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§1.1.1正弦定理



高中教案

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普通高中课程标准实验教科书-[人教版 A] 课题:

§1.1.1 正弦定理
授课类型:新授课

●教学目标 知识与技能: 通过对任意三角形边长和角度关系的探索, 掌握正弦定理的内容及其证明方法; 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与

方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系, 引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实 践操作。 情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合 情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识 间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图 1.1-1,固定 ? ABC 的边 CB 及 ? B,使边 AC 绕着顶点 C 转动。 A 思考: ? C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边 AB 的长度随着其对角 ? C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来? C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图 1.1-1) 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等 式关系。如图 1.1-2,在 Rt ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数 的 A 则 定 义 , 有

a ? sin A c
?



b ? sin B c





s

Ci? ? n

c c

,1

a
sin A

?

b
sin B

c
sinC

?c ?

b

c a (图 1.1-2) B

从而在直角三角形 ABC 中,

a
sin A

b
sin B

?

c
sin C

C

思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? (由学生讨论、分析) 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:
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如图 1.1-3,当 ? ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角三角函数的 定义,有 CD= a sin B ? b sin A ,则 同理可得 从而

a
sin A

?

b
sin B

, b A c

C a B

c
sinC ?

?

b
sin B ?



a
sin A

b
sin B

c
sinC

(图 1.1-3) 思考:是否可以用其它方法证明这一等式?由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究 这个问题。 (证法二) :过点 A 作 j ? AC , 由向量的加法可得 则 C

AB ? AC ? CB

j ? AB ? j ?(AC ? CB )
∴ j ? AB ? j ? AC ? j ? CB

A

B

j

j AB cos?900 ? A? ?0 ? j CB cos?900 ?C ?
∴ c sin A ? a sin C ,即 同理,过点 C 作 j ? BC ,可得 从而

a c ? sin A sin C

b c ? sin B sin C

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

类似可推出,当 ? ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。 (由学生课后自己推导) 从上面的研探过程,可得以下定理 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

[理解定理] (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即 存在正数 k 使 a ? k sin A , b ? k sin B , c ? k sinC ; (2)

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

等价于

a
sin A

?

b
sin B



c
sinC

?

b
sin B



a
sin A

?

c
sinC

从而知正弦定理的基本作用为:

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①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 a ?

b sin A ; sin B

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如 sin A ? sin B 。 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。 [例题分析] 例 1.在 ?ABC 中,已知 A ? 32.00 , B ?81.80 , a ? 42.9 cm,解三角形。 解:根据三角形内角和定理,

a b

C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (32.00 ?81.80 )
? 66.20 ; 根据正弦定理,

b?

a sin B 42.9sin81.80 ? ? 80.1(cm) ; sin A sin32.00 a sin C 42.9sin66.20 ? ? 74.1(cm). sin A sin32.00

根据正弦定理,

c?

评述:对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 例 2.在 ?ABC 中,已知 a ? 20 cm, b ? 28 cm, A ? 400 ,解三角形(角度精确到 10 ,边长 精确到 1cm) 。 解:根据正弦定理,

bsin A 28sin400 ? ? 0.8999. a 20 因为 00 < B < 1800 ,所以 B ? 640 ,或 B ?1160. ⑴ 当 B ? 640 时, sin B ?
C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (400 ? 640 ) ? 760 ,
c? a sin C 20sin760 ? ? 30(cm). sin A sin400

⑵ 当 B ?1160 时,

C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (400 ?1160 ) ? 240 ,
c? a sin C 20sin240 ? ?13(cm). sin A sin400

评述:应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形。 Ⅲ.课堂练习
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第 5 页练习第 1(1) 、2(1)题。 [补充练习]已知 ? ABC 中, sin A:sin B :sinC ? 1:2:3 ,求 a :b :c (答案:1:2:3) Ⅳ.课时小结(由学生归纳总结) (1)定理的表示形式:

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

?

a ? b ?c ? k ? k ? 0? ; sin A ? sin B ? sinC

或 a ? k sin A , b ? k sin B , c ? k sinC (k ? 0) (2)正弦定理的应用范围: ①已知两角和任一边,求其它两边及一角; ②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。 Ⅴ.课后作业 第 10 页[习题 1.1]A 组第 1(1) 、2(1)题。

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