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高中数学 3.1.2导数的概念课件 新人教A版选修1-1



3.1.2 导数的概念

引入:
? 在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在 这段时间里运动状态,需要用瞬时速度描 述运动状态。我们把物体在某一时刻的速 度称为瞬时速度.
又如何求 瞬时速度呢?

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋

势.

?如何精确地刻画曲线在

一点处的变化趋势呢?

h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10
2

求:从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
?h v? ?t h( 2 ? ?t ) ? h( 2) ? ? ?13.1 ? 4.9?t ?t

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋

势.

?如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?

h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10
2

△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内

△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内

v ? ?4.9?t ?13.1
当△t = – 0.01时, v ? ?13.051
当△t = – 0.001时, v ? ?13.0951
△t = – 0.00001, v

v ? ?4.9?t ?13.1
当△t = 0.01时, v ? ?13.149 当△t =0.001时, v ? ?13.1049

当△t = –0.0001时, v ? ?13.09951 当△t =0.0001时, v ? ?13.10049

? ?13.099951

△t = 0.00001,

v ? ?13.100049

△t = – 0.000001, v

……

? ?13.0999951 △t =0.000001, v ? ?13.1000049
……

从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度

?h v? ? ?13.1 ? 4.9?t ?t 当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于

2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度 v 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的

瞬时速度是 –13.1.

h(2 ? ?t ) ? h(2) lim ? ?13.1 ?t ?0 ?t
表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值– v 13.1”.

探 究: 1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?

h(t0 ? ?t ) ? h(t0 ) lim ?t ?0 ?t ? 4.9(?t ) 2 ? (9.8t0 ? 6.5)?t ? lim ?t ?0 ?t ? lim (?4.9?t ? 9.8t0 ? 6.5)
?t ?0

? ?9.8t0 ? 6.5

定义:

函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是

f ( x0 ? Δx) ? f ( x0 ) ?f lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ? x ?x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ?( x0 )
或 y ? | x ? x0 , 即

f ( x0 ? Δx) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim . ?x ?0 ?x

1. f ?( x0 )与x0的值有关,不同的x0其导数值一般也不相同。 2. f ?( x0 )与?x的具体取值无关。

3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。

说明:
(1)函数 f (x) 在点 x0 处可导,是指 ?x ? 0 时,

?y ?y 有极限.如果 不存在极限,就说函数在 ?x ?x
点 x0 处不可导,或说无导数.
(2) ?x 是自变量x在

x0 处的改变量, ?x ? 0 ,而

?y 是函数值的改变量,可以是零.

由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法: 1. 求函数的改变量 ?f ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ); f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? ; 2. 求平均变化率 ?x ?x ?f 3. 求值 f ?( x0 ) ? lim .
?x ?0

?x

一差、二化、三极限

例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: ? C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是 f ?(2)和 f ?(6). 根据导数的定义,

f (2 ? ?x) ? f (2) 4?x ? (?x) 2 ? 7?x ? ? ?x ? 3 ?x ?x ?f ? lim (?x ? 3) ? ?3. 所以, f ?(2) ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 同理可得 f ?(6) ? 5.
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说 明在第2h附近, 原油温度大约以3 ? C / h的速率下降; 在第6h附近, 原油温度大约以5 ? C / h的速率上升.

1 2 s 例2 物体作自由落体运动,运动方程为: ? 2 gt 其 2

中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s .求: (1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度; (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度; (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.

解:

__

?s 1 v? ? 2 g ? g ( ?t ) ?t 2

O s(2) s(2+?t)

(1)将 Δ t=0.1代入上式,得: __

v ? 2.05g ? 20.5m / s.

?s

(2)将 Δ t=0.01代入上式,得: __
( 3)当?t ? 0,2 ? ?t ? 2,
__

v ? 2.005g ? 20.05m / s.

从而平均速度 的极限为: v __ ?s v ? lim v ? lim ? 2 g ? 20m / s. s ?t ? 0 ?t ? 0 ? t 即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s). 当时间间隔Δ t 逐渐变小时,平均速度就越接近 t0=2(s) 时的瞬时速度v=20(m/s).

练习:
? 1.求函数y=3x2在x=1处的导数.
分析:先求Δf=Δy=f(1+Δx)-f(1) =6Δx+(Δx)2 再求 ?y ? 6 ? ?x

?x

再求

?y lim ?6 ? ? 0 ?x

练习:
? 2.质量为10kg的物体,按照s(t)=3t2+t+4的规 律做直线运动, (1)求运动开始后4s时物体的瞬时速度;

1 2 (2)求运动开始后4s时物体的动能。 ( E ? mv ) 2

课后思考题: 1

2.函数f(x)=|x|在点x0=0处是否有导数?若有,求出来; 若没有,请说明理由.

小结:
? 1求物体运动的瞬时速度:

(1)求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)

(2)求平均速度v ? ? s ; ?t ?s (3)求极限 lim ? lim s(t ??t ) ? s(t ) .
? x ?0

?t

? x ?0

?t

? 2由导数的定义可得求导数的一般步骤: (1)求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)
?y (2)求平均变化率 ? x (3)求极限 f ' ( x0 ) ? lim ? y ? x ?0 ? x



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