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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 13.5 复数 理



【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮复习 第十三章 推理与 证明、算法、复数 13.5 复数 理

1.复数的有关概念 (1)定义:形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中 a 叫做实部,b 叫做虚部.(i 为虚数单 位) (2)分类: 满足条件(a,b 为实数)

a+bi 为实数?b=0
复数的分类

>
a+bi 为虚数?b≠0 a+bi 为纯虚数?a=0 且 b≠0

(3)复数相等:a+bi=c+di?a=c 且 b=d(a,b,c,d∈R). (4)共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭?a=c,b=-d(a,b,c,d∈R). → 2 2 (5)模:向量OZ的模叫做复数 z=a+bi 的模,记作|a+bi|或|z|,即|z|=|a+bi|= a +b (a,b∈R). 2.复数的几何意义 → 复数 z=a+bi 与复平面内的点 Z(a,b)及平面向量OZ=(a,b)(a,b∈R)是一一对应法则. 3.复数的运算 (1)运算法则:设 z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.

(2)几何意义:复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行. → → → → 如图给出的平行四边形 OZ1ZZ2 可以直观地反映出复数加减法的几何意义, 即OZ=OZ1+OZ2, Z1Z2 → → =OZ2-OZ1.

1

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程 x +x+1=0 没有解.( × ) (2)复数 z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为 bi.( × ) (3)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点.( √ ) (5) 复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的 模.( √ )
2

1.(2015·安徽改编)设 i 是虚数单位,则复数(1-i)(1+2i)=__________. 答案 3+i 解析 (1-i)(1+2i)=1+2i-i-2i =1+i+2=3+i. 2.(2015·课标全国Ⅰ改编)已知复数 z 满足(z-1)i=1+i,则 z=__________. 答案 2-i 解析 由(z-1)i=1+i,两边同乘以-i,则有 z-1=1-i,所以 z=2-i. 3.在复平面内,复数 6+5i,-2+3i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点,则点 C 对应的复数是_________________. 答案 2+4i 解析 ∵A(6,5),B(-2,3),∴线段 AB 的中点 C(2,4), 则点 C 对应的复数为 z=2+4i. 4.已知 a,b∈R,i 是虚数单位.若 a+i=2-bi,则(a+bi) =__________. 答案 3-4i 解析 ∵a,b∈R,a+i=2-bi,∴a=2,b=-1, ∴(a+bi) =(2-i) =3-4i. 5.(教材改编)已知(1+2i) z =4+3i,则 z=________. 答案 2+i 解析 ∵ z = ∴z=2+i.
2
2 2 2 2

4+3i ?4+3i??1-2i? 10-5i = = =2-i, 1+2i ?1+2i??1-2i? 5

题型一 复数的概念 10 例 1 (1)设 i 是虚数单位.若复数 z=a- (a∈R)是纯虚数,则 a 的值为________. 3-i (2)已知 a∈R,复数 z1=2+ai,z2=1-2i,若 为纯虚数,则复数 的虚部为________. (3) 若 z1 = (m + m + 1) + (m + m - 4)i(m∈R) , z2 = 3 - 2i , 则 “m = 1” 是 “z1 = z2” 的 ____________条件. 答案 (1)3 (2)1 (3)充分不必要 10 解析 (1)z=a- =a-(3+i)=(a-3)-i,由 a∈R, 3-i 且 z=a- 10 为纯虚数知 a=3. 3-i
2 2

z1 z2

z1 z2

z1 2+ai ?2+ai??1+2i? 2-2a 4+a z1 (2)由 = = = + i 是纯虚数,得 a=1,此时 =i,其 z2 1-2i 5 5 5 z2
虚部为 1. (3)由?
?m +m+1=3, ? ? ?m +m-4=-2,
2 2

解得 m=-2 或 m=1,

所以“m=1”是“z1=z2”的充分不必要条件. 引申探究 1.对本例(1)中的复数 z,若|z|= 10,求 a 的值. 解 若|z|= 10,则(a-3) +1=10, ∴|a-3|=3,∴a=0 或 a=6. 2.在本例(2)中,若 为实数,则 a=________. 答案 -4
2

z1 z2

z1 4+a 解析 若 为实数,则 =0.∴a=-4. z2 5
思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题, 只需把 复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可. (2)解题时一定要先看复数是否为 a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部. (1)若复数 z=(x -1)+(x-1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为________.
2

3

(2)(2014·浙江改编)已知 i 是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi) =2i”的 ________________条件. 答案 (1)-1 (2)充分不必要 解析 (1)由复数 z 为纯虚数,得? 解得 x=-1. (2)当 a=b=1 时,(a+bi) =(1+i) =2i;
?a -b =0, ? 当(a+bi) =2i 时,得? ?ab=1, ?
2 2 2 2 2

2

?x -1=0, ? ? ?x-1≠0,

2

解得 a=b=1 或 a=b=-1, 所以“a=b=1”是“(a+bi) =2i”的充分不必要条件. 题型二 复数的运算 命题点 1 复数的乘法运算 例 2 (1)(2015·湖北改编)i 为虚数单位,i 的共轭复数为________. (2)(2015·北京改编)复数 i(2-i)=________. 答案 (1)i (2)1+2i 解析 (1)方法一 i =i
608 4×152 607 607 4×151+3 607 2

=i =-i,其共轭复数为 i.

3

i i 1 方法二 i = = = =-i,其共轭复数为 i. i i i (2)i(2-i)=2i-i =1+2i. 命题点 2 复数的除法运算 ?1-i? 例 3 (1)(2015·湖南改编)已知 =1+i(i 为虚数单位),则复数 z=________.
2 2

z

1+i 6 2+ 3i (2)( )+ =________. 1-i 3- 2i 答案 (1)-1-i (2)-1+i
2 2

?1-i? ?1-i? 2i 解析 (1)由 =1+i,知 z= =- =-1-i. z 1+i 1+i ?1+i? 6 ? 2+ 3i?? 3+ 2i? (2)原式=[ ]+ 2 2 2 ? 3? +? 2? =i +
6 2

6+2i+3i- 6 =-1+i. 5

命题点 3 复数的运算与复数概念的综合问题 例 4 (1)(2015·天津)i 是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数 a 的值为

________.
4

(2)(2014·江苏)已知复数 z=(5+2i) (i 为虚数单位),则 z 的实部为________. 答案 (1)-2 (2)21 解析 (1)(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i,由已知,得 a+2=0,1-2a≠0,∴a=-2. (2)因为 z=(5+2i) =25+20i+(2i) =25+20i-4=21+20i, 所以 z 的实部为 21. 命题点 4 复数的综合运算 例 5 (1)(2014·安徽)设 i 是虚数单位,z 表示复数 z 的共轭复数. 若 z=1+i, 则 +i· z i =________. (2)若复数 z 满足(3-4i)z=|4+3i|,则 z 的虚部为________. 4 答案 (1)2 (2) 5 解析 (1)∵z=1+i,∴ z =1-i, = = i i
2 2

2

z

z 1+i -i2+i
i

=1-i,

∴ +i· z =1-i+i(1-i)=(1-i)(1+i)=2. i (2)设 z=a+bi, 故(3-4i)(a+bi)=3a+3bi-4ai+4b=|4+3i|,
?3b-4a=0, ? 所以? ? ?3a+4b=5,

z

4 解得 b= . 5

思维升华 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略 (1)复数的乘法. 复数的乘法类似于多项式的四则运算, 可将含有虚数单位 i 的看作一类同类 项,不含 i 的看作另一类同类项,分别合并即可. (2)复数的除法. 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数, 解题中要注意把 i 的幂写成 最简形式. (3)复数的运算与复数概念的综合题, 先利用复数的运算法则化简, 一般化为 a+bi(a, b∈R) 的形式,再结合相关定义解答. (4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简,一般化为 a+bi(a,

b∈R)的形式,再结合复数的几何意义解答.
(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法则进行运算,要注意运算顺序,要先算乘 除,后算加减,有括号要先算括号里面的.

z
(1)(2015·山东改编 ) 若复数 z 满足 ________.
5

1-i

= i ,其中 i 为虚数单位,则 z =

(2)?

?1+i?2 016=________. ? ?1-i?

-2 3+i ? 2 ?2 016 (3) +? ? =________. 1+2 3i ?1-i? 答案 (1)1-i (2)1 (3)1+i
2

z

解析 (1)∵ =i,∴ z =i(1-i)=i-i =1+i, 1-i ∴z=1-i.

??1+i?2?1 008=?1+2i+i2?1 008=1. (2)?? ?? ?1-2i+i ? ??1-i? ? ? ?
i?1+2 3i? ?? 2 ?2?1 008 (3)原式= +?? ?? ??1-i? ? 1+2 3i =i+?

2

? 2 ?1 008=i+i1 008 ? ?-2i?
4×252

=i+i

=1+i.

题型三 复数的几何意义 例 6 (1)△ABC 的三个顶点对应的复数分别为 z1,z2,z3,若复数 z 满足|z-z1|=|z-z2|= |z-z3|,则 z 对应的点为△ABC 的________. ①内心 ③重心 答案 ④ 解析 由几何意义知,复数 z 对应的点到△ABC 三个顶点距离都相等,z 对应的点是△ABC 的 外心. (2)如图所示,平行四边形 OABC,顶点 O,A,C 分别表示 0,3+2i,-2 +4i,试求: → → ①AO、BC所表示的复数; → ②对角线CA所表示的复数; ③B 点对应的复数. → → → 解 ①AO=-OA,∴AO所表示的复数为-3-2i. → → → ∵BC=AO,∴BC所表示的复数为-3-2i. → → → → ②CA=OA-OC,∴CA所表示的复数为 (3+2i)-(-2+4i)=5-2i. → → → → → ③OB=OA+AB=OA+OC, ②垂心 ④外心

6

→ ∴OB所表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i, 即 B 点对应的复数为 1+6i. 思维升华 因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的,要求某个向量对应的 复数时,只要找出所求向量的始点和终点,或者用向量相等直接给出结论即可. (1)如图,在复平面内,点 A 表示复数 z,则图中表示 z 的共轭复数的点是 ________.

答案 B 解析 表示复数 z 的点 A 与表示 z 的共轭复数的点关于 x 轴对称,∴B 点表示 z . (2)已知 z 是复数,z+2i、 均为实数(i 为虚数单位),且复数(z+ai) 在复平面内对应 2-i

z

2

的点在第一象限,求实数 a 的取值范围. 解 设 z=x+yi(x、y∈R), ∴z+2i=x+(y+2)i,由题意得 y=-2. ∵

z x-2i 1 = = (x-2i)(2+i) 2-i 2-i 5

1 1 = (2x+2)+ (x-4)i, 5 5 由题意得 x=4.∴z=4-2i. ∵(z+ai) =(12+4a-a )+8(a-2)i,
?12+4a-a >0, ? 根据条件,可知? ?8?a-2?>0, ?
2 2 2

解得 2<a<6, ∴实数 a 的取值范围是(2,6).

24.解决复数问题的实数化思想

典例 (14 分)已知 x,y 为共轭复数,且(x+y) -3xyi=4-6i,求 x,y. 思维点拨 (1)x,y 为共轭复数,可用复数的基本形式表示出来;(2)利用复数相等,将复数 问题转化为实数问题.

2

7

规范解答 解 设 x=a+bi (a,b∈R), 则 y=a-bi,x+y=2a,xy=a +b ,[3 分] 代入原式,得(2a) -3(a +b )i=4-6i,[5 分]
? ?4a =4, 根据复数相等得? 2 2 ? ?-3?a +b ?=-6,
2 2 2 2 2 2

[7 分]
?a=-1, ? ?b=-1. ?

解得?

?a=1, ? ?b=1, ?

或?

?a=1, ? ?b=-1, ?

或?

?a=-1, ? ?b=1, ?

或?

[10 分]

故所求复数为
? ?x=1+i, ? ?y=1-i, ?

或?

? ?x=1-i, ?y=1+i, ?

或?

? ?x=-1+i, ?y=-1-i, ?

或?

? ?x=-1-i, ?y=-1+i. ?

[14 分]

温馨提醒 (1)复数问题要把握一点, 即复数问题实数化, 这是解决复数问题最基本的思想方 法. (2)本题求解的关键是先把 x、y 用复数的基本形式表示出来,再用待定系数法求解.这是常 用的数学方法. (3)本题易错原因为想不到利用待定系数法,或不能将复数问题转化为实数方程求解.

[方法与技巧] 1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的 过程. 2.复数 z=a+bi(a,b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的,两个复数相等的充要条件是复 数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数 z=a+bi(a,b∈R),既要从整体的角度 去认识它,把复数看成一个整体,又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识. 3.在复数的几何意义中,加法和减法对应向量的三角形法则,其方向是应注意的问题,平移 往往和加法、减法相结合. [失误与防范] 1.判定复数是实数,仅注重虚部等于 0 是不够的,还需考虑它的实部是否有意义. 2.两个虚数不能比较大小. 3.注意复数的虚部是指在 a+bi(a,b∈R)中的实数 b,即虚部是一个实数.

A 组 专项基础训练
8

(时间:30 分钟) 1.(2015·福建改编)若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b∈R,i 是虚数单位),则 a,b 的值分 别等于__________. 答案 3,-2 解析 ∵(1+i)+(2-3i)=3-2i=a+bi,∴a=3,b=-2. 1 2.设 z= +i,则|z|=________. 1+i 答案 2 2 ∵z = 1 1-i 1- i 1 1 +i= +i= +i= + i,∴|z|= 1+i ?1+i??1-i? 2 2 2

解析 2 . 2

?1?2+?1?2= ?2? ?2? ? ? ? ?

3.(2015·课标全国Ⅱ改编)若 a 为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则 a=________. 答案 0 解析 因为 a 为实数,且(2+ai)(a-2i)=4a+(a -4)i=-4i,得 4a=0 且 a -4=-4, 解得 a=0. 4.若 i 为虚数单位,图中复平面内点 Z 表示复数 z,则表示复数 的点是________. 1+i
2 2

z

答案 H 解析 由题图知复数 z=3+i, ∴

z 3+i ?3+i??1-i? 4-2i = = = =2-i. 1+i 1+i ?1+i??1-i? 2 z

∴表示复数 的点为 H. 1+i 5.(2014·江西改编) z 是 z 的共轭复数,若 z+ z =2,(z- z )i=2(i 为虚数单位),则

z=__________.
答案 1-i 解析 方法一 设 z=a+bi,a,b 为实数,则 z =a-bi. ∵z+ z =2a=2,∴a=1.

9

又(z- z )i=2bi =-2b=2,∴b=-1.故 z=1-i. 2 方法二 ∵(z- z )i=2,∴z- z = =-2i. i 又 z+ z =2,∴(z- z )+(z+ z )=-2i+2, ∴2z=-2i+2,∴z=1-i. 6.(2015·江苏)设复数 z 满足 z =3+4i(i 是虚数单位),则 z 的模为________. 答案 5
2 2 2

2

解析 ∵z =3+4i,∴|z| =|3+4i|=5,即|z|= 5.
?1+x,x∈R, ? 7.已知 f(x)=? ? ??1+i?x,x?R,

则 f[f(1-i)]=________.

答案 3 解析 ∵f(1-i)=(1+i)(1-i)=2, ∴f[f(1-i)]=f(2)=1+2=3. 8.复数(3+i)m-(2+i)对应的点在第三象限内,则实数 m 的取值范围是________. 2 答案 m< 3 解析 z=(3m-2)+(m-1)i,其对应点(3m-2,m-1)在第三象限内, 2 故 3m-2<0 且 m-1<0,∴m< . 3 ?-1+i??2+i? 9.计算:(1) ; 3 i ?1+2i? +3?1-i? (2) ; 2+i 1-i 1+i (3) 2+ 2; ?1+i? ?1-i? 1- 3i (4) . 2 ? 3+i? ?-1+i??2+i? -3+i 解 (1) = =-1-3i. 3 i -i ?1+2i? +3?1-i? -3+4i+3-3i (2) = 2+i 2+i = i i?2-i? 1 2 = = + i. 2+i 5 5 5
2 2

1-i 1+i 1-i 1+i 1+i -1+i (3) + = + =-1. 2+ 2= ?1+i? ?1-i? 2i -2i -2 2

10

1- 3i ? 3+i??-i? (4) = 2 2 ? 3+i? ? 3+i? = -i ?-i?? 3-i? = 4 3+i

1 3 =- - i. 4 4 10.复数 z1= 解 =? = 3 3

a+5

2 2 +(10-a )i,z2= +(2a-5)i,若 z 1+z2 是实数,求实数 a 的值. 1-a 2

2 z 1+z2= +(a -10)i+ +(2a-5)i a+5 1-a

? 3 + 2 ?+[(a2-10)+(2a-5)]i ? ?a+5 1-a?
a-13 2 +(a +2a-15)i. ?a+5??a-1?

∵ z 1+z2 是实数, ∴a +2a-15=0,解得 a=-5 或 a=3. 又(a+5)(a-1)≠0,∴a≠-5 且 a≠1,故 a=3. B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) 11.复数 z1,z2 满足 z1=m+(4-m )i,z2=2cos θ +(λ +3sin θ )i(m,λ ,θ ∈R),并且
2 2

z1=z2,则 λ 的取值范围是____________.

? 9 ? 答案 ?- ,7? ? 16 ?
解析
?m=2cos θ , ? 由复数相等的充要条件可得 ? 2 ? ?4-m =λ +3sin θ ,
2 2

化简得 4 - 4cos θ = λ +
2

2

3sin θ ,由此可得 λ =-4cos θ -3sin θ +4=-4(1-sin θ )-3sin θ +4=4sin θ - 3?2 9 ? ? 9 ? 2 3sin θ =4?sin θ - ? - ,因为 sin θ ∈[-1,1],所以 4sin θ -3sin θ ∈?- ,7?. 8 ? ? 16 ? 16 ? 12.设 f(n)=? 答案 3 解析 f(n)=?

?1+i?n+?1-i?n(n∈N*),则集合{f(n)}中元素的个数为________. ? ? ? ?1-i? ?1+i?

?1+i?n+?1-i?n=in+(-i)n, ? ? ? ?1-i? ?1+i?

f(1)=0,f(2)=-2,f(3)=0,f(4)=2,f(5)=0,?,
∴集合中共有 3 个元素.

11

13.已知复数 z=x+yi,且|z-2|= 3,则 的最大值为________. 答案 3
2 2

y x

解析 ∵|z-2|= ?x-2? +y = 3, ∴(x-2) +y =3. 由图可知? ?max= x
2 2

?y? ? ?

3 = 3. 1
2

14.已知集合 M={1,m,3+(m -5m-6)i},N={-1,3},若 M∩N={3},则实数 m 的值为 ________. 答案 3 或 6 解析 ∵M∩N={3},∴3∈M 且-1?M, ∴m≠-1,3+(m -5m-6)i=3 或 m=3, ∴m -5m-6=0 且 m≠-1 或 m=3, 解得 m=6 或 m=3. 15.若 1+ 2i 是关于 x 的实系数方程 x +bx+c=0 的一个复数根,则 b=________,c= __________. 答案 -2 3 解析 ∵实系数一元二次方程 x +bx+c=0 的一个虚根为 1+ 2i, ∴其共轭复数 1- 2i 也是方程的根. 由根与系数的关系知,
2 2 2 2

??1+ 2i?+?1- 2i?=-b, ? ??1+ 2i??1- 2i?=c,
∴b=-2,c=3. 16.若虚数 z 同时满足下列两个条件: 5 ①z+ 是实数;②z+3 的实部与虚部互为相反数.

z

这样的虚数是否存在?若存在,求出 z;若不存在,请说明理由. 解 这样的虚数存在,z=-1-2i 或 z=-2-i. 设 z=a+bi(a,b∈R 且 b≠0),

z+ =a+bi+ z a+bi
5?a-bi? =a+bi+ a2+b2 =?a+

5

5

? ?

5a ? ? 5b ? +?b- 2 2?i. a2+b2? ? ? a +b ?
12

5 5b ∵z+ 是实数,∴b- 2 =0. z a +b2 又∵b≠0,∴a +b =5.① 又 z+3=(a+3)+bi 的实部与虚部互为相反数, ∴a+3+b=0.② 由?
?a+b+3=0, ? ?a +b =5, ?
2 2 2 2

解得?

?a=-1, ? ?b=-2, ?

或?

?a=-2, ? ?b=-1, ?

故存在虚数 z,z=-1-2i 或 z=-2-i.

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