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高中数学人教A版必修三同步测试 第一章:1.3.1辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法(含答案)



1-3-1 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法 一、选择题 1.下列有关辗转相除法的说法正确的是( )

A.它和更相减损术一样是求多项式值的一种方法 B.基本步骤是用较大的数 m 除以较小的数 n 得到除式 m=nq+ r,直至 r<n 为止 C.基本步骤是用较大的数 m 除以较小的数 n 得到除式 m=qn+ r(0≤r<n)反复进行,直到 r=0 为止 D.以上说法均不正确 [答案] C 2.当 x=9 时,用秦九韶算法计算 f(x)=12x6+5x5+8x4+11x3+ 18x2+52x+99 的值,需要进行的乘法和加法的次数分别是( A.12,12 B.6,7 C.21,6 D.6,6 [答案] D 3. 在 m=nq+r(0≤r<n)中, 若 k 是 n, r 的公约数, 则 k________m, n 的公约数.( A.一定是 C.一定不是 [答案] A [解析] k 是 n,r 的公约数,则 n=kk1,r=kk2,m=nq+r=kk1q +kk2=(k1q+k2)k, 所以 k 是(k1q+k2)k 与 kk1 的公约数, 即 k 一定是 m, n 的公约数. 4.如图所示的程序表示的算法是( ) ) B.不一定是 D.不能确定 )

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INPUT m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END A.交换 m、n 的值 C.更相减损术 [答案] B 5.用辗转相除法求 294 和 84 的最大公约数时,需要做除法的次 数是( A.1 [答案] B [解析] ∵294=84×3+42,84=42×2,∴选 B. 6.运行下面的程序,当输入 n=840 和 m=1764 时,输出结果 是( ) INPUT m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END A.84 B.12 C.168 D.252 [答案] A [解析] ∵1764=840×2+84,840=84×10, ∴1764 与 840 的最大公约数为 84.
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B.辗转相除法 D.秦九韶算法

) B.2 C.3 D.4

7.用更相减损术,求 105 与 30 的最大公约数时,需要做减法的 次数是( )

A.2 B.3 C.4 D.5 [答案] C [解析] 105-30=75,75-30=45,45-30=15,30-15=15. 8.用秦九韶算法求 n 次函数 f(x)=anxn+an-1xn-1+?+a1x+a0 在 x=x0 时的值时,一个反复执行的步骤是(
? ?v0=a0 A.? (k=1,2,?,n) ?vk=vk-1x+an-k ? ? ?v0=an B.? (k=1,2,?,n) ? ?vk=vk-1x+an-k ? ?v0=an C.? (k=1,2,?,n) ?vk=vk-1x+ak ? ? ?v0=a0 D.? (k=1,2,?,n) ? ?vk=vk-1x+ak

)

[答案] B [解析] 由秦九韶算法的原理可知. 9.已知 f(x)=3x3+2x2+x+4,则 f(10)=( A.3214 C.2214 [答案] A B.3210 D.90 )

[解析]

∴答案 A.

10.下图表示的程序框图是用秦九韶算法求多项式 Pn(x)=anxn +an-1xn-1+?+a1x+a0 函数值的过程,则程序框图中①应为(
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)

A.i>n? C.i≥n? [答案] D

B.i<n? D.i≤n?

[解析] 本题是用秦九韶算法求多项式 Pn(x)=anxn+an-1xn-1+? +a1x+a0 函数值的当型循环结构, 最后一次应为 i=n, 当 i>n 时应跳 出循环,即不满足 i≤n 时跳出循环. 二、填空题 11.930 与 868 的最大公约数是________. [答案] 62 [解析] ∵930=868×1+62 868=62×14 ∴930 与 868 的最大公约数为 62.

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12.用秦九韶算法计算 f(x)=3x4+2x2+x+4 当 x=10 时的值的 过程中,v1 的值为________. [答案] 30 [解析] 改写多项式为 f(x)=(((3x+0)x+2)x+1)x+4,则 v0=3, v1=3×10+0=30. 13.阅读程序: INPUT “m,n=”;m,n IF n>m THEN t=m m=n n=t END IF DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT END
[来源:gkstk.Com] [来源:学优]

m

若 INPUT 语句中输入 m,n 的数据分别是 72,168,则程序运行 的结果为________. [答案] 24 [ 解析 ] 该程序是用辗转相除法求两个数的最大公约数的算法

程序,输入 72,168,即求它们的最大公约数,可求出它们的最大公约 数为 24. 14.用秦九韶算法求多项式 f(x)=7x5+5x4+10x3+10x2+5x+1
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在 x=-2 时的值: ①第一步,x=-2. 第二步,f(x)=7x5+5x4+10x3+10x2+5x+1. 第三步,输出 f(x). ②第一步,x=-2. 第二步,f(x)=((((7x+5)x+10)x+10)x+5)x+1. 第三步,输出 f(x). ③需要计算 5 次乘法,5 次加法. ④需要计算 9 次乘法,5 次加法. 以上说法中正确的是________(填序号). [答案] ②③ [解析] ①是直接求解,并不是秦九韶算法,故①错误,②正确. 对于一元最高次数是 n 的多项式, 应用秦九韶算法需要运用 n 次 乘法和 n 次加法,故③正确,④错误. 三、解答题 15.(1)用辗转相除法求 840 与 1764 的最大公约数. (2)用更相减损术求 459 与 357 的最大公约数. [解析] (1)1746=840×2+84 840=84×10+0 所以 840 与 1764 的最大公约数为 84. (2)459-357=102 357-102=255 255-102=153 153-102=51 102-51=51

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所以 459 与 357 的最大公约数为 51. 16.用秦九韶算法求多项式 f(x)=x6-5x5+6x4+x2+0.3x+2 当 x =-2 时的值. [解析] ∵f(x)=x6-5x5+6x4+0· x3+x2+0.3x+2 =(((((x-5)x+6)x+0)x+1)x+0.3)x+2 ∴当 x=-2 时, v0=1 v1=-2-5=-7 v2=-7×(-2)+6=20 v3=20×(-2)+0=-40 v4=-40×(-2)+1=81 v5=81×(-2)+0.3=-161.7
[来源:学优 gkstk]

v6=-161.7×(-2)+2=325.4 ∴f(-2)=325.4.

[来源 :学优 ]

17.有甲、乙、丙三种溶液分别重 147 g,343 g,133 g,现要将它 们分别全部装入小瓶中,每个小瓶装入液体的质量相同,则每瓶最多 装多少溶液? [解析] 每个小瓶的溶液的质量应是三种溶液质量 147,343,133

的公约数,最大质量即是其最大公约数. 先求 147 与 343 的最大公约数: 343-147=196, 196-147=49, 147-49=98. 98-49=49.
[来源:学优 gkstk]

所以 147 与 343 的最大公约数是 49.

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再求 49 与 133 的最大公约数: 133-49=84, 84-39=35, 49-35=14, 35-14=21, 21-14=7, 14-7=7,所以 49 与 133 的最大公约数为 7, 所以 147,343,133 的最大公约数为 7. 即每瓶最多装 7 g 溶液.

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