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黑龙江省哈尔滨市第六中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试题



哈尔滨市第六中学 2014-2015 学年度下学期期中考试 高二理科数学试卷
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 在极坐标系中,圆 ? ? 2 被直线 ? sin ? ? 1 截得的弦长为( A. 3 B. 2 C. 2 3 D. 3 ) )

2 n 2.若二项式 ( x ? ) 的展开式中的二项式系数和为 64,则展开式中的常数项为(

2 x

A. ?240

B. ?160

C.160

D.240 )

3.记 an an?1 ?a1a0( k ) 表示一个 k 进制数,若 21( k ) ? 9(10) ,则 321( k ) 在十进制中所表示的数为( A. 86 B. 57 C. 34 D. 17

2 4. 设随机变量 ? 服从于正态分布 N ? , ?

?

?

,函数 f ? x ? ? x ? 4x ? ? 没有零点的概率是
2

1 ,则 ? 等于( 2



A. 1

B.2

C.4 D.不能确定 5.某车间为了规定工时定额,需确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验,收集数据如下: 加工零件数 x (万个) 加工时间 y (小时)
?

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70 )A. 65.5 小时 B. 72.0

根据上表可得线性回归方程 y ? bx ? a 中的 b ? 6.5 ,据此模型估计加工零件 10 万个所需要的时间为( 小时 C. 82.5 小时 D.83.0 小时 )

6.设曲线 y ? ax ? ln( x ? 1) 在点 (0, 0) 处的切线方程为 y ? 2 x ,则 a ? ( A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

7. 在如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2) , (2,2,0) , (1,2,1) , (2,2,2) ,给出编号①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( )

x

. 1. 1 . .. y 2 2.O 1
2 B.③和①

z









A.①和②

C.③和④

D.④和②

8.新学期开始,哈六中接受 6 名师大学生到校实习,学校要把他们分到三个年级,每个年级 2 名,其中甲必须在高一年级,乙和丙均不能在高 三年级,则不同的安排方法种数为( ) A.18 B. 15 C.12 D.9 9.执行右图程序框图,如果输入的 x , t 均为 2,则输出的 S = ( A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 )

10.已知四面体 ABCD 中, AB ? AD ? 6, AC ? 4, CD ? 2 13, AB ? 平面 ACD ,则四面体 ABCD 外接球的表面积为(


1

A. 36? 11.已知椭圆 C1 :

B. 88?

C. 92?

D. 128?

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2


与圆 C2 :x2 ? y 2 ? b2 , 若在椭圆 C1 上存在点 P , 使得由点 P 所做的圆 C2 的两条切线相互垂直,

则椭圆 C1 的离心率的取值范围是(

? 2 3? A. ? , ? ? 2 2 ?

?1 B. ? ?2

? ,1 ? ?

? 3 ? C. ? ,1 ? ? ? 2 ?

? 2 ? D. ? ,1 ? ? ? 2 ?

12.已知函数 y ? f ? x ? 对于任意的 x ? ? ? 个结论: ?1? 2 f ?

? ? ?? ,给出下列 4 , ? ,满足 f ? ? x ? cos x ? f ? x ? sin x ? 0 (其中 f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导函数) ? 2 2?

?? ? ?? ? ?? ? ? ? f ? ? ; ? 2? f ? 0? ? 2 f ? ? ; ?3? ?4? ?3?


? 3? f ? 0 ? ?
A.1

?? ? ? ?? ? ?? 2 f ? ? ; ? 4 ? 2 f ? ? ? ? f ? ? ? 则正确结论的个数是( ?4? ? 3? ? 4 ?,
B.2 C.3 D.4

第Ⅱ卷 (非选择题 满分 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在答题卡相应位置上) 13.已知双曲线

x2 y2 1 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线方程为 y ? ? x ,则双曲线的离心率为 2 2 a b

14.由于当前学生课业负担重,造成青少年视力普遍下降,现从某高中随机抽取 16 名学生,经校医用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎 叶图(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶)如下:

请指出这组数据的中位数为 15.已知命题 p : x ? k ,命题 q :
2

3 ? 1 ;如果 p 是 q 的充分不必要条件,则 k 的取值范围是________ x ?1

16.已知抛物线 y ? 4 x 过点 P(4, 0) 的直线与抛物线相交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点,则 y12 ? y2 2 的最小值为___________ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 已知过点 A(1,0) 的直线 l 与曲线 C : ? (1)求直线 PQ 的参数方程 (2)求 | AP | ? | AQ | 的最小值.

? x ? 2 ? 2 cos? ( ? 是参数)交于 P, Q 两点 ? y ? 1 ? 2 sin ?

18. (本小题满分 12 分) 某品牌专卖店准备在五一期间举行促销活动,根据市场调查,该店决定从 4 种不同品牌的洗衣机,2 种不同品牌的电视机和 3 种不同品牌的空 调中,选出 4 种不同品牌的商品进行促销,该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高 200 元,同 时,若顾客购买任何一种品牌的商品,则允许有 3 次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得 m(m ? 0) 元奖金.假设顾客每次抽奖时获奖的 概率都是

2 3

(1)求选出的 4 种不同品牌商品中,洗衣机、电视机、空调都至少有一种且至多有两种品牌的概率; (2)设顾客在 3 次抽奖中所获得的奖金总额(单位:元)为随机变量 X .请写出 X 的分布列和数学期望; (3)在(2)的条件下,问该店若想采用此促销方案获利,则每次中奖奖金要低于多少元? 19. (本小题满分 12 分) 现有一盒子中装有形状、大小完全相同的五张卡片,分别标有数字 1, 2,3, 4,5 .现每次从中任意抽取一张,取出后不再放回.

2

(1)若抽取三次,求前两张卡片所标数字之和为偶数的条件下,第三张卡片为奇数的概率; (2)若不断抽取,直至取出所有标有偶数的卡片为止,设抽取次数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 .

20. (本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , 中点 O 为球心、 AC 为直径的球面交 PD 于点 M (1)求证:平面 ABM ⊥平面 PCD ; (2)求直线 PC 与平面 ABM 所成的角的正弦值; 21. (本小题满分 12 分) (1)已知函数 f ( x) ? axekx ? 1, g ( x) ? ln x ? kx . 当 a ? 1 时, 若 f ( x ) 在 (1, ??) 上 为 减 函 数 ,

PA ? AD ? 4 ,AB ? 2 . 以 AC 的

g ( x) 在 (0,1) 上为增函数,求实数 k 的值
(2)已知函数 f ( x) ? x ?

a ? 2 ln x , a ? R ,讨论函数 f ( x) 的单调区间 x

22. (本小题满分 12 分) 已知动圆 P 与圆 F 1 : ( x ? 2) ? y ? (2 7 ? 3)
2 2 2

相内切, 且与圆 F2 : ( x ? 2)2 ? y2 ? 9 相内切, 记圆心 P 的轨迹为曲线 C ; 设 M 为曲线 C 上

的一个不在 x 轴上的动点, O 为坐标原点,过点 F2 作 OM 的平行线交曲线 C 于 A, B 两个不同的点 (1)求曲线 C 的方程(2)是否存在常数 ? ,使得

AB OM
2

? ? ,若能,求出这个常数 ? .若不能,说明理由(3)记 ?MF2 A 面积为 S1 ,

?OF2 B 面积为 S2 ,令 S ? S1 ? S2 ,求 S 的最大值

3

4



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