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浙江省嘉兴一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷



2014-2015 学年浙江省嘉兴一中高一(上)期中数学试卷
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. (3 分)设集合 A={x|1<x<4},集合 B={x|x ﹣2x﹣3≤0},则 A∩(?RB)=() A.(1,4) B.(3,4) C.(1,3) D.(1,2)∪(3,4)

2. (3 分)下列各组函数中,表示同一函数的是() A.f(x)=x﹣1,g(x)= C. f(x)=x,g(x)= ﹣1 B. f(x)=|x|,g(x)=( D.f(x)=2x,g(x)= )
2 2

3. (3 分)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是() A.y=﹣x ,x∈R
3

B.y=sinx,x∈R

C.y=x,x∈R

D.

4. (3 分)若 A.a>b>c B.a>c>b

,则 a,b,c 大小关系为() C.c>b>a D.b>a>c

5. (3 分)已知函数 A.0 B. 1 C . ﹣2

,则 f(﹣2)=() D.﹣1

6. (3 分)如图所示,阴影部分的面积 S 是 h 的函数(0≤h≤H) .则该函数的图象是()

A.

B.

C.

D.

7. (3 分)某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额: (1)如果不超过 200 元,则不给予优惠; (2)如果超过 200 元但不超过 500 元,则按标价给予 9 折优惠; (3)如果超过 500 元,其 500 元内的按第(2)条给予优惠,超过 500 元的部分给予 7 折优 惠. 某人两次去购物,分别付款 168 元和 423 元,假设他一次性购买上述两次同样的商品,则应 付款是() A.413.7 元 B.513.7 元 C.546.6 元 D.548.7 元 8. (3 分)已知函数 f(x)=ax ﹣x+a+1 在(﹣∞,2)上单调递减,则 a 的取值范围是() A.(0, ] B.[0, ] C.[2,+∞)
2 3 2

D.[0,4]

9. (3 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)=(x ﹣5x+6)?g(x)+x +x﹣25,其中函数 y=g(x) 的图象是一条连续曲线,则方程 f(x)=0 在下面哪个范围内必有实数根() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 10. (3 分)设函数 ,集合 M={x|f(x)=0}={x1,x2,…,x7}?N ,设 c1≥c2≥c3≥c4,则 c1﹣c4=() A.11 B.13 C. 7 D.9
*

二.填空题(本大题共 7 小题,每小题 3 分,满分 21 分) 11. (3 分)函数 的定义域为.

12. (3 分)当 a>0 且 a≠1 时,函数 f(x)=a

x﹣2

﹣3 必过定点.

13. (3 分)已知函数 f(x)是偶函数,当 x>0 时,f(x)=﹣(x﹣1) +1,则当 x<0 时,f (x)=. 14. (3 分)函数 f(x)=log (5+4x﹣x )的单调递增区间.
2

2

15. (3 分)已知函数 f(x)= 是.

则满足等式 f(1﹣x )=f(2x)的实数 x 的集合

2

16. (3 分)函数 y=lg(3﹣4x+x )的定义域为 M,当 x∈M 时,关于 x 方程 4x﹣2 有两不等实数根,则 b 的取值范围为.

2

x+1

=b(b∈R)

17. (3 分)已知函数 y=f(x)和 y=g(x)在[﹣2,2]上的图象如图所示:给出下列四个命题:

①方程 f[g(x)]=0 有且仅有 6 个根; ②方程 g[f(x)]=0 有且仅有 3 个根; ③方程 f[f(x)]=0 有且仅有 7 个根; ④方程 g[g(x)]=0 有且仅有 4 个根. 其中正确命题的序号为.

三.解答题(本大题共 5 小题,满分 49 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18. (8 分)求值: (1) (2) .

19. (8 分)已知集合 M={x|x ﹣3x≤10},N={x|a+1≤x≤2a+1}. (1)若 a=2,求 M∩(CRN) ; (2)若 M∪N=M,求实数 a 的取值范围.

2

20. (9 分)已知函数 (1)若 m=1,求函数 f(x)的定义域. (2)若函数 f(x)的值域为 R,求实数 m 的取值范围. (3)若函数 f(x)在区间 上是增函数,求实数 m 的取值范围.

21. (12 分)已知函数 f(x)=

,函数 f(x)为奇函数.

(1)求实数 a 的值; (2)判断 f(x)的单调性,并用定义证明; (3)若解不等式 f(3m ﹣m+1)+f(2m﹣3)<0. 22. (12 分)已知函数 (1)若 a=6,写出函数 f(x)的单调区间,并指出单调性; (2)若函数 f(x)在[1,a]上单调,且存在 x0∈[1,a]使 f(x0)>﹣2 成立,求 a 的取值范围; (3)当 a∈(1,6)时,求函数 f(x)的最大值的表达式 M(a) . .
2

2014-2015 学年浙江省嘉兴一中高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 2 1. (3 分)设集合 A={x|1<x<4},集合 B={x|x ﹣2x﹣3≤0},则 A∩(?RB)=() A.(1,4) B.(3,4) C.(1,3) D.(1,2)∪(3,4) 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 由题意,可先解一元二次不等式,化简集合 B,再求出 B 的补集,再由交的运算规 则解出 A∩(?RB)即可得出正确选项 2 解答: 解:由题意 B={x|x ﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3},故?RB={x|x<﹣1 或 x>3}, 又集合 A={x|1<x<4}, ∴A∩(?RB)=(3,4) 故选 B 点评: 本题考查交、并、补的混合运算,属于集合中的基本计算题,熟练掌握运算规则是 解解题的关键 2. (3 分)下列各组函数中,表示同一函数的是()

A.f(x)=x﹣1,g(x)= C. f(x)=x,g(x)=

﹣1

B. f(x)=|x|,g(x)=( D.f(x)=2x,g(x)=



2

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分别判断函数 f(x)和 g(x)的定义域和对应法则是否相同即可. 解答: 解:A.g(x)= 同一函数. B.g(x)=( C.g(x)= D.g(x)= ) =x, (x≥0) ,函数 f(x)和 g(x)的定义域不相同,不是同一函数. =x,函数 f(x)和 g(x)的定义域和对应法则相同,是同一函数. =2|x|,函数 f(x)和 g(x)的对应法则不相同,不是同一函数.
2

﹣1=x﹣1, (x≠0) ,函数 f(x)和 g(x)的定义域不相同,不是

故选:C. 点评: 本题主要考查判断两个函数是否为同一函数,判断的依据是判断两个函数的定义域 和对应法则是否相同即可. 3. (3 分)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是() A.y=﹣x ,x∈R
3

B.y=sinx,x∈R

C.y=x,x∈R

D.

考点: 函数的图象与图象变化;奇函数. 分析: 根据基本函数的性质逐一对各个答案进行分析. 解答: 解: A 在其定义域内既是奇函数又是减函数; B 在其定义域内是奇函数但不是减函数; C 在其定义域内既是奇函数又是增函数; D 在其定义域内是非奇非偶函数,是减函数; 故选 A. 点评: 处理这种题目的关键是熟练掌握各种基本函数的图象和性质,其处理的方法是逐一 分析各个函数,排除掉错误的答案.

4. (3 分)若 A.a>b>c B.a>c>b

,则 a,b,c 大小关系为() C.c>b>a D.b>a>c

考点: 对数值大小的比较. 专题: 阅读型. 分析: 由指数函数和对数函数的性质可以判断 a、b、c 和 0、1 的大小,从而可以判断 a、b、 c 的大小

解答: 解:由对数函数的性质可知:

<0,

由指数函数的性质可知:0<a<1,b>1 ∴b>a>c 故选 D 点评: 本题考查利用插值法比较大小,熟练掌握指数函数和对数函数的图象和取值的特点 是解决本题的关键.

5. (3 分)已知函数 A.0 B. 1 C . ﹣2

,则 f(﹣2)=() D.﹣1

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据分段函数解析式,求出 f(﹣2)的值. 解答: 解:∵函数 ,

∴当 x=﹣2 时,f(﹣2)=f(﹣2+2)=f(0)=0+1=1; 故选:B. 点评: 本题考查了应用分段函数的解析式求函数值的问题,是基础题. 6. (3 分)如图所示,阴影部分的面积 S 是 h 的函数(0≤h≤H) .则该函数的图象是()

A.

B.

C. 考点: 函数的图象. 专题: 数形结合.

D.

分析: 由图得阴影部分的面积 S 随着 h 的增大变化率却减小,故函数图象应是下降的,由 于面积大于零故图象应在 x 轴上方. 解答: 解:由题意知,阴影部分的面积 S 随 h 的增大,S 减小的越来越慢,即切线斜率越来 越小,故排除 A,由于面积越来越小,再排除 B、C; 故选 D. 点评: 本题考查了通过图象找出函数中变量之间的变化规律,再根据此规律画出函数的大 致图象,考查了学生读图能力. 7. (3 分)某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额: (1)如果不超过 200 元,则不给予优惠; (2)如果超过 200 元但不超过 500 元,则按标价给予 9 折优惠; (3)如果超过 500 元,其 500 元内的按第(2)条给予优惠,超过 500 元的部分给予 7 折优 惠. 某人两次去购物,分别付款 168 元和 423 元,假设他一次性购买上述两次同样的商品,则应 付款是() A.413.7 元 B.513.7 元 C.546.6 元 D.548.7 元 考点: 根据实际问题选择函数类型. 专题: 应用题. 分析: 两次去购物分别付款 168 元与 423 元,而 423 元是优惠后的付款价格,实际标价为 423÷0.9=470 元,如果他只去一次购买同样的商品即价值 168+470=638 元的商品,按规定(3) 进行优惠计算即可. 解答: 解:某人两次去购物,分别付款 168 元与 423 元,由于商场的优惠规定,168 元的商 品未优惠,而 423 元的商品是按九折优惠后的,则实际商品价格为 423÷0.9=470 元, 如果他只去一次购买同样的商品即价值 168+470=638 元的商品时,应付款为: 500×0.9+(638﹣500)×0.7=450+96.6=546.6(元) . 故选 C. 点评: 本题主要考查了根据实际问题选择函数类型,解题关键是要读懂题目的意思,根据 题目给出的条件,找出合适的等量关系列出方程,再求解,属于中档题. 8. (3 分)已知函数 f(x)=ax ﹣x+a+1 在(﹣∞,2)上单调递减,则 a 的取值范围是() A.(0, ] B.[0, ] C.[2,+∞) D.[0,4]
2

考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题. 分析: 对函数求导,函数在(﹣∞,2)上单调递减,可知导数在(﹣∞,2)上导数值小于 等于 0,可求出 a 的取值范围. 解答: 解:对函数求导 y′=2ax﹣1,函数在(﹣∞,2)上单调递减, 则导数在(﹣∞,2)上导数值小于等于 0, 当 a=0 时,y′=﹣1,恒小于 0,符合题意; 当 a≠0 时,因函导数是一次函数,故只有 a>0,且最小值为 y′=2a×2﹣1≤0,?a≤ ,

∴a∈[0, ], 故选 B. 点评: 本题主要二次函数的性质、考查函数的导数求解和单调性的应用.属于基础题. 9. (3 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)=(x ﹣5x+6)?g(x)+x +x﹣25,其中函数 y=g(x) 的图象是一条连续曲线,则方程 f(x)=0 在下面哪个范围内必有实数根() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 考点: 根的存在性及根的个数判断;函数零点的判定定理. 专题: 计算题. 分析: 注意到函数 x ﹣5x+6 有两个零点 2 和 3,所以我们求 f(2)f(3)的值的符号,利 用二分法的思想即可解决. 解答: 解:∵f(2)f(3)=﹣15×5<0, ∴由零点存在定理得: 方程 f(x)=0 在(2,3)范围内有实根. 故选 C. 点评: 二分法是求方程根的一种算法, 其理论依据是零点存在定理: 一般地, 若函数 y=f (x) 在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且 f(a)f(b)<0,则函数 y=f(x)在区间(a, b)上有零点. 10. (3 分)设函数 ,集合 M={x|f(x)=0}={x1,x2,…,x7}?N ,设 c1≥c2≥c3≥c4,则 c1﹣c4=() A.11 B.13 C. 7 D.9 考点: 函数与方程的综合运用. 专题: 综合题;函数的性质及应用. * 分析: 由已知中集合 M={x|f(x)=0}={x1,x2,…,x7}?N ,结合函数 f(x)的解析式, 及韦达定理,我们易求出 c1 及 c4 的值,进而得到答案. 解答: 解:由根与系数的关系知 xi+yi=8,xi?yi=ci, 2 这里 xi,yi 为方程 x ﹣8x+ci=0 之根,i=1,…,4. * 又∵M={x|f(x)=0}={x1,x2,…,x7}?N , 由集合性质可得(xi,yi)取(1,7) , (2,6) , (3,4) , (4,4) , 又 c1≥c2≥c3≥c4, 故 c1=16,c4=7 ∴c1﹣c4=9 故选 D. 点评: 本题考查的知识点是函数与方程的综合运用, 其中根据韦达定理, 求出 c1 及 c4 的值, 是解答本题的关键. 二.填空题(本大题共 7 小题,每小题 3 分,满分 21 分) 11. (3 分)函数 的定义域为{x|1<x≤2}.
* 2 2 3

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数成立的条件建立不等式即可求函数的定义域. 解答: 解:要使函数有意义则 ,



,即 1<x≤2,

即函数的定义域为{x|1<x≤2}. 故答案为:{x|1<x≤2}. 点评: 本题主要考查函数定义域的求法,要熟练掌握常见函数成立的条件是解决本题的关 键. 12. (3 分)当 a>0 且 a≠1 时,函数 f(x)=a
x﹣2

﹣3 必过定点(2,﹣2) .

考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 0 分析: 由式子 a =1 可以确定 x=2 时,f(2)=﹣2,即可得答案. 0 0 解答: 解:因为 a =1,故 f(2)=a ﹣3=﹣2, x﹣2 所以函数 f (x)=a ﹣3 必过定点(2,﹣2) 故答案为: (2,﹣2) 点评: 本题考查指数型函数恒过定点问题,抓住 a =1 是解决问题的关键,属基础题. 13. (3 分)已知函数 f(x)是偶函数,当 x>0 时,f(x)=﹣(x﹣1) +1,则当 x<0 时,f 2 (x)=﹣x ﹣2x. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据偶函数的对称性进行转化即可. 解答: 解:若 x<0,则﹣x>0, 2 ∵当 x>0 时,f(x)=﹣(x﹣1) +1, 2 2 ∴f(﹣x)=﹣(﹣x﹣1) +1=﹣(x+1) +1, ∵函数 f(x)是偶函数, ∴f(﹣x)=f(x) , 即 f(﹣x)=﹣(x+1) +1=f(x) , 2 2 即 f(x)=﹣(x+1) +1=﹣x ﹣2x, (x<0) , 2 故答案为:﹣x ﹣2x 点评: 本题主要考查函数解析式的求解,根据函数奇偶性的对称性是解决本题的关键. 14. (3 分)函数 f(x)=log (5+4x﹣x )的单调递增区间[2,5) .
2 2 2 0

考点: 复合函数的单调性.

专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 t=5+4x﹣x >0,求得函数的定义域为(﹣1,5 ) ,f(x)=log
2 2

t,本题即求二

次函数 t=﹣(x﹣2) +9 在(﹣1,5 )上的减区间,再利用二次函数的性质可得 t 在(﹣1, 5 )上的减区间. 解答: 解: 令 t=5+4x﹣x >0, 求得﹣1<x<5, 故函数的定义域为 (﹣1, 5 ) , ( f x) =log
2 2

t,

故本题即求二次函数 t=﹣(x﹣2) +9 在(﹣1,5 )上的减区间, 2 利用二次函数的性质可得 t=﹣(x﹣2) +9 在(﹣1,5 )上的减区间为[2,5) , 故答案为:[2,5) . 点评: 本题主要考查复合函数的单调性,二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于 基础题.

15. (3 分)已知函数 f(x)= 是{x|x≤﹣1,或 x= 考点: 函数的值. 专题: 计算题. }.

则满足等式 f(1﹣x )=f(2x)的实数 x 的集合

2

分析: 要根据已知函数解析式讨论 1﹣x 与 2x 的范围,从而确定其对关系,解方程可求 2 解答: 解:∵f(1﹣x )=f(2x) 当 即 0≤x≤1 时,则 ,解可得,x=

2



即 x<﹣1 时,则 f(1﹣x )=f(2x)=1 满足题意

2

当 题意 当 题意

﹣1≤x<0 时,由 f(1﹣x )=f(2x)可得(1﹣x ) +1=1,解可得 x=﹣1 满足

2

2

2

即 x>1 时,由(1﹣x )=f(2x)=1 可得,1=(2x) +1,解可得 x=0 不满足

2

2

综上可得,x= 或 x≤﹣1 故答案为:x= 或 x≤﹣1 点评: 本题主要考查了分段函数的函数值的求解,解题的关键是确定函数的解析式,体现 了分类讨论思想方法的应用 16. (3 分)函数 y=lg(3﹣4x+x )的定义域为 M,当 x∈M 时,关于 x 方程 4x﹣2 有两不等实数根,则 b 的取值范围为 b<﹣4.
2 x+1

=b(b∈R)

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意, 3﹣4x+x >0 从而解出 M={x|x>3 或 x<1}; 则令 f (x) =4x﹣2 ∞,1)上是增函数,在(3,+∞)上是减函数,从而化简求 b 的取值范围. 2 解答: 解:由题意,3﹣4x+x >0, 解得,x>3 或 x<1; 即 M={x|x>3 或 x<1}; 若令 f(x)=4x﹣2 , 其在(﹣∞,1)上是增函数, 在(3,+∞)上是减函数, 又∵f(1)=4﹣4=0, f(3)=12﹣16=﹣4, 则若使关于 x 方程 4x﹣2 =b(b∈R)有两不等实数根, 则 b<﹣4, 故答案为:b<﹣4. 点评: 本题考查了函数的定义域的求法及函数的单调性的应用,同时考查了函数的零点与 方程的根之间的关系,属于中档题. 17. (3 分)已知函数 y=f(x)和 y=g(x)在[﹣2,2]上的图象如图所示:给出下列四个命题:
x+1 x+1 2 x+1

, 其在 (﹣

①方程 f[g(x)]=0 有且仅有 6 个根; ②方程 g[f(x)]=0 有且仅有 3 个根; ③方程 f[f(x)]=0 有且仅有 7 个根; ④方程 g[g(x)]=0 有且仅有 4 个根. 其中正确命题的序号为①④. 考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 把复合函数的定义域和值域进行对接,看满足外层函数为零时内层函数有几个自变 量与之相对应. 解答: 解:①设 t=g(x) ,则由 f[g(x)]=0,即 f(t)=0,则 t1=0 或﹣2<t2<﹣1 或 1<t3 <2, 当 t1=0 时,t=g(x)有 2 个不同值, 当﹣2<t2<﹣1 时,t=g(x)有 2 个不同值, 当 1<t3<2,时,t=g(x)有 2 个不同值,∴方程 f[g(x)]=0 有且仅有 6 个根,故①正确. ②设 t=f(x) ,若 g[f(x)]=0,即 g(t)=0,

则﹣2<t1<﹣1 或 0<t2<1, 当﹣2<t1<﹣1 时,t=f(x)有 1 个不同值, 当 0<t2<1 时,t=f(x)有 3 个不同值, ∴方程 g[f(x)]=0 有且仅有 4 个根,故②错误. ③设 t=f(x) ,若 f[f(x)]=0,即 f(t)=0, 则 t1=0 或﹣2<t2<﹣1 或 1<t3<2, 当 t1=0 时,t=f(x)有 3 个不同值, 当﹣2<t2<﹣1 时,t=f(x)有 1 个不同值, 当 1<t3<2,时,t=f(x)有 1 个不同值,∴方程 f[f(x)]=0 有且仅有 5 个根,故③错误. ④设 t=g(x) ,若 g[g(x)]=0,即 g(t)=0, 则﹣2<t1<﹣1 或 0<t2<1, 当﹣2<t1<﹣1 时,t=g(x)有 2 个不同值, 当 0<t2<1 时,t=g(x)有 2 个不同值,∴方程 g[g(x)]=0 有且仅有 4 个根,故④正确. 故正确的是①④, 故答案为:①④ 点评: 本题考查根的存在性及根的个数判断,根据函数的图象,分别判断根的个数,考查 学生的逻辑思维能力及识别图象的能力. 三.解答题(本大题共 5 小题,满分 49 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18. (8 分)求值: (1) (2) .

考点: 专题: 分析: 解答: =

对数的运算性质. 计算题. 分别根据指数幂和对数的运算法则直接进行计算即可. 解: (1)原式 =

=50 (2) 原式=

, = =11.

点评: 本题主要考查指数幂和对数的计算,要求熟练掌握指数幂和对数的运算法则,考查 学生的计算能力. 19. (8 分)已知集合 M={x|x ﹣3x≤10},N={x|a+1≤x≤2a+1}. (1)若 a=2,求 M∩(CRN) ; (2)若 M∪N=M,求实数 a 的取值范围.
2

考点: 并集及其运算;交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: (Ⅰ)a=2 时,M={x|﹣2≤x≤5},N={3≤x≤5},由此能求出 M∩(CRN) . (Ⅱ)由 M∪N=M,得 N?M,由此能求出实数 a 的取值范围. 解答: (本小题满分 8 分) 解: (Ⅰ)a=2 时,M={x|﹣2≤x≤5},N={3≤x≤5}, CRN={x|x<3 或 x>5}, 所以 M∩(CRN)={x|﹣2≤x<3}. (Ⅱ)∵M∪N=M,∴N?M, ①a+1>2a+1,解得 a<0;



,解得 0≤a≤2.

所以 a≤2. 点评: 本题考查交集、实集的应用,考查实数的取值范围的求法,是基础题.

20. (9 分)已知函数 (1)若 m=1,求函数 f(x)的定义域. (2)若函数 f(x)的值域为 R,求实数 m 的取值范围. (3)若函数 f(x)在区间 上是增函数,求实数 m 的取值范围.

考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 计算题. 分析: (1)要使函数有意义,只需真数大于零,解不等式即可得函数的定义域; 2 (2)若函数的值域为 R,则真数应能取遍一切正数,只需 y=x ﹣mx﹣m 的判别式不小于零, 即可解得 m 的范围; (3)函数 f(x)在区间 上是增函数包含两层含义,y=x ﹣mx﹣m 在区间 2 上是减函数且 x ﹣mx﹣m>0 在区间 上恒成立,分 别利用二次函数的图象和性质和单调性即可解得 m 的范围 解答: 解: (1)若 m=1,则
2

要使函数有意义,需 x ﹣x﹣1>0,解得 x∈ ∴若 m=1,函数 f(x)的定义域为 (2)若函数 f(x)的值域为 R,则 x ﹣mx﹣m 能取遍一切正实数, 2 ∴△=m +4m≥0,即 m∈(﹣∞,﹣4]∪[0,+∞) ∴若函数 f(x)的值域为 R,实数 m 的取值范围为(﹣∞,﹣4]∪[0,+∞) (3)若函数 f(x)在区间 上是增函数,
2

2



则 y=x ﹣mx﹣m 在区间 上恒成立, ∴ ≥1﹣ 即 m≥2﹣2 ,且(1﹣ 且 m≤2 ) ﹣m(1﹣
2

2

上是减函数且 x ﹣mx﹣m>0 在区间 )﹣m≥0

2

∴m∈ 点评: 本题主要考查了对数函数的图象和性质,函数定义域的求法,函数值域的意义,复 合函数的单调性,不等式恒成立问题的解法,属基础题

21. (12 分)已知函数 f(x)=

,函数 f(x)为奇函数.

(1)求实数 a 的值; (2)判断 f(x)的单调性,并用定义证明; 2 (3)若解不等式 f(3m ﹣m+1)+f(2m﹣3)<0. 考点: 函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用奇函数的性质 f(0)=0 即可得出; (2)f(x)在 R 上单调递增.利用增函数的定义即可得出. (3)利用函数奇偶性单调性即可得出. 解答: 解: (1)∵函数 f(x)为奇函数, ∴f(0)= 解得 a=1. (2)∵f(x)= = ,∴f(x)在 R 上单调递增. =0.

证明如下:?x1<x2,0< 则 f(x1)﹣f(x2)= ﹣



=

<0.

∴f(x1)<f(x2) , ∴f(x)在 R 上单调递增. 2 (3)不等式 f(3m ﹣m+1)+f(2m﹣3)<0, 2 化为不等式 f(3m ﹣m+1)<﹣f(2m﹣3)=f(3﹣2m) . 2 ∴3m ﹣m+1<3﹣2m, 2 化为 3m +m﹣2<0, 解得 . .

∴不等式的解集为

点评: 本题考查了函数奇偶性与单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

22. (12 分)已知函数



(1)若 a=6,写出函数 f(x)的单调区间,并指出单调性; (2)若函数 f(x)在[1,a]上单调,且存在 x0∈[1,a]使 f(x0)>﹣2 成立,求 a 的取值范围; (3)当 a∈(1,6)时,求函数 f(x)的最大值的表达式 M(a) . 考点: 函数的最值及其几何意义;函数单调性的判断与证明. 专题: 分类讨论;函数的性质及应用. 分析: (1)当 a=6 时,由 x∈[1,6],化简 f(x) ,用单调性定义讨论 f(x)的增减性; (2)当 x∈[1,a]时,化简 f(x) ,由(1)知,x∈[1,3)时,f(x)单调增,即 a∈(1,3]时, f(x)在[1,a]上单调增,由题意 f(x)max>﹣2,求得 a 的取值范围;

(3)由 1<a<6,将 f(x)化为 f(x)=

,分 1<a≤3 与 3<a

<6 讨论函数的单调性,从而求得 f(x)的最大值 M(a) . 解答: 解: (1)当 a=6 时,∵x∈[1,6],∴f(x)=a﹣x﹣ +a=2a﹣x﹣ ;任取 x1,x2∈[1, 6],且 x1<x2, 则 f(x1)﹣f(x2)=(2a﹣x1﹣ )﹣(2a﹣x2﹣ )=(x2﹣x1)+( ﹣ )=(x2﹣x1)

?



当 1≤x1<x2<3 时,x2﹣x1>0,1<x1x2<9,∴f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) ,∴f (x)是增函数,增区间是[1,3) ; 当 3≤x1<x2≤6 时,x2﹣x1>0,x1x2>9,∴f(x1)﹣f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) ,∴f(x) 是减函数,减区间是[3,6]; (2)当 x∈[1,a]时,f(x)=a﹣x﹣ +a=﹣x﹣ +2a; 由(1)知,当 x∈[1,3)时,f(x)是增函数,当 x∈[3,6]时,f(x)是减函数; ∴当 a∈(1,3]时,f(x)在[1,a]上是增函数; 且存在 x0∈[1,a]使 f(x0)>﹣2 成立, ∴f(x)max=f(a)=a﹣ >﹣2, 解得 a> ﹣1; 综上,a 的取值范围是{a|

﹣1<a≤3}.

(3)∵a∈(1,6) ,∴f(x)=



①当 1<a≤3 时,f(x)在[1,a]上是增函数,在[a,6]上也是增函数,

∴当 x=6 时,f(x)取得最大值 . ②当 3<a<6 时,f(x)在[1,3]上是增函数,在[3,a]上是减函数,在[a,6]上是增函数, 而 f(3)=2a﹣6,f(6)= , 当 3<a≤ 当 时,2a﹣6≤ ,当 x=6 时,f(x)取得最大值为 .

≤a<6 时,2a﹣6> ,当 x=3 时,f(x)取得最大值为 2a﹣6.

综上得,M(a)=



点评: 本题考查了含绝对值的函数的单调性的判断与证明以及函数的最值的求法问题,也 考查了分类讨论思想与化归思想,是难题.



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