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2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二(上)期末数学试卷解析


2014-2015 学年江苏省南通市启东中学高二(上)期末数学试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 2 1. (5 分) (2012?江苏模拟)命题 p:?x∈R,x +1>0 的否定是 . 2. (5 分) (2013?南通三模)设复数 z 满足(3+4i)z+5=0(i 是虚数单位) ,则复数 z 的模 为 . 3. (5 分) (2014 秋?启东市校级期末)“直线 l∥ 平面 α”是“直线 l?平面 α”成立的 条件 (在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个) . 2 4. (5 分) (2014 秋?启东市校级期末)抛物线 y=ax 的焦点坐标为 . 5. (5 分) (2013 秋?仪征市期末)函数 y= +2lnx 的单调减区间为 .

6. (5 分) (2014?镇江一模)已知双曲线 为 . 7. (5 分) (2012?陕西)观察下列不等式: , ,



=1 的离心率为

,则实数 m 的值

… 照此规律,第五个不等式为 . 8. (5 分) (2014 秋?启东市校级期末)若“任意 x∈R,不等式|x﹣1|﹣|x+1|>a”为假命题, 则实数 a 的取值范围为 . 9. (5 分) (2013 秋?金台区期末)以直线 3x﹣4y+12=0 夹在两坐标轴间的线段为直径的圆 的方程为 . 10. (5 分) (2014 秋?启东市校级期末)在 Rt△ ABC 中,AC⊥ BC,AC=a,BC=b,则△ ABC 的外接圆半径 r= ;类比到空间,若三棱锥 S﹣ABC 的三条侧棱 SA、SB、SC 两两

互相垂直,且长度分别为 a、b、c,则三棱锥 S﹣ABC 的外接球的半径 R= . 11. (5 分) (2014 秋?启东市校级期末)若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件: (ⅰ )直线 l 在点 P(x0,y0)处与曲线 C 相切; (ⅱ )曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧,则称直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C.下列命题正确的是 . 2 ① 直线 l:x=﹣1 在点 P(﹣1,0)处“切过”曲线 C:y=(x+1) ; 3 ② 直线 l:y=0 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=x ; ③ 直线 l:y=x﹣1 在点 P(1,0)处“切过”曲线 C:y=lnx; ④ 直线 l:y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=sinx; ⑤ 直线 l:y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=tanx. 2 2 2 12. (5 分) (2010?绍兴县校级模拟)若曲线 C:x +y +2ax﹣4ay+5a ﹣4=0 上所有的点均 在第二象限内,则 a 的取值范围为 .

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13. (5 分) (2014 秋?启东市校级期末)已知命题:“若数列{an}为等差数列,且 am=a,an=b (m<n,m,n∈N ) ,则 am+n=
* *

”.现已知数列{bn}(bn>0,n∈N )为等比数列,

*

且 bm=a,bn=b(m<n,m,n∈N ) ,若类比上述结论,则可得到 bm+n= . 2 2 14. (5 分) (2014 秋?启东市校级期末) 假设实数 m, n 满足 m +n =1, 且( f x) =ax+msinx+ncosx 的图象上存在两条切线互相垂直,则实数 a 的取值构成的集合为 . 二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (14 分) (2010?淳安县校级模拟) 已知 p: |1﹣ |≤2, q: x ﹣2x+1﹣m ≤0 (m>0) . 若
2 2

“非 p”是“非 q”的必要而不充分条件,求实数 m 的取值范围. 16. (14 分) (2014 秋?启东市校级期末)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,平面 PAB⊥ 平面 ABCD,BC∥ AD 且 2BC=AD,∠ PBC=90°,∠ PBA≠90°. (1)求证:平面 PBC⊥ 平面 PAB; (2)若平面 PAB∩ 平面 PCD=l,求证:直线 l 不平行于平面 ABCD. (用反证法证明)

17. (14 分) (2014 秋?启东市校级期末)圆 O1 的方程为 x +(y+1) =4,圆 O2 的圆心 O2 (2,1) . (1)若圆 O2 与圆 O1 外切,求圆 O2 的方程; (2)若圆 O2 与圆 O1 交于 A、B 两点,且|AB|=2 .求圆 O2 的方程. 3 2 18. (16 分) (2008?天心区校级模拟)已知函数 f(x)=x +ax +b 的图象在点 p(1,0)处 (即 p 为切点)的切线与直线 3x+y=0 平行. (1)求常数 a、b 的值; (2)求函数 f(x)在区间[0,t](t>0)上的最小值和最大值. 19. (16 分) (2013?眉山二模)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)是椭圆 , (a>b>0)

2

2

上的两点,已知向量 =(



) , =(



) ,且

,若椭圆的离心率



短轴长为 2,O 为坐标原点: (Ⅰ )求椭圆的方程; (Ⅱ )若直线 AB 过椭圆的焦点 F(0,c) , (c 为半焦距) ,求直线 AB 的斜率 k 的值; (Ⅲ )试问:△ AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由. 20. (16 分) (2010?广东模拟)已知函数 f(x)=lnx+ (1)试讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)存在极值,求 f(x)的零点个数.
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﹣kx(k 为常数)

四、 (附加题)试卷 21. (2014 秋?启东市校级期末) (1)求函数 f(x)=cos (ax+b)的导函数; (2)证明:若函数 f(x)可导且为周期函数,则 f′ (x)也为周期函数. 2 22. (2014 秋?启东市校级期末)设 M、N 为抛物线 C:y=x 上的两个动点,过 M、N 分别 作抛物线 C 的切线 l1、l2,与 x 轴分别交于 A、B 两点,且 l1 与 l2 相交于点 P,若 AB=1, 求点 P 的轨迹方程.
2

23. (2014 秋?启东市校级期末) 如图△ BCD 与△ MCD 都是边长为 2 的正三角形, 平面 MCD⊥ 平面 BCD,AB⊥ 平面 BCD, . (1)求点 A 到平面 MBC 的距离; (2)求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值.

24. (2014 秋?启东市校级期末)当 x∈(1,+∞)时,用数学归纳法证明:?n∈N ,e . (n!=1?2?3?…?(n﹣1)n)

*

x﹣1



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2014-2015 学年江苏省南通市启东中学高二(上)期末数 学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 2 2 1. (5 分) (2012?江苏模拟)命题 p:?x∈R,x +1>0 的否定是 ?x∈R,x +1≤0 . 考点: 专题: 分析: 解答: 命题的否定. 规律型. 本题中的命题是一个全称命题,其否定是一个特称命题,由规则写出否定命题即可 2 解:∵ 命题“?x∈R,x +1>0” 2 2 ∴ 命题“?x∈R,x +1>0”的否定是“?x∈R,x +1≤0” 2 故答案为:?x∈R,x +1≤0. 本题考查命题的否定,解题的关键是掌握并理解全称命题否定的书写方法,其规则是全 称命题的否定是特称命题,书写时注意量词的变化.
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点评:

2. (5 分) (2013?南通三模)设复数 z 满足(3+4i)z+5=0(i 是虚数单位) ,则复数 z 的模 为 1 . 考点: 专题: 分析: 解答: 复数求模. 计算题. 直接移项已知方程,两边求模,化简即可. 解:因为复数 z 满足(3+4i)z+5=0, 所以(3+4i)z=﹣5,两边求模可得:|(3+4i)||z|=5, 所以|z|=1. 故答案为:1. 本题考查复数的模的求法,复数积的模等于复数模的积,考查计算能力.
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点评:

3. (5 分) (2014 秋?启东市校级期末)“直线 l∥ 平面 α”是“直线 l?平面 α”成立的 充分不必 要 条件 (在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个) . 考点: 专题: 分析: 解答: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 简易逻辑. 根据线面平行的定义以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 解:若直线 l∥ 平面 α,则直线 l?平面 α 成立, 若直线 l?平面 α,则直线 l∥ 平面 α 或 l 与平面 α 相交, 故“直线 l∥ 平面 α”是“直线 l?平面 α”成立的充分不必要条件, 故答案为:充分不必要 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据线面平行的定义是解决本题的关键.
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点评:

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4. (5 分) (2014 秋?启东市校级期末)抛物线 y=ax 的焦点坐标为 (0,

2





考点: 专题: 分析: 解答:

抛物线的简单性质. 圆锥曲线的定义、性质与方程. 先把抛物线方程整理成标准方程,进而根据抛物线的性质可得焦点坐标.
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解:当 a>0 时,整理抛物线方程得 x = y,即 p= 由抛物线 x =2py(p>0)的焦点为(0, ) , 所求焦点坐标为(0, 当 a<0 时,同样可得. 故答案为: (0, ) . ) .
2

2



点评:

本题主要考查了抛物线的标准方程、抛物线的性质,属基础题.

5. (5 分) (2013 秋?仪征市期末)函数 y= +2lnx 的单调减区间为 (0, ] .

考点: 专题: 分析: 解答:

利用导数研究函数的单调性. 计算题. 先利用导数运算公式计算函数的导函数 y′ ,再解不等式 y′ <0,即可解得函数的单调递 减区间
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解:∵

=

(x>0)

由 y′ >0,得 x> ,由 y′ <0,得 0<x< , ∴ 函数 的单调减区间为(0, ]

故答案为(0, ] 点评: 本题主要考查了导数的运算和导数在函数单调性中的应用, 利用导数求函数单调区间的 方法,解题时注意函数的定义域,避免出错

6. (5 分) (2014?镇江一模) 已知双曲线



=1 的离心率为

, 则实数 m 的值为 4 .

考点: 专题:

双曲线的简单性质. 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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分析: 利用双曲线 解答: 解:∵ 双曲线 ∴ , ﹣ =1 的离心率为 , ﹣ =1 的离心率为 ,可得 ,即可求出实数 m 的值.

点评:

∴ m=4. 故答案为:4. 本题考查双曲线的简单性质,考查离心率,考查学生的计算能力,属于基础题.

7. (5 分) (2012?陕西)观察下列不等式: , ,

… 照此规律,第五个不等式为 1+ + + + + < .

考点: 专题: 分析:

解答:

归纳推理. 探究型. 由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性:左边式子是连续正整数平方的倒数和, 最后一个数的分母是不等式序号 n+1 的平方, 右边分式中的分子与不等式序号 n 的关系 是 2n+1,分母是不等式的序号 n+1,得出第 n 个不等式,即可得到通式,再令 n=5,即 可得出第五个不等式 解:由已知中的不等式
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1+

,1+

+

,…

得出左边式子是连续正整数平方的倒数和, 最后一个数的分母是不等式序号 n+1 的平方 右边分式中的分子与不等式序号 n 的关系是 2n+1,分母是不等式的序号 n+1, 故可以归纳出第 n 个不等式是 1+ …+ < , (n≥2) ,

所以第五个不等式为 1+

+

+

+

+



故答案为:1+

+

+

+

+



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点评:

本题考查归纳推理,解题的关键是根据所给的三个不等式得出它们的共性,由此得出通 式,本题考查了归纳推理考察的典型题,具有一般性

8. (5 分) (2014 秋?启东市校级期末)若“任意 x∈R,不等式|x﹣1|﹣|x+1|>a”为假命题,则 实数 a 的取值范围为 [﹣2,+∞) . 考点: 专题: 分析: 解答: 绝对值不等式的解法. 计算题;不等式的解法及应用;简易逻辑. 利用已知判断出否命题为真命题,构造函数,利用绝对值的几何意义求出函数的最小值, 令最小值不大于 a,即可得到 a 的范围. 解:由于“任意 x∈R,不等式|x﹣1|﹣|x+1|>a”为假命题, 则命题“存在 x∈R,不等式|x﹣1|﹣|x+1|≤a”为真命题. 令 y=|x﹣1|﹣|x+1|,y 表示数轴上的点 x 到数﹣1 及 1 的距离之差, 所以 y 的最小值为﹣2, ∴ a≥﹣2. 故答案为:[﹣2,+∞) . 本题考查命题 p 与命题¬p 真假相反,考查绝对值的几何意义,考查不等式恒成立常转 化为求函数的最值.
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点评:

9. (5 分) (2013 秋?金台区期末)以直线 3x﹣4y+12=0 夹在两坐标轴间的线段为直径的圆 的方程为 (x+2) +(y﹣ ) =
2 2



考点: 专题: 分析:

圆的标准方程. 计算题;直线与圆. 根据直线 3x﹣4y+12=0 方程求出它与 x 轴、y 轴交点 A、B 的坐标,从而得到 AB 中点为
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C(﹣2, ) ,即为所求圆的圆心.再用两点的距离公式,算出半径 r= |AB|= ,最后根 据圆的标准方程列式即可得到所求圆的方程. 解:∵ 对直线 3x﹣4y+12=0 令 x=0,得 y=3;令 y=0,得 x=﹣4 ∴ 直线 3x﹣4y+12=0 交 x 轴于 A(﹣4,0) ,交 y 轴于 B(0,3) ∵ 所求的圆以 AB 为直径 ∴ 该圆以 AB 中点 C 为圆心,半径长为 |AB| ∵ AB 中点 C 坐标为( |AB|=
2

解答:



) ,即 C(﹣2, ) =
2

∴ 圆 C 的方程为(x+2) +(y﹣ ) = 故答案为: (x+2) +(y﹣ ) = 点评:
2 2

,即(x+2) +(y﹣ ) =

2

2

本题给出已知直线,求以直线被两坐标轴截得线段为直径的圆方程,着重考查了中点坐 标公式、圆的标准方程和两点间的距离公式等知识,属于基础题.
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10. (5 分) (2014 秋?启东市校级期末)在 Rt△ ABC 中,AC⊥ BC,AC=a,BC=b,则△ ABC 的外接圆半径 r= ;类比到空间,若三棱锥 S﹣ABC 的三条侧棱 SA、SB、SC 两两

互相垂直, 且长度分别为 a、 b、 c, 则三棱锥 S﹣ABC 的外接球的半径 R=



考点: 专题: 分析:

解答:

球的体积和表面积. 计算题;空间位置关系与距离;推理和证明;球. 直角三角形外接圆半径为斜边长的一半,由类比推理可知若三棱锥的三条侧棱两两互相 垂直且长度分别为 a,b,c,将三棱锥补成一个长方体,其外接球的半径 R 为长方体对 角线长的一半. 解:若三棱锥三条侧棱两两垂直,侧棱长分别为 a,b,c,
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可补成一个长方体,体对角线长为 ∵ 体对角线就是外接球的直径, ∴ 棱锥的外接球半径 R= .



故答案为: 点评:



本题考查球与内接三棱锥的位置关系,考查球的半径的求法,考查类比思想的运用,属 于基础题.

11. (5 分) (2014 秋?启东市校级期末)若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件: (ⅰ )直线 l 在点 P(x0,y0)处与曲线 C 相切; (ⅱ )曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧,则称直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C.下列命题正确的是 ② ④ ⑤ . ① 直线 l:x=﹣1 在点 P(﹣1,0)处“切过”曲线 C:y=(x+1) ; 3 ② 直线 l:y=0 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=x ; ③ 直线 l:y=x﹣1 在点 P(1,0)处“切过”曲线 C:y=lnx; ④ 直线 l:y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=sinx; ⑤ 直线 l:y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=tanx. 考点: 专题: 分析: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 新定义;导数的概念及应用. 分别求出每一个命题中曲线 C 的导数,得到曲线在点 P 处的导数值,求出曲线在点 P 处 的切线方程,再由曲线在点 P 两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足 (ii) ,则正确的选项可求.
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2

解答:

解:对于① ,由 y=(x+1) ,得 y′ =2(x+1) ,则 y′ |x=﹣1=0, 而直线 l:x=﹣1 的斜率不存在,在点 P(﹣1,0)处不与曲线 C 相切,故① 错误; 3 2 对于② ,由 y=x ,得 y′ =3x ,则 y′ |x=0=0,直线 y=0 是过点 P(0,0)的曲线 C 的切线,
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2

又当 x>0 时 y>0,当 x<0 时 y<0,满足曲线 C 在 P(0,0)附近位于直线 y=0 两侧, 故② 正确; 对于③ ,由 y=lnx,得 y′ = ,则 y′ |x=1=1,曲线在 P(1,0)处的切线为 y=x﹣1, 由 g(x)=x﹣1﹣lnx,得 g′ (x)=1﹣ ,当 x∈(0,1)时,g′ (x)<0,当 x∈(1,+∞) 时, g′ (x)>0.则 g(x)在(0,+∞)上有极小值也是最小值,为 g(1)=0. 即 y=x﹣1 恒在 y=lnx 的上方,不满足曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧,故③ 错误; 对于④ ,由 y=sinx,得 y′ =cosx,则 y′ |x=0=1,直线 y=x 是过点 P(0,0)的曲线的切线, 又 x∈(﹣ ,0)时 x<sinx,x∈(0, )时 x>sinx,满足曲线 C 在 P(0,0)附近

位于直线 y=x 两侧, 故④ 正确; 2 对于⑤ ,y=tanx 的导数为 y′ =sec x,则 y′ |x=0=1,直线 y=x 是过点 P(0,0)的曲线的切 线, 又 x∈(﹣ ,0)时 x>tanx,x∈(0, )时 x<tanx,满足曲线 C 在 P(0,0)附近

点评:

位于直线 y=x 两侧, 故⑤ 正确. 故答案为:② ④ ⑤ . 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,综合考查导数的应用:求单调区 间和极值、最值,同时考查新定义的理解,属于中档题和易错题.
2 2 2

12. (5 分) (2010?绍兴县校级模拟)若曲线 C:x +y +2ax﹣4ay+5a ﹣4=0 上所有的点均在 第二象限内,则 a 的取值范围为 (2,+∞) . 考点: 专题: 分析: 圆方程的综合应用. 计算题. 2 2 2 由已知中曲线 C 的方程 x +y +2ax﹣4ay+5a ﹣4=0,我们易求出圆的标准方程,进而确定 2 2 2 圆的圆心为(﹣a,2a) ,圆的半径为 2,然后根据曲线 C:x +y +2ax﹣4ay+5a ﹣4=0 上 所有的点均在第二象限内,易构造出关于 a 的不等式组,解不等式组,即可得到 a 的取 值范围. 2 2 2 解:由已知圆的方程为 x +y +2ax﹣4ay+5a ﹣4=0 2 2 则圆的标准方程为: (x+a) +(y﹣2a) =4 故圆的圆心为(﹣a,2a) ,圆的半径为 2 2 2 2 若曲线 C:x +y +2ax﹣4ay+5a ﹣4=0 上所有的点均在第二象限内, 则 a>0,且|﹣a|>2 解得 a>2 故 a 的取值范围为(2,+∞) 故答案为: (2,+∞) 2 2 2 本题考查的知识点是圆的方程的综合应用,其中根据曲线 C:x +y +2ax﹣4ay+5a ﹣4=0 上所有的点均在第二象限内,构造出满足条件的不等式组,是解答本题的关键.
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解答:

点评:

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13. (5 分) (2014 秋?启东市校级期末)已知命题:“若数列{an}为等差数列,且 am=a,an=b (m<n,m,n∈N ) ,则 am+n=
*

”.现已知数列{bn}(bn>0,n∈N )为等比数列,

*

且 bm=a,bn=b(m<n,m,n∈N ) ,若类比上述结论,则可得到 bm+n=

*



考点: 专题: 分析:

类比推理. 探究型;推理和证明. 首先根据等差数列和等比数列的性质进行类比, 等差数列中的 bn﹣am 可以类比等比数列
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中的

,等差数列中的

可以类比等比数列中的

,很快就能得到

解答:

答案. n m 解:等差数列中的 bn 和 am 可以类比等比数列中的 b 和 a , 等差数列中的 bn﹣am 可以类比等比数列中的 ,

等差数列中的

可以类比等比数列中的



故 bm+n=



故答案为 点评: 本题主要考查类比推理的知识点,解答本题的关键是熟练掌握等差数列和等比数列的性 质,根据等差数列的所得到的结论,推导出等比数列的结论,本题比较简单.
2 2

14. (5 分) (2014 秋?启东市校级期末) 假设实数 m, n 满足 m +n =1, 且( f x) =ax+msinx+ncosx 的图象上存在两条切线互相垂直,则实数 a 的取值构成的集合为 {0} . 考点: 专题: 分析: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 导数的概念及应用;三角函数的图像与性质;直线与圆.
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解答:

先利用辅助角公式和 m +n =1 将函数 f(x)化简为 f(x)=ax+sin(x+φ) ,求出 f′ (x) , 根据 f(x)的图象上存在两条切线垂直,不妨设在 x=b 与 x=c 处的切线互相垂直,则由导 数的几何意义, 分别求出两条切线的斜率 k1=f′ (b) =a+cos (b+φ) , k2=f′ (c) =a+cos (c+φ) , 则[a+cos(b+φ)][a+cos(c+φ)]=﹣1,化简为关于 a 的一元二次方程要有实数根,从而得 到△ ≥0, 再利用三角函数的有界性, 即可得到 cos (b+φ) =1, cos (c+φ) =﹣1 或者 cos (b+φ) =﹣1,cos(c+φ)=1,代入到[a+cos(b+φ)][a+cos(c+φ)]=﹣1,即可求出 a=0. 解:∵ f(x)=ax+msinx+ncosx ∴ f(x)=ax+ sin(x+φ) ,
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2

2

∵ m +n =1, ∴ f(x)=ax+sin(x+φ) , ∴ f′ (x)=a+cos(x+φ) , ∵ f(x)=ax+msinx+ncosx 的图象上存在两条切线垂直, 设在 x=b 与 x=c 处的切线互相垂直, 则 k1=f′ (b)=a+cos(b+φ) ,k2=f′ (c)=a+cos(c+φ) , ∴ k1?k2=﹣1, 即[a+cos(b+φ)][a+cos(c+φ)]=﹣1, 2 ∴ 关于 a 的二次方程 a +[cos(b+φ)+cos(c+φ)]a+cos(b+φ)cos(c+φ)+1=0 有实数根, 2 ∴ △ =[cos(b+φ)+cos(c+φ)] ﹣4×[cos(b+φ)cos(c+φ)+1] 2 =[cos(b+φ)﹣cos(c+φ)] ﹣4≥0, 又∵ ﹣2≤cos(b+φ)﹣cos(c+φ)≤2, ∴ [cos(b+φ)﹣cos(c+φ)] ≤4,即[cos(b+φ)﹣cos(c+φ)] ﹣4≤0, 2 ∴ [cos(b+φ)﹣cos(c+φ)] ﹣4=0 ∴ cos(b+φ)=1,cos(c+φ)=﹣1 或者 cos(b+φ)=﹣1,cos(c+φ)=1, ∵ [a+cos(b+φ)][a+cos(c+φ)]=﹣1, ∴ a ﹣1=﹣1, ∴ a=0, 故答案为:{0}. 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,两直线垂直的条件.导数的几何意义即在 某点处的导数即该点处切线的斜率,解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上.属 于中档题.
2 2 2

2

2

点评:

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (14 分) (2010?淳安县校级模拟) 已知 p: |1﹣ |≤2, q: x ﹣2x+1﹣m ≤0 (m>0) . 若
2 2

“非 p”是“非 q”的必要而不充分条件,求实数 m 的取值范围. 考点: 分析: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;一元二次不等式的解法;绝对值不等式的解法.
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思路一:“按题索骥”﹣﹣解不等式,求否命题,再根据充要条件的集合表示进行求解; 思路二:本题也可以根据四种命题间的关系进行等价转换,然后再根据充要条件的集合表 示进行求解. 解:解法一:由 p:|1﹣ |≤2,解得﹣2≤x≤10,

解答:

∴ “非 p”:A={x|x>10 或 x<﹣2}、 (3 分) 2 2 由 q:x ﹣2x+1﹣m ≤0,解得 1﹣m≤x≤1+m(m>0) ∴ “非 q”:B={x|x>1+m 或 x<1﹣m,m>0=(6 分) 由“非 p”是“非 q”的必要而不充分条件可知:B?A.

解得 m≥9.

∴ 满足条件的 m 的取值范围为{m|m≥9}. (12 分) 解法二:由“非 p”是“非 q”的必要而不充分条件.即“非 q”?“非 p”,但“非 p”
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“非 q”,可

以等价转换为它的逆否命题:“p?q,但 q 由|1﹣ |≤2,解得﹣2≤x≤10,

p”.即 p 是 q 的充分而不必要条件.

∴ p={x|﹣2≤x≤10} 2 2 由 x ﹣2x+1﹣m ≤0,解得 1﹣m≤x≤1+m(m>0) ∴ q={x|1﹣m≤x≤1+m,m>0} 由 p 是 q 的充分而不必要条件可知:

p?q?

解得 m≥9.

点评:

∴ 满足条件的 m 的取值范围为{m|m≥9}. 本题考查了绝对值不等式与一元二次不等式的解法,又考了命题间的关系的理解;两个知 识点的简单结合构成了一道难度不太大但是要么得分不高,要么因为这道题导致整张卷子 答不完,所以对于此类问题要平时加强计算能力的培养.

16. (14 分) (2014 秋?启东市校级期末) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 平面 PAB⊥ 平面 ABCD, BC∥ AD 且 2BC=AD,∠ PBC=90°,∠ PBA≠90°. (1)求证:平面 PBC⊥ 平面 PAB; (2)若平面 PAB∩ 平面 PCD=l,求证:直线 l 不平行于平面 ABCD. (用反证法证明)

考点: 专题: 分析:

解答:

平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 空间位置关系与距离. (1) 自 P 作 PH⊥ AB 于 H, 由平面 PAB⊥ 平面 ABCD, 可得 PH⊥ 平面 ABCD. 于是 BC⊥ PH. 又 BC⊥ PB,可得 BC⊥ 平面 PAB,即可证明平面 PBC⊥ 平面 PAB; (2)利用反证法,证明 AB∥ CD,即四边形 ABCD 为平行四边形,得到矛盾即可得到结 论. (1)证明:自 P 作 PH⊥ AB 于 H, 因为平面 PAB⊥ 平面 ABCD,且平面 PAB∩ 平面 ABCD=AB,PH?平面 PAB, 所以 PH⊥ 平面 ABCD. 因为 BC?平面 ABCD, 所以 BC⊥ PH. 因为∠ PBC=90°, 所以 BC⊥ PB, 而∠ PBA≠90°,于是点 H 与 B 不重合,即 PB∩ PH=P. 因为 PB,PH?平面 PAB, 所以 BC⊥ 平面 PAB.
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因为 BC?平面 PBC, 故平面 PBC⊥ 平面 PAB; (2)不平行, 反证法: 假设直线 l 平行于平面 ABCD, 由于 l?平面 PCD,且平面 PCD∩ 平面 ABCD=CD, ∴ l∥ CD, 同理可得 l∥ AB, 即 AB∥ CD, ∵ BC∥ AD, ∴ 四边形 ABCD 为梯形, 则 AD=BC,与 2BC=AD 矛盾, 故假设不成立, 即直线 l 不平行于平面 ABCD.

点评:

本题主要考查面面垂直和线面平行的判定,要求熟练掌握相应的判定定理.
2 2

17. (14 分) (2014 秋?启东市校级期末)圆 O1 的方程为 x +(y+1) =4,圆 O2 的圆心 O2 (2,1) . (1)若圆 O2 与圆 O1 外切,求圆 O2 的方程; (2)若圆 O2 与圆 O1 交于 A、B 两点,且|AB|=2 .求圆 O2 的方程. 考点: 专题: 分析: 圆与圆的位置关系及其判定. 直线与圆. (1)通过圆心距对于半径和,求出圆的半径,即可求出圆的方程. (2)利用圆心距与写出的故选求出,圆到直线的距离,然后求出所求圆的半径,即可 求出圆的方程. 2 2 解: (1)圆 O1 的方程为 x +(y+1) =4,圆心坐标(0,﹣1) ,半径为:2, 圆 O2 的圆心 O2(2,1) .
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解答:

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圆心距为:

=2

,圆 O2 与圆 O1 外切,

所求圆的半径为:2 , 2 2 圆 O2 的方程(x﹣2) +(y﹣1) =12﹣8 , (2)圆 O2 与圆 O1 交于 A、B 两点,且|AB|=2 所以圆 O1 交到 AB 的距离为: 当圆 O2 到 AB 的距离为: 圆 O2 的半径为: 圆 O2 的方程: (x﹣2) +(y﹣1) =4. 当圆 O2 到 AB 的距离为:3 , 圆 O2 的半径为:
2 2 2 2

. = ,

, =2.

=



点评:

圆 O2 的方程: (x﹣2) +(y﹣1) =20. 2 2 2 2 综上:圆 O2 的方程: (x﹣2) +(y﹣1) =4 或(x﹣2) +(y﹣1) =20. 本题考查两个圆的位置关系,圆的方程的求法,考查计算能力.
3 2

18. (16 分) (2008?天心区校级模拟)已知函数 f(x)=x +ax +b 的图象在点 p(1,0)处 (即 p 为切点)的切线与直线 3x+y=0 平行. (1)求常数 a、b 的值; (2)求函数 f(x)在区间[0,t](t>0)上的最小值和最大值. 考点: 专题: 分析: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上 函数的最值. 计算题. (1)由题目条件知,点 P(1,0)为切点,且函数在改点处的导数值为切线的斜率,从 而建立关于 a,b 的方程,可求得 a,b 的值; (2)由(1)确定了函数及其导数的解析式,解不等式 f'(x)>0 与 f'(x)<0,可求 出函数的单调区间,讨论 t 与区间(0,2]的位置关系,根据函数的单调性分别求出函数 f(x)在区间[0,t](t>0)上的最小值和最大值. 2 解: (1)f'(x)=3x +2ax, 3 2 因为函数 f(x)=x +ax +b 的图象在点 p(1,0)处(即 p 为切点)的切线与直线 3x+y=0 平行, 所以 f'(1)=3+2a=﹣3, ∴ a=﹣3. 又 f(1)=a+b+1=0 ∴ b=2. 综上:a=﹣3,b=2 3 2 2 (2)由(1)知,f(x)=x ﹣3x +2,f'(x)=3x ﹣6x. 令 f'(x)>0 得:x<0 或 x>2,f'(x)<0 得:0<x<2 ∴ f(x)的单调递增区间为(﹣∞,0) , (2,+∞) ,单调递减区间为(0,2) . 又 f(0)=2,f(3)=2 3 2 ∴ 当 0<t≤2 时,f(x)的最大值为 f(0)=2,最小值为 f(t)=t ﹣3t +2;
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解答:

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当 2<t≤3 时,f(x)的最大值为 f(0)=2,最小值为 f(2)=﹣2; 点评: 当 t>3 时,f(x)的最大值为 f(t)=t ﹣3t +2,最小值为 f(2)=﹣2 本题主要考查了利用导数研究函数的最大值,最小值,同时考查了导数的几何意义,以 及学生灵活转化题目条件的能力,属于中档题.
3 2

19. (16 分) (2013?眉山二模)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)是椭圆

, (a>b>0)

上的两点,已知向量 =(



) , =(



) ,且

,若椭圆的离心率



短轴长为 2,O 为坐标原点: (Ⅰ )求椭圆的方程; (Ⅱ )若直线 AB 过椭圆的焦点 F(0,c) , (c 为半焦距) ,求直线 AB 的斜率 k 的值; (Ⅲ )试问:△ AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由. 考点: 专题: 分析: 直线与圆锥曲线的综合问题. 计算题;压轴题. (Ⅰ )根据题意可求得 b,进而根据离心率求得 a 和 c,则椭圆的方程可得.
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(Ⅱ )设出直线 AB 的方程,与椭圆方程联立消去 y,表示出 x1+x2 和 x1x2,利用 立方程求得 k. (Ⅲ )先看当直线的斜率不存在时,可推断出 x1=x2,y1=﹣y2,根据



=0 求得 x1 和 y1

的关系式,代入椭圆的方程求得|x1|和|y1|求得三角形的面积;再看当直线斜率存在时,设 出直线 AB 的方程,与椭圆方程联立,利用韦达定理表示出 x1+x2 和 x1x2,利用 求得 2b ﹣k =4,最后利用弦长公式和三角形面积公式求得答案. 解答: 解: (Ⅰ )2b=2.b=1,e=
2 2

=0

椭圆的方程为

(Ⅱ )由题意,设 AB 的方程为 y=kx+

由已知

=0 得:

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= ,解得 k=± (Ⅲ ) (1)当直线 AB 斜率不存在时,即 x1=x2,y1=﹣y2, 由 =0,则

又 A(x1,y1)在椭圆上,所以 S= 所以三角形的面积为定值 (2)当直线 AB 斜率存在时,设 AB 的方程为

y=kx+b

得到 x1+x2=

代入整理得: 2b ﹣k =4 = 所以三角形的面积为定值 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.设直线方程的时候,一定要考虑斜率不存 在时的情况,以免有所遗漏.
2 2

点评:

20. (16 分) (2010?广东模拟)已知函数 f(x)=lnx+ (1)试讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)存在极值,求 f(x)的零点个数. 考点: 专题: 分析:

﹣kx(k 为常数)

利用导数研究函数的单调性;根的存在性及根的个数判断. 导数的综合应用. (1)先求出 f′ (x)=
2

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,而方程 x ﹣kx+1=0 的判别式△ =k ﹣4,再讨论(i)当

2

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﹣2<k<2 时(ii)当 k=±2 时, (iii)当 k<﹣2 或 k>2 时的情况,从而求出函数的单调 区间; (2)由(1)知当 k>2 时,得 f 极大值(x)=f(x1 )= <0,当 x∈(0,x2]

解答:

时,f(x)≤f(x1)<0,即 f(x)在(0,x2]无零点,当 x∈(x2,+∞)时,f(x)是增 函数,故 f(x)在(x2,+∞)至多有一个零点,另一方面,f(x)在(x2,2k)至少有一 个零点,进而当 f(x)存在极值时,f(x)有且只有一个零点. 解: (1)函数的定义域为(0,+∞) , f′ (x)=
2


2

方程 x ﹣kx+1=0 的判别式△ =k ﹣4, (i)当﹣2<k<2 时,△ <0,在 f(x)的定义域内 f′ (x)>0, f(x)是增函数; (ii)当 k=±2 时,△ =0, 若 k=﹣2,f′ (x)= >0,f(x)是增函数

若 k=2,f′ (x)=



那么 x∈(0,1)∪ (1,+∞)时,f′ (x)>0,且 f(x)在 x=1 处连续, 所以 f(x)是增函数; (iii)当 k<﹣2 或 k>2 时,△ >0,方程 x ﹣kx+1=0 有两不等实根 x1= ,x2= ,
2 2

当 k<﹣2 时,x1<x2<0,当 x>0 时,x ﹣kx+1>0 恒成立, 即 f′ (x)>0,f(x)是增函数 当 k>2 时,x2>x1>0,此时 f(x)的单调性如下表: x (0, (x1, x) x2 (x2, x1 +∞) x1 ) 0 0 + f′ (x) + ﹣ f(x) 增 减 增 综上:当 k≤2 时,f(x)在(0,+∞)是增函数 当 k>2 时,f(x)在(0, ) , ( ,+∞)是增函数,

在(



)是减函数;

(2)由(1)知当 k>2 时,f(x)有极值

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∵ x1= ∴ lnx1<0,

=

< <1,

且 f 极大值(x)=f(x1 )=

<0,

点评:

∵ f(x)在(0,x1 )是增函数,在(x1,x2)是减函数, ∴ 当 x∈(0,x2]时,f(x)≤f(x1)<0,即 f(x)在(0,x2]无零点, 当 x∈(x2,+∞)时,f(x)是增函数,故 f(x)在(x2,+∞)至多有一个零点, 另一方面,∵ f(2k)=ln(2k)>0,f(x2)<0,则 f(x2)f(2k)<0, 由零点定理:f(x)在(x2,2k)至少有一个零点, ∴ f(x)在(x2,+∞)有且只有一个零点 综上所述,当 f(x)存在极值时, f(x)有且只有一个零点. 本题考查了函数的单调性,函数的最值问题,考查导数的应用,考查根的存在性及根的个 数问题,是一道综合题.

四、 (附加题)试卷 2 21. (2014 秋?启东市校级期末) (1)求函数 f(x)=cos (ax+b)的导函数; (2)证明:若函数 f(x)可导且为周期函数,则 f′ (x)也为周期函数. 考点: 专题: 分析: 导数的运算;函数的周期性. 导数的综合应用. (1)利用倍角公式降幂,然后利用基本初等函数的导数公式及简单的复合函数的导数得 答案; (2)函数 f(x)可导且为周期函数,则存在 a≠0,使得 f(x+a)=f(x) ,两边对 x 求导数 即可证明 f′ (x)也为周期函数.
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解答:

(1)解:由 f(x)=cos (ax+b)=

2

,得 =﹣asin(2ax+2b) ;

点评:

(2)证明:函数 f(x)可导且为周期函数,则存在 a≠0,使得 f(x+a)=f(x) , 两边对 x 求导得 f'(x+a)=f'(x) , ∴ 以 f'(x)是以 a 为周期的周期函数. 本题考查了对数的运算, 考查了基本初等函数的导数公式, 考查了简单的复合函数的导数, 是基础题.
2

22. (2014 秋?启东市校级期末)设 M、N 为抛物线 C:y=x 上的两个动点,过 M、N 分别 作抛物线 C 的切线 l1、l2,与 x 轴分别交于 A、B 两点,且 l1 与 l2 相交于点 P,若 AB=1, 求点 P 的轨迹方程.

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考点: 专题: 分析: 解答:

轨迹方程. 导数的综合应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 设 P(x,y) ,M(x1,x1 ) ,N(x2,x2 ) ,由导数求得两直线的斜率,用点斜式求得 l1 的 方程,同理求得 l2 的方程,由此建立 x,y 的方程. 2 2 解:设 P(x,y) ,M(x1,x1 ) ,N(x2,x2 ) ,
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由 y=x ,得 y′ =2x,∴
2

2

=2x1,
2

∴ l1 的方程为 y﹣x1 =2x1(x﹣x1) ,即 y=2x1x﹣x1 2 同理,l2 的方程为 y=2x2x﹣x2 ② , 令 y=0,可求出 A( ,0) ,B(
2

① ,

,0) .

∵ |AB|=1,∴ |x1﹣x2|=2,即|x1+x2| ﹣4x1x2 =4, 由① ,② ,得 故点 P( ,y=x1x2, ,x1x2) .
2

点评:

∴ 点 P 的轨迹方程为:y=x ﹣1, 本题考查了轨迹方程的求法,考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,体现了整 体运算思想方法,是中档题.

23. (2014 秋?启东市校级期末) 如图△ BCD 与△ MCD 都是边长为 2 的正三角形,平面 MCD⊥ 平面 BCD,AB⊥ 平面 BCD, . (1)求点 A 到平面 MBC 的距离; (2)求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值.

考点:

二面角的平面角及求法;用空间向量求直线间的夹角、距离.
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专题: 分析:

解答:

综合题;空间角. (1)取 CD 的中点,连接 OB,OM,则 OB⊥ CD,OM⊥ CD,又平面 MCD⊥ 平面 BCD, 则 MO⊥ 平面 BCD,故 MO∥ AB,A,B,O,M 共面,延长 AM,BO 相交于 E,则∠ AEB 就是 AM 与平面 BCD 所成的角,由此能求出点 A 到平面 MBC 的距离. (2)CE 是平面 ACM 与平面 BCD 的交线,由(1)知,O 是 BE 的中点,则 BCED 是 菱形,作 BF⊥ EC 于 F,连接 AF,∠ AFB 是二面角 A﹣EC﹣B 的平面角,由此能求出平 面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值. 解: (1)取 CD 的中点,连接 OB,OM,则 OB⊥ CD,OM⊥ CD, 又平面 MCD⊥ 平面 BCD, 则 MO⊥ 平面 BCD, ∴ MO∥ AB,A,B,O,M 共面, 延长 AM,BO 相交于 E,则∠ AEB 就是 AM 与平面 BCD 所成的角, OB=MO= , MO∥ AB,MO∥ 面 ABC, M,O 到平面 ABC 的距离相等,作 OH⊥ BC 于 H, 连接 MH,则 MH⊥ BC, ∴ OH=OC?sin60°= ,MH= ,

∵ VA﹣MBC=VM﹣ABC, ∴ d= .

(2)CE 是平面 ACM 与平面 BCD 的交线, 由(1)知,O 是 BE 的中点,则 BCED 是菱形, 作 BF⊥ EC 于 F,连接 AF,∠ AFB 是二面角 A﹣EC﹣B 的平面角,设为 θ, ∵ ∠ BCE=120°,∴ ∠ BCF=60°, BF=BC?sin60°= , tanθ= ,sinθ= , .

所以平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值为

点评:

本题考查点到平面的距离的求法,考查二面角的正弦值的求法.解题时要认真审题,注 意合理地化空间问题为平面问题.

第 20 页(共 21 页)

24. (2014 秋?启东市校级期末)当 x∈(1,+∞)时,用数学归纳法证明:?n∈N ,e . (n!=1?2?3?…?(n﹣1)n)

*

x﹣1



考点: 专题: 分析:

数学归纳法. 导数的概念及应用;点列、递归数列与数学归纳法.
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构造函数 gn(x)=e

x﹣1



,当 n=1 时,只需证明 g1(x)=e

x﹣1

﹣x>0(利用导数法易
x﹣1

证) ;当 x∈(1,+∞)时,假设 n=k 时不等式成立,即 gk(x)=e 当 n=k+1 时,不等式也成立,从而证得结论成立即可. 解答: 证明:设 gn(x)=e
x﹣1



>0,去证明




x﹣1 x﹣1

当 n=1 时,只需证明 g1(x)=e ﹣x>0,当 x∈(1,+∞)时,g1′ (x)=e ﹣1>0, x﹣1 0 x﹣1 所以 g1(x)=e ﹣x 在(1,+∞)上是增函数,∴ g1(x)>g1(1)=e ﹣1=0,即 e >x; 当 x∈(1,+∞)时, 假设 n=k 时不等式成立,即 gk(x)=e 当 n=k+1 时, 因为 gk+1′ (x)=e
x﹣1 x﹣1



>0,



=e

x﹣1



>0,

所以 gk+1(x)在(1,+∞)上也是增函数. 所以 g(x)>gk+1(1)=e ﹣ 即当 n=k+1 时,不等式成立. 由归纳原理,知当 x∈(1,+∞)时,?n∈N ,e 点评:
* x﹣1 0

=1﹣

>0,





本题考查数学归纳法的应用,考查构造函数思想与导数法判断函数的单调性质的综合应 用,考察推理证明能力,属于难题.

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