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东城区2016届高三一模数学(文)试题及答案(word版)



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北京市东城区 2015-2016 学年度第二学期高三综合练习(一) 数学 (文科)
本试卷共 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考 试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)
2 (1)若集合 A ? {x ? R x ? 3 x}, B ? {x ?1 ? x ? 2} ,则 A ? B ?

(A) {x ?1 ? x ? 0} (C) {x 0 ? x ? 2}

(B) {x ?1 ? x ? 3} (D) {x 0 ? x ? 3}

(2)已知直线 ax ? 3 y ? 1 ? 0 与直线 3x ? y +2=0 互相垂直,则 a ? (A) ?3 (C) 1 (B) ?1 (D) 3

(3)已知 a ? log4 6 , b ? log4 0.2 , c ? log2 3 ,则三个数的大小关系是 (A) c ? a ? b (C) a ? b ? c (B) a ? c ? b (D) b ? c ? a

? x ? 0, ? (4)若 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0, 则 u ? 2 x ? y 的最大值为 ? 2 x ? y ? 3 ? 0, ?
(A) 3 (C) 2 (B)

5 2 3 2

(D)

(5)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 1 ? 5 ? 9 ?13 ? 17 ? 21 ? ?? (?1)n?1 (4n ? 3) ,则 S11 ? (A) ?21 (C) 19 (B) ?19 (D) 21

(6)在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,则“ a ? b ”是“ a cos B ? b cos A ”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

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(7)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图, 若输入 a , b , i 的值分别为 6 , 8 , 0 ,则输出 a 和 i 的值分别为 (A) 0 , 3 (C) 2 , 3 (B) 0 , 4 (D) 2 , 4

(8)函数 f ( x ) 的定义域为 ? ?1,1? ,图象如图 1 所示;函数 g ( x ) 的定义域为 ? ?1, 2? ,图象如图 2 所示.若集合

A ? ?x f ( g( x )) ? 0
y 1

? , B ? ? x g ( f ( x)) ? 0? ,则 A ? B 中元素的个数为
y 1 1 x -1 O 1 2 x

-1

O -1
图1

图2

(A) 1 (C) 3

(B) 2 (D) 4

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第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)若复数 (2 ? ai)2 ? a ? R? 是实数,则 a ?

共 110 分)

. .

(10)以抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为圆心且过坐标原点的圆的方程为

(11)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 是上底面 A1B1C1D1 内一动点, 则三棱锥 P-ABC 的正(主)视图与侧(左)视图的面积的比值为 (12)已知函数 f ( x) ? ? .

?a( x ? 1)2 ? 1, x ? 0, ? 2? x , x ? 0.


①若 f ( f (?1)) ? 0 ,则实数 a ?

②在①的条件下,若直线 y ? m 与 y ? f ( x) 的图象有且只有一个交点,则实数 m 的取值范围 是 .

(13)如图,在矩形 OABC 中,点 E , F 分别在线段 AB , BC 上,且满足 AB ? 3 AE , BC ? 3CF ,若

??? ? ??? ? ??? ? OB ? ?OE ? ?OF (?, ? ? R) ,则 ? +? ?



C

F

B E

O

A

(14)每年的三月十二号是植树节,某学校组织高中 65 个学生及其父母以家庭为单位参加“种一棵小树,绿 一方净土”的义务植树活动.活动将 65 个家庭分成 A, B 两组, A 组负责种植 150 棵银杏树苗, B 组 负责种植 160 棵紫薇树苗.根据往年的统计,每个家庭种植一棵银杏树苗用时

2 h ,种植一棵紫薇树 5

苗用时 为

3 h . 假 定 A, B 两 组 同 时 开 始 种 植 , 若 使 植 树 活 动 持 续 时 间 最 短 , 则 A 组 的 家 庭 数 5
,此时活动持续的时间为

h.

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三、解答题(共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 2 cos x .
2

? 6

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [0 ,

? ] 上的最大值和最小值. 2

(16) (本小题共 13 分) 已知公差为正数的等差数列 {an } 满足 a1 ? 1 , 2a1 , a3 ? 1, a4 ? 1 成等比数列. (Ⅰ) 求 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 若 a2 , a5 分别是等比数列 ?bn ? 的第 1 项和第 2 项,求使数列 {

99 1 的最大正整数 } 的前 n 项和 Tn ? 200 bn

n.

(17) (本小题共 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是菱形,点 O 是对角线 AC 与 BD 的交点, AB ? 2 , ?BAD ? 60? , M 是 PD 的中点. (Ⅰ)求证: OM ∥平面 PAB ; (Ⅱ)平面 PBD ? 平面 PAC ; (Ⅲ)当三棱锥 C ? PBD 的体积等于

3 时,求 PA 的长. 2

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(18) (本小题共 13 分) “爱心包裹”是中国扶贫基金会依托中国邮政发起的一项全民公益活动,社会各界爱心人士只需通过中 国邮政网点捐购统一的爱心包裹,就可以一对一地将自己的关爱送给需要帮助的人.某高校青年志愿者协 会响应号召,组织大一学生作为志愿者,开展一次爱心包裹劝募活动.将派出的志愿者分成甲、乙两个小 甲组 乙组 组,分别在两个不同的场地进行劝募,每个小组各 6 人.爱心人士每 捐购一个爱心包裹,志愿者就将送出一个钥匙扣作为纪念.以下茎叶

9

8
4

0
1 2

8
2 1

图记录了这两个小组成员某天劝募包裹时送出钥匙扣的个数,且图中

x
1

6
1

8

甲组的一个数据模糊不清,用 x 表示.已知甲组送出钥匙扣的平均数 比乙组的平均数少 1 个.

0

(Ⅰ) 求图中 x 的值; (Ⅱ) “爱心包裹” 分为价值 100 元的学习包, 和价值 200 元的“学习+生活”包, 在乙组劝募的爱心包裹中100 元和 200 元的比例为 3 :1 ,若乙组送出的钥匙扣的个数即为爱心包裹的个数,求乙组全体成员劝募的 爱心包裹的价值总额; (Ⅲ)在甲组中任选 2 位志愿者,求他们送出的钥匙扣个数都多于乙组的平均数的概率.

(19) (本小题共 13 分)

3 x2 y 2 已知 F1 (?1 , 0) 和 F2 (1 , 0) 是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点,且点 P (1 , ) 在椭圆 C 上. 2 a b
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)直线 l : y ? kx ? m (m ? 0) 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,且与 x 轴和 y 轴分别交于点 M , N ,当

△OMN 面积取最小值时,求此时直线 l 的方程.

(20) (本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x , a ? R .
2

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(Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值;

(Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [1, ??) 上的最小值;
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,若 h( x) ? x2 ? f ( x) ,求证:当 1 ? x ? e 时,恒有 x ?
2

4 ? h( x ) 成立. 4 ? h( x )

北京市东城区 2015-2016 学年第二学期高三综合练习(一) 数学(文科)参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (5)D (2)C (6)C (3)A (7)D (4)A (8)C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) 0 (11) 1 (13) (10) ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 (12) ?1 (14) 25

(?? , 0) ? [1, ? ?)
12 5

3 2

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ?

3 1 3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 2 2 2
????????6 分 ????????7 分

? ? sin(2 x ? ) ? 1 . 6
所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? ? . (Ⅱ)因为 x ? [0, ] 时,所以 2 x ? 于是当 2 x ? 当 2x ?

? 2

? ? 7? ?[ , ] . 6 6 6

? ? ? = ,即 x ? 时, f ( x) 取得最大值 2 ; 6 2 6
????????13 分

? ?? ? 1 = ,即 x ? 时, f ( x ) 取得最小值 . 6 6 2 2

(16) (共 13 分) 解: (Ⅰ)设数列 ?an ? 的公差为 d (d ? 0) ,
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由已知可得 2a1 (a4 ? 1) ? (a3 ? 1) 2 ,即 2(1 ? 3d ? 1) ? (1 ? 2d ? 1) 2 ,
2 整理得 2d ? 3d ? 2 ? 0 ,解得 d ? ?

1 (舍去)或 d ? 2 . 2
?

????????4 分 ????????6 分

所以 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1 , n ? N .

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 b1 ? a2 ? 3 , b2 ? a5 ? 9 ,所以等比数列 ?bn ? 的公比 q ? 3 . 于是 {

1 1 1 } 是以 为首项,以 为公比的等比数列. 3 3 bn

????????9 分

1 1 ? (1 ? ( ) n ) 1 1 3 所以 Tn ? 3 ? (1 ? ( ) n ) . 1 2 3 1? 3 99 1 n 99 1 n 1 由 Tn ? ,得 1 ? ( ) ? ,即 ( ) ? , 200 3 100 3 100
则满足不等式的最大正整数 n ? 4 . (17) (共 14 分) 证明: (Ⅰ)因为在△ PBD 中, O , M 分别是 BD , PD 的中点, 所以 OM ∥ PB . 又 OM ? 平面 PAB , PB ? 平面 PAB , 所以 OM ∥平面 PAB . (Ⅱ)因为底面 ABCD 是菱形, 所以 BD ? AC . 因为 PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD , 所以 PA ? BD .又 AC ? PA ? A , 所以 BD ? 平面 PAC . 又 BD ? 平面 PBD , 所以平面 PBD ? 平面 PAC . (Ⅲ)因为底面 ABCD 是菱形,且 AB ? 2 , ?BAD ? 60 ,
?

????????11 分

????????13 分

????????5 分

????????10 分

所以 S?BCD ? 3 . 又 VC ? PBD ? VP? BCD ,三棱锥 P ? BCD 的高为 PA , 所以 ? 3 ? PA ?

1 3

3 , 2
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解得 PA ?

3 . 2

????????14 分

(18) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由茎叶图可知乙组送出钥匙扣的平均数为 则甲组的送出钥匙扣的平均数为 15 . 由 8+9+14+(10+x)+20+21=15 ? 6=90 ,解得 x ? 8 . ????????4 分

8+12+16+18+21+21 =16 . 6

(Ⅱ) 乙组送出钥匙扣的个数为 96 , 即劝募的总包裹数为 96 , 按照 3 :1 的比例, 价值 100 元的包裹有 72 个,价值 200 元的包裹有 24 个, 故所求爱心包裹的总价值 ? 72 ?100 ? 24 ? 200 ? 12000 元. ????????8 分

(Ⅲ)乙组送出钥匙扣的平均数为 16 个.甲组送出钥匙扣的个数分别为 8 , 9 ,14 ,18 , 20 , 21 . 若从甲组中任取两个数字,所有的基本事件为: (8 , 9) , (8 ,14) , (8 ,18) , (8 , 20) , (8 , 21) ,

(9 ,14) , (9 ,18) , (9 , 20) , (9 , 21) , (14 ,18) , (14 , 20) , (14 , 21) , (18 , 20) , (18 , 21) , (20 , 21) ,
共 15 个基本事件. 其中符合条件的基本事件有 (18 , 20) , (18 , 21) , (20 , 21) ,共 3 个基本事件, 故所求概率为 P ?

3 1 ? . 15 5

????????13 分

(19) (共 13 分)
2 2 解: (Ⅰ)依题意, c ? 1 ,又 2a ? (1 ? 1) ? ( ? 0) ?

3 2

3 8 ? ? 4 ,故 a ? 2 . 2 2

所以 b ? 3 .
2

x2 y 2 故所求椭圆 C 的方程为 ? ? 1. 4 3

????????4 分

? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 2 (Ⅱ)由 ? 4 消 y 得 (4k ? 3) x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0 . 3 ? y ? kx ? m ?
由直线 l 与椭圆 C 仅有一个公共点知,

? ? 64k 2 m 2 ? 4(4k 2 ? 3)(4m 2 ? 12) ? 0 ,整理得 m 2 ? 4k 2 ? 3 . ????????6 分
由条件可得 k ? 0 , M (? 所以 S△OMN ?

m , 0) , N (0 , m) . k

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1 1 m m2 . OM ? ON ? m ? ? 2 2 k 2k
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将 m ? 4k ? 3 代入①得 S△OMN
2 2

1 4k 2 ? 3 1 3 ? ? ? (4 k ? ) . 2 k 2 k

因为 k ? 0 ,所以 S△OMN ?

1 3 3 3 ,即 k ? ? 时等号成立, (4 k ? ) ? 2 3 ,当且仅当 k ? 2 2 2 k

S△OMN 有最小值 2 3 .
因为 m 2 ? 4k 2 ? 3 ,所以 m ? 6 ,又 m ? 0 ,解得 m ? 6 .
2

????????11 分

故 所求直线方程为 y ? (20) (共 14 分)

3 3 x? 6或 y ? ? x? 6. 2 2

????????13 分

解: (Ⅰ)由 f ( x) ? x ? a ln x ,定义域为 (0 , ? ?) ,
2

得 f ?( x) ? 2 x ?

a . x
2

因为函数 f ( x) ? x ? a ln x 在 x ? 1 处取得极值, 所以 f ?(1) ? 0 ,即 2 ? a ? 0 ,解得 a ? 2 . 经检验,满足题意,所以 a ? 2 . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ?( x) ? 2 x ? ?????????4 分

a 2x2 ? a ? ,定义域为 (0 , ? ?) . x x

当 a ? 0 时,有 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在区间 [1, ??) 上单调递增,最小值为 f (1) ? 1 ; 当 0 ? a ? 2 ,由 f ?( x) ? 0 得 x ?

a a ,且 0 ? ? 1. 2 2

当 x ? (0,

a a ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减,当 x ? ( , +? ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增, 2 2

所以 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上单调递增,最小值为 f (1) ? 1 ; 当 a ? 2 时,

a ? 1, 2

当 x ? (1,

a a ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减,当 x ? ( , + ?) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增, 2 2 a a a a a 取得最小值 f ( ) ? ? ln . 2 2 2 2 2
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所以函数 f ( x ) 在 x ?
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综上当 a ? 2 时, f ( x ) 在区间 [1, +?) 上的最小值为 1 ; 当 a ? 2 时, f ( x ) 在区间 [1, +?) 上的最小值为 (Ⅲ)由 h( x) ? x2 ? f ( x) 得 h( x) ? 2ln x . 当 1 ? x ? e 时, 0 ? ln x ? 2 , 0 ? h( x) ? 4 ,
2

a a a ? ln . 2 2 2

??????9 分

欲证 x ?

4 ? h( x ) ,只需证 x[4 ? h( x)] ? 4 ? h( x) , 4 ? h( x )
??????11 分

4x ? 4 2x ? 2 ,即 ln x ? . x ?1 x ?1 2x ? 2 设 ? ( x ) ? ln x ? , x ?1
即证 h( x) ? 则 ? ?( x) ?

1 2( x ? 1) ? (2 x ? 2) ( x ? 1) 2 . ? ? x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2
2

当 1 ? x ? e 时, ? ?( x) ? 0 ,所以 ? ( x) 在区间 (1, e ) 上单调递增.
2

所以当 1 ? x ? e 时, ? ( x) ? ? (1) ? 0 ,即 ln x ?
2

2x ? 2 ? 0, x ?1

故x?

4 ? h( x ) . 4 ? h( x )
2

所以当 1 ? x ? e 时, x ?

4 ? h( x ) 恒成立. 4 ? h( x )

………………………..14 分

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