发现的规律用文字表述出来. (4)根据上述规律,若将△ABC平移使得点A移至A""(2,-2),那么相应的点B"",C" " (其中B"",C""分别是B,C的对应点)的坐标分别是 , .

?3( x ? 1) ? 5 x ? 4 ? x ? 1 2 x ? 1 并将解集在数轴上表示出来. 7.(乐山中考)解不等式组 ? ? ? 3 ? 2

8.某公司推销一种产品,设 x(件)是推销产品的数量,y(元) 是推销费,如图表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案,看 图解答下列问题: (1)求 yl 与 y2 的函数解析式; (2)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的;
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(3)如果你是推销员,应如何选择付费方案.

9.(德州中考)某公司专销产品 A,第一批产品 A 上 市 40 天内全部售完.该公司对第一批产品 A 上市后的 市场销售情况进行了跟踪调查,调查结果如图所示,其 中图 1 中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关 系;图 2 中的折线表示的是每件产品 A 的销售利润与上 市时间的关系. (1)试写出第一批产品 A 的市场日销售量 y 与上市时间 t 的关系式; (2)第一批产品 A 上市后,哪一天这家公司市场日销售利润最大?最大利润是多少万元?

10.(贵阳中考)甲、乙两人骑自行车前往 A 地,他们距 A 地的路程 s(km) 与行驶时间 t(h)之间的关系如图所示,请根据图象所提供的信息解答 下列问题: (1)甲、乙两人的速度各是多少? (2)求出甲距 A 地的路程 s 与行驶时间 t 之间的函数关系式. (3)在什么时间段内乙比甲离 A 地更近?

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