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直线的参数方程(最新)



直线的参数方程

请同学们回忆:
我们学过的直线的普通方程都有哪些? y ? kx ? b y ? y ? k ( x ? x ) 点斜式: 0 0
y ? y1 x ? x1 ? 两点式: y2 ? y1 x2 ? x1

x y ? ?1 a b

一般式: Ax ? By ? C ? 0

/>法线式: Ax ? By ? C ? 0 (直线l的法向量(A,B))

y2 ? y1 k? x2 ? x1

? tan ?

问题:已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 ),倾斜角?,

( x ? x0 ) ? 数,t才是参cos y ? y0 x ? x0 进一步整理,得: ? 数 sin ? cos ? y ? y0 x ? x0 ? ?t 令该比例式的比值为t ,即 sin ? cos ? ?x=x0 ? t cos ? 整理,得到 ? (t是参数) ? y ? y0 ? t sin ?

要注意:? y ? y0 ? tan ? ( x ? x0 ) 解: 直线的普通方程为 x0, y0 都是常 sin ?
把它变成y ? y0 ?

求这条直线的方程.

求这条直线的方程. 解:? 在直线上任取一点M(x,y),则 ?????? (x, y) ? ( x0 ? y0 ) ? ( x ? x0 , y ? y0 ) M? 0M ? y 设 ? e是直线l的单位方向向量,则 M(x,y) e ? (cos ? ?????? ?,sin ? ?) 因为M 0 M // e, 所以存在实数t ? R, ?????? ? ? M0(x0,y0) 使M 0 M ? te,即 ? ( x ? x0 , y ? y0 ) ? t (cos ? ,sin ? ) e x ? x0 ? t cos ? , y ? y0 ? t sin ? 所以 即,x ? x0 ? t cos ? , y ? y0 ? t sin ? ? (cos ? ,sin ? ) 所以,该直线的参数方程的标准形式为 O
? x ? x0 ? t cos ? (t为参数) ? ? y ? y0 ? t sin ?

问题:已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 ),倾斜角?,

x

思考?????? ?

? 由M 0 M ? te, 你能得到直线l的参数方程中 参数t的几何意义吗? ?????? ?
y M M0

? ?????? ? ? 解: ? M 0 M ? te ? M 0 M ? te ? ? 又 ? e是单位向量, ? e ?1 ?????? ? ? ? M 0M ? t e ? t

所以,直线参数方程中 参数t的绝对值等于直 线上动点M到定点M0的 距离. |t|=|M0M|

? e
O
x

?????? ? ??? 我们是否可以根据t的值来确定向量

我们知道e是直线l的单位方向向量,那 么它的方向应该是向上还是向下的?还

的方向呢??

这就是t的几何意 义,要牢记

M0M

是有时向上有时向下呢? 此时,若t>0,则 分析: ?? 是直线的倾斜角, ?当0<? <? 时,?sin? >0 ?????? ? ? 的方向向上 ? ; M0 M 又 sin ? 表示e的纵坐标, ? e的纵坐标都大于0 若 t<0, 则 t? ?M M ?????? ? ? 0 ? 那么e的终点就会都在第一,二象限, ? e的方向 M0 M 的方向向下; 就总会向上。 若t=0,则M与点 M0重合.

辨析:

? x ? 1 ? 9t (t为参数) ? ? y ? 1 ? 12t
没有

请思考:此时 的t有没有前 述的几何意义?

特征分析:
若把直线的参数方程的标准形式 ? x ? x0 ? t cos ? (t为参数,? ?[0,?)) ? ? y ? y0 ? t sin ? ? x ? x0 ? at 改写为: (t为参数) ? ? y ? y0 ? bt
当a、b满足什么条件, 可使t有上述的几何意义?

重要结论:
直线的参数方程可以写成这样的形式:

? x ? x0 ? at (t为参数) ? ? y ? y0 ? bt
当a ?b ? 1且b ? 0时,t = M 0 M
2 2

此时我们可以认为a ? cos ? , b ? sin ? ; 若? ?[0,?),则? 为倾斜角。

? x ? x0 ? at (t为参数) ? ? y ? y0 ? bt
当a ?b ? 1时,t没有上述的几何意义,
2 2

我们称起为非标准形式。
如何将其化为 标准形式?
a ? 2 2 x ? x ? ( a ? b t ) 0 ? a 2 ? b2 ? (t为参数) ? b 2 2 ?y ? y ? ( a ? b t) 0 2 2 ? a ?b ?

a ? 2 2 x ? x ? ( a ? b t) 0 ? 2 2 a ?b ? (t为参数) ? b 2 2 ?y ? y ? ( a ? b t) 0 2 2 ? a ? b ?
设: a a 2 ? b2 = cos ? ; b a 2 ? b2 ? sin ? ; a 2 ? b2 t ? t ?, 则

? x ? x0 ? t ? cos ? (t为参数) ? ? y ? y0 ? t ? sin ?

当b ? 0时,t ?有上述的几何意义。

基础训练
0 ? x ? 2 ? t sin 20 ? 1 直线 ? (t 为参数 ), 经过定点 0 ? ? y ? ?1 ? t cos 20

(2, - 1) ,

倾斜角为

110°


1 ? x? 3? t ? 2 ? 2 直线 ? (t 为参数 )方程中, t 的几何意义是 ? y ? ?1 ? 3 t ? ? 2
( A) 一条有向线段的长度

B



( B) 定点 P0( 3 ,? 1)到直线上动点 P(x, y)的有向线段的数量 ( C) 动点 P(x, y) 到定点 P0( 3 ,? 1)的线段的长 ( D) 直线上动点 P(x, y) 到定点 P0( 3 ,? 1)的有向线段的数量

基础训练

? x ? 3 ? 4t 3 已知直线 ? (t 为参数),下列命题中错误 的是 ( D ) .. ? y ? ?4 ? 3t
(A) (B) (C) (D) 直线过点( 7,? 1) 直线的斜率为 3/4 直线不过第二象限 | t |是定点 M0(3,?4)到该直线上对应点 M 的距离

4:将下列直线的参数方程化为标准形式

? x ? 1 ? 9t (1) (t为参数) ? ? y ? 1 ? 12t
(2)

? x ? 1 ? 9t (t为参数) ? ? y ? 1-12t
倾斜角

? x ? 1-9t (t为参数) (3) ? ? y ? 1-12t

5:将下列直线的倾斜角
(1) (2)

? ? x ? 3 ? t cos 20 ( t 为参数) ? o ? ? y ? 2+t sin 20 o ? ? x ? 3-t cos 20 (t为参数) ? o ? ? y ? 2+t sin 20
o

(3)

(4)

? ? x ? 3 ? t cos 20 ( t 为参数) ? o ? ? y ? 2 ? t sin 20 o ? ? x ? 3 ? t sin 20 ( t 为参数) ? o ? ? y ? 2 ? t cos 20
o

直线参数方程的应用
标准形式
? x ? x0 ? t cos ? ? ? y ? y0 ? t sin ?

(t 为参数)

表示过定点(x0,y0) ,倾斜角 为?的直线的参数方程
则 t 的几何意义:t=M0M t>0 t=0 t<0
?

设 M0(x0,y0) ,直线上动点 M(x,y)

M 在 M0 的上方 M 与 M0 重合 M 在 M0 的下方

非标准形式
? x ? x0 ? at ? ? y ? y0 ? bt
b 为 a

一般说来,t 不具有上述 几何意义

(t 为参数)

表示过定点(x0,y0) ,斜率 的直线的参数方程

例1

已知直线 L 过点 M0(?4,0) ,倾为

?
6

(1)求直线 L 的参数方程 (2)若 L 上一点 M 满足?M0M?=2,求 M 的坐标 (3)若 L 与直线 y=x + 4 3 交与点 M,求?M0M?
解 (1)直线 L 的参数方程是
? 3 x ? ? 4 ? t ? ? 2 (t ? ?y ? 1 t ? ? 2

为参数)
?2

(2) ∵?M0M?=2 当 t=2 时 当 t= ?2 时 ∴M( ?4 ?

∴?t?=2

t=

? ? x ? ?4 ? 3 ? ? ?y ?1 ? ? x ? ?4 ? 3 ? ? ? y ? ?1

M( ?4 ? M( ?4 ? M( ?4 ?

3 ,1) 3 ,?1)

3 ,1)或

3 ,?1)

例1

已知直线 L 过点 M0 (?4, 0) , 倾斜角为

?
6

(3)若 L 与直线 y=x + 4 3 交与点 M, 求? M0M?
(3)解一
? 3 ( x ? 4) ?y ? 由? 3 ?y ? x ? 4 3 ?

得交点 M(?4(

3 +1),?4)

?| M M |? ( ?4 3 ? 4 ? 4) 2 ? ( ?4 ? 0) 2 ? 8 0

解二

将( 1 )代入 y=x+4

3 得:

1 3 1 3 t ? ?4 ? t?4 3 ( ? )t ? 4 3 ? 4 2 2 2 2 ? t ? ?8 ?| M 0 M |?| t |? 8

例2.已知直线l : x ? y ? 1 ? 0与抛物线y ? x 交于
2

A,B两点,求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解; 2.分别如何解. 3.点M是否在直线上 A
y

M(-1,2)

O

B

x

例2.已知直线l : x ? y ? 1 ? 0与抛物线y ? x 交于
2

A,B两点,求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。
解:因为把点M的坐标代入直线方 程后,符合直线方程,所以点M A 在直线上. 3? 易知直线的倾斜角为 4 所以直线的参数方程可以写成 3? ? x=-1+tcos ? ? 4 (t为参数) ? ? y ? 2 ? t sin 3? ? ? 4
y

M(-1,2)

O

B

x

? 2 t ? x ? ?1 ? ? 2 即? (t为参数) A ?y ? 2? 2 t ? ? 22 把它代入抛物线y=x 的方程,得

y

M(-1,2)

t ? 2t ? 2 ? 0
2

O

B

x

由参数t的几何意义得

? 2 ? 10 ? 2 ? 10 解得t1 ? ,t2 ? 2 2

AB ? t1 ? t2 ? 10
MA ? MB ? t1 ? t2 ? t1t2 ? 2

探究
直线与曲线y ? f ( x)交于M 1 , M 2两点,对应的参数 分别为t1 , t2 . (1)曲线的弦M 1M 2的长是多少? (2)线段M 1M 2的中点M 对应的参数t的值是多少?

(1) M 1M 2 ? t1 ? t2 t1 ? t2 (2)t ? 2

?x=x0 ? t cos ? 1.直线 ? (t为参数)上有参数分别 ? y ? y0 ? t sin a 为t1和t2对应的两点A和B,则A,B两点的距离为

A.t1 ? t2 B. t1 ? t2 C. t1 ? t2 D. t1 ? t2

练习

? x ? a ? t cos ? 1 。在参数方程 ? (t为参数)所表示 ? y ? b ? t sin ? 的曲线上有B,C两点,它们对应的参数值分别为 t2、t2 , 则线段BC的中点M对应的参数值是(



t1 ? t2 A. 2

t1 ? t2 B. 2

|t1 ? t2 | C. 2

| t1 ? t2 | D. 2

2.求直线l : 4 x ? y ? 4 ? 0与l1:x ? 2 y ? 2 ? 0及直线 l2: 4 x ? 3 y ? 12 ? 0所得两交点间的距离。

9 17 14

3.动点M作匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的 分速度分别是3m/s和4m/s,直角坐标系的长 度单位是1cm,点M的起始位置在点M0(2,1)处, 求点M的轨迹的参数方程.

3 ? x=2+ t ? x ? 3t ? 2 ? ? 5 ( t 为参数) ? ( t 为参数) ? ? y ? 4t ? 1 ? y ? 1? 4 t ? 5 ?

? x ? t cos ? ? x ? 4 ? 2cos ? 4.直线 ? (t为参数)与圆 ? ? y ? t sin a ? y ? 2sin ? (?为参数)相切,则直线倾斜角? 为( )

? 5? 5? ? 3? ? 2? D. ? 或 ? A. 或 C. 或 B. 或 6 6 6 6 3 3 4 4

?

? x ? 4 ? at 2 2 5.如直线 ? (t为参数)与曲线x ? y ? 4 x ? y ? bt ? 2? ?1 ? 0相切,则这条直线的倾斜角等于 或
3 3

直线参数方程的应用(标准形式) 1) 求一端点是M0(x0,y0)的线段长

2)

求弦长 长 的和与积

3) 求一端点是M0(x0,y0)的两线段

练习与作业
? 2 x ? 2 ? t ? ? 2 ? 1. 直线 (t 为参数)上到点 M(2,?3)距离为 2 且 2 ? y ? ?3 ? t ? ? 2

在点 M 下方的点的坐标是____________
? ?x ? 2 ? t 2.直线 ? (t 为参数)被双曲线 x2?y2=1 截得的弦长为( ? ?y ? 3 t

(3,? 4)

B )

(A)

10

(B)

2 10

(C)

10 2

(D)
? 3 5

10 3

3.过点 P(5,?3) ,且倾斜角?满足 cos?=

的直线与

9 圆 x2+y2=25 交于 P1, P2 两点,则| 44 PP1| 33 ? | PP2| =_______________ ,
弦 P1P2 中点 M 的坐标是________________ 25 25

(

,

)

4.设抛物线 y2=4x 的焦点弦被焦点分为长度分别是 m 和 n 的两 部分,则 m 与 n 的关系是 (A)m+n=4 (B) mn=4 (C) m+n=mn ( )

(D) m+n=2mn

5.从抛物线 y2=2px(p>0)外一点 A(?2,?4)引倾斜角为 45°的割线 与抛物线交于点 M1,M2,若 |AM1|、|M1M2|、|AM2|成等比数列, 求抛物线方程。 6.过椭圆 x2+4y2=4 的右焦点作一直线 L 交椭圆于 M,N 两点,且 |MN| =
3 2

,求直线 L 的方程。

7.过点 P(1,?2)作直线 L 交椭圆 x2+2y2=8 于 M,N 两点 , 且 | PA| ? | PB| = ,求此直线的倾斜角。
2 3



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