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二项式系数的性质(1)



引入
(a+b)1
0 C1 C1 1

1 1 1 1 2 3 3

(a+b)2
(a+b)3

1 2 C0 C C 2 2 2
1 2 3 C0 C C C 3 3 3 3

1
1

(a+b)4
(a+b)5 (a+b)6

1 3 4 2 C0 C C C C 4 4 4 4 4
3 4 5 2 1 C0 C C C C 5 C5 5 5 5 5 1 2 3 4 5 6 C0 C C C C C C 6 6 6 6 6 6 6

1 1
1 Cnn

4

6

4

1

5 10 10 5 1
6 15 20 15 6 1

(a+b)n Cn0 Cn1 Cn2 … Cnr …

这个表叫做二项式系表, 也称“杨辉三角”

表中的每一 个数等于它肩 上的两数的和

杨 辉

《详解九章算法》中记载的表

总结提炼1
性质1:对称性
1 1

Cn ? Cn
m

n? m

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等

1
1 1 1 1 6 5 15 4 10 3

2
3 6 10 20

1 1 4 5 15 6 1 1 1

知识对接测查1 1、在(a+b)6展开式中,与倒数第三项二项式 系数相等是( B )
A 第2项 B 第3项 C 第4项 D 第5项

2、若(a+b)n的展开式中,第三项的二项式 系数与第五项的二项式系数相等,n=______ 6

知识探究2
(a+b)1 (a+b)2
C
0 2
0 1

C
1 2

1 1

1 1 1 2 1

C C C
C C
0 3 1 3

2 2

(a+b)3
(a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 (a+b)n

C

2 3

C

3 3

1
1 1 4

3 3
6 4

1
1 1 1

1 3 4 2 C0 C C C C 4 4 4 4 4
3 4 5 2 1 C0 C C C C C 5 5 5 5 5 5 1 2 3 4 5 6 C0 C C C C C C 6 6 6 6 6 6 6 1 n Cn0 Cn1 Cn2 … Cnr … Cn

5 10 10 5

6 15 20 15 6

当n为偶数时,中间一项最大 当n为奇数时,中间两项最大 如n=6,当r≤3时,C6r(r =0,1,2,3,)后一项比前一项要大 当r>3时, C6r(r =0,1,2,3,)后一项比前一项小

总结2 性质2:增减性与最大值 先增后减
n是偶数时,中间的一项(第 n n 项)的二项式系数 2 C ?1 n 2 取得最大值; 1 1 1 3 2 3 1 1 1

当n是奇数时,中间的两项(第 1 4 6 4 1 n ?1 n ?1 ? 1 项)的二项式 ? 1、 2 n ?1 2 n?1 系数 C n2 和 C 2 相等,且 1 5 10 10 5 1
n

同时取得最大值。

1

6 15 20 15

6

1

知识对接测查2
1.在(1+x)10的展开式中,二项式系数最大为
5 C10
5 11

在(1-x)11的展开式中,二项式系数最大为 C

C

6 11 .



2、指出(a+2b)15的展开式中哪些项的二项式系数最大, 并求出其最大的二项式系数
解: 第8、9项的二项式系数 即6435最大。

C 与C

7 15

8 15

最大。

3.在二项式(x-1)11的展开式中,求系数最小的项的系数。 最大的系数呢?

? C ? ?462

5 11

(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3
0 3

C
0 2

知识探究3
0 1

C
1 2

1 1

1 1 1 2 3 3 4 6 4 1 1 1 1 1

C C C
C C
1 3

2 2

C

2 3

C
3 4

3 3

1
4 4

(a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
(a+b)n

C

0 4

C

1 4

C

2 4

C C

1 1

3 4 5 2 1 C0 C C C C C 5 5 5 5 5 5 1 2 3 4 5 6 1 C0 C C C C C C 6 6 6 6 6 6 6 n Cn0 Cn1 Cn2 … Cnr … Cn

5 10 10 5 6 15 20 15 6

n=1,C10+C11=2
n=3,C30+C31+C32+C33=8

n=2,C20+C21+C22=4
… n=6,C 0+C 1+C 2+ … +C 6=64 6 6 6 6 2n

结论: Cn0+Cn1+Cn2+ … Cnr+ … +Cnn=

例1.证明(a+b)n的展开式中的所有二项式系数的和等 于2n.
0 2 r n n 2 即证 Cn ? C1 ? C ? ... ? C ? ... ? C ? n n n n

证明:

(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+ Cnran-rbr+ …+Cnnbn 令a=1,b=1得
0 n 1 n 2 n r n n n

…+

n 2 C ? C ? C ? ... ? C ? ... ? C ?

赋值法

例2、证明:在(a+b)n展开式中,奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数的和.
0 2 1 3 即证: Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ? ? ? ? =2n-1

证明(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+ + Cnran-rbr+…+Cnnbn
令a=1,b=-1得
0 n 1 n 2 n 0 n r n n n n 2



C ? C ? C ...? (?1)C ? ...? (?1) C ? (1 ? 1) ? 0 2 1 3 C ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ? ? ? ? 赋值法 n
2 n ?1 C ? C ? ??? ? C ? C ? ??? ? ? 2 2
0 n 2 n 1 n 3 n

例3. 在二项式 (2 x ? 3 y) 展开式中,求:
9

(1)二项式系数之和;
(2)各项系数之和;

(3)所有偶数项系数之和;
(4)所有项系数绝对值的和.

知识对接测查3

?1 1.C ? C ? ? ? C ?2_____;
1 n 2 n n n

n

C ?C ?C ?C ?C ?C
1 11 3 11 5 11 7 11 9 11

11 11

?2 _____ .
3

10

2.设 2x ? 3
2

?

?

3

? a 0 ? a1x ? a 2 x ? a 3 x .
2

2

求 : ?a 0 ? a 2 ? ? ?a1 ? a 3 ? 的值. ? 1
3. 求证: C ? 2C ? 3C ? ... ? ?n ? 1?C ? ?n ? 2 ? ? 2
0 n 1 n 2 n n n n ?1

[点拔]:倒序相加法.





1)主要学习了二项式定理的探求及其 简单的应用。 2)思想方法:特殊到一般的方法

3)学会对问题进行探究

备用习题
4. 已知(1 ? 2 x) 7 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a7 x 7 则a1 ? a2 ? ? ? a7 ? a1 ? a3 ? a5 ? a7 ?
n

-2

-1094 a0 ? a2 ? a4 ? a6 ? 1093
? ? 1 x ? 4 3 ? 的展开式中只有第10项系数最大,求 5、已知 ? ? ? x ? ?
第五项。

n 为偶数,且 解:依题意,
?T5 ? T4?1 ?
4 C18

n ? 1 ? 10,? n ? 18, 2
18 ? 4 ?

? x?

?4 ? ?

1 ? ? ? 3060x 4 . x3 ? ?

4

变式:若将“只有第10项”改为“第10项”呢?

5、已知二项式 ( a + b )15

(1)求二项展开式中的中间项;
(2)比较T3, T7 , T12 , T13各项系数的大小,并说明理由。

T8 解:(1) 中间项有两项:

? C a b ? 6435a b
7 15 8 7

8 7

8 7 8 T9 ? C15 a b ? 6435a 7 b 8

(2)T3, T7 , T12 , T13 的系数分别为:

C ,C ,C ,C ?C
4 ? C15 ,C 3 15 2 15

2 15 11 15

6 15

11 15

12 15 12 15 4 15

3 ? C15 6 15

又?C ? C ? C ? C

2 12 11 6 ? C15 ? C15 ? C15 ? C15

6、已知a,b∈N,m,n ∈Z ,且2m + n = 0,如果二 项式( ax m + bx n )12 的展开式中系数最大的项恰好是 常数项,求 a : b 的取值范围。
解:

Tr ?1 ? C (ax )
r 12

m 12? r

(bx ) ? C a
n r

r 12? r 12

b x

r

m (12? r )? nr

令m (12 – r )+ nr = 0,将 n =﹣2m 代入,解得 r = 4

故T5 为常数项,且系数最大。 ?T5的系数 ? T4的系数 ?? ?T5的系数 ? T6的系数
4 8 4 3 9 3 ?C12 a b ? C12 a b 即? 4 8 4 5 7 5 C a b ? C ? 12 12 a b 8 a 9 解得 ? ? 5 b 4



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