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【成才之路】高二数学 1、3-2-1几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式同步练习 新人教A版选修1-1



3.2.1 几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式
一、选择题 1.lim Δ x→0 (1+Δ x) -1 表示( Δx
2 2

)

A.曲线 y=x 的斜率 B.曲线 y=x 在点(1,1)处的斜率 C.曲线 y=-x 的斜率 D.曲线 y=-x 在(1,-1)处的斜率 [答案] B [解析] 由导数的意义可

知,lim Δ x→0 2π 2.若 y=cos ,则 y′=( 3 A.- C.0 [答案] C [解析] 常数函数的导数为 0. 3.下列命题中正确的是( ) 3 2 ) 1 B.- 2 D. 1 2 (1+Δ x) -1 2 表示曲线 y=x 在点(1,1)处的斜率. Δx
2 2 2 2

①若 f′(x)=cosx,则 f(x)=sinx ②若 f′(x)=0,则 f(x)=1 ③若 f(x)=sinx,则 f′(x)=cosx A.① C.③ [答案] C [解析] 当 f(x)=sinx+1 时,f′(x)=cosx, 当 f(x)=2 时,f′(x)=0. 4.若 y=ln x,则其图象在 x=2 处的切线斜率是( A.1 C.2 [答案] D 1 1 1 [解析] ∵y′= ,∴y′|x=2= ,故图象在 x=2 处的切线斜率为 . x 2 2 B.0 D. 1 2 ) B.② D.①②③

1

5.已知直线 y=kx 是 y=ln x 的切线,则 k 的值为( A. C. 1 2 1 1 B.- 2 1 D.-

)

e

e

[答案] C 1 1 ?1 ? [解析] y′= =k,∴x= ,切点坐标为? ,1?,

x

k

?k

?

1 1 1 又切点在曲线 y=lnx 上,∴ln =1,∴ =e,k= .

k

k

e

1 ? ?1?? 6.已知函数 f(x)=x ,则?f? ??′=( 2 ? ?2?? A.0 B. 2 2 2 2

)

C.1 [答案] A

D.-

?1? [解析] ∵f? ?= ?2?
x

1 ? ,∴? 2 ?

1? ?′=0. 2? )

1 7.y= 在点 A(1,1)处的切线方程是( A.x+y-2=0 C.x+y+2=0 [答案] A 1 [解析] ∵y′=- 2,∴y′|x=1=-1.

B.x-y+2=0 D.x-y-2=0

x

∴y-1=-1(x-1),即 x+y-2=0. 8.下列结论中正确的个数为( ) ③y=2 , y′=2 ln2 ④y=log2x, 则
x x

1 1 2 ①y=ln2, y′= ②y= 2, y′|x=3=- 则 则 2 x 27 则 y′= 1 xln2 B.1 D.3

A.0 C.2 [答案] D

[解析] ①y=ln2 为常数,所以 y′=0,①错. 9.下列结论中不正确的是( )

2

A.若 y=0,则 y′=0 B.若 y= 3 3 ,则 y′=- 1

x

x x

3

1 C.若 y=- x,则 y′=- 2 x D.若 y=3x ,则 y′=3x [答案] D [解析] y′=(3x )′=3×3·x 10.若 y=sinx,则 y′|x= A. C. 1 2 3 2
3 3-1 3 2

=9x . )

2

π =( 3 1 B.- 2 D.-

3 2

[答案] A

二、填空题 11.曲线 y=lnx 与 x 轴交点处的切线方程是__________. [答案] y=x-1 [解析] ∵曲线 y=lnx 与 x 轴的交点为(1,0) ∴y′|x=1=1,切线的斜率为 1, 所求切线方程为:y=x-1. 5 12.质点沿直线运动的路程与时间的关系是 s= t ,则质点在 t=32 时的速度等于 ____________. [答案] 1 80

4 13.在曲线 y= 2上求一点 P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为 135°,则 P 点坐标

x

为________.

3

[答案] (2,1) [解析] 设 P(x0,y0),

y′=? 2?′=(4x-2)′=-8x-3, ?x ?
∴tan135°=-1=-8x0 . ∴x0=2,y0=1. 14.y=10 在(1,10)处切线的斜率为________. [答案] 10ln10 [解析] y′=10 ln10, ∴y′|x=1=10ln10. 三、解答题 15.已知曲线 C:y=x
3 -3

?4?

x

x

(1)求曲线 C 上点(1,1)处的切线方程 (2)在(1)中的切线与曲线 C 是否还有其它公共点? [解析] (1)∵y′=3x ∴切线斜率 k=3 ∴切线方程 y-1=3(x-1) 即 3x-y-2=0
?3x-y-2=0 ? (2)由? 3 ?y=x ?
2

∴(x-1)(x +x-2)=0 ∴x1=1

2

x2=-2

∴公共点为(1,1)及(-2,-8) 16.求下列函数的导数 (1)y=lnx (2)y= 1 5 3 (3)y= x 1

x4

[答案] (1)y′=(lnx)′= (2)y′=(x )′=-4·x
-4

x
=-4·x =-
-5

-4-1

4

x5

17.已知点 P(-1,1),点 Q(2,4)是曲线 y=x 上两点,求与直线 PQ 平行的曲线 y=x 的切线方程. [解析] ∵y′=(x )′=2x,设切点为 M(x0,y0)
2

2

2

4

则 y′|x=x0=2x0, 4-1 1 又∵PQ 的斜率为 k= =1,而切线平行于 PQ,∴k=2x0=1,即 x0= .所以切点为 2+1 2

?1 1? M? , ?. ?2 4?
1 1 ∴所求切线方程为 y- =x- ,即 4x-4y-1=0. 4 2 2? ?π 18.求过曲线 y=sinx 上的点 P? , ?且与在这点处的切线垂直的直线方程. 4 2? ? [解析] ∵y=sinx, ∴y′=(sinx)′=cosx.

∴经过这点的切线的斜率为

2 ,从而可知适合题意的直线的斜率为- 2. 2

∴由点斜式得适合题意的直线方程为

y-

2 π =- 2(x- ), 2 4 2 2 - π =0. 2 4

即 2x+y-

5



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