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3.3.3-.3.3.4点到直线的距离-两条平行直线间的距离更新


每日一练

复习引入
两点间的距离公式是什么? 两点间的距离公式是什么? 已知点 P ( x1 , y1 ),P2 ( x2 , y2 ) ,则 1
y

P P2 = 1
N2

(x2 ? x1 ) + ( y2 ? y1 )
2

2

.

P2

M2

O
Q

M1
N 1 P1

x

问题:在铁路 附近P地要修建一条公路使之连 问题:在铁路MN附近 地要修建一条公路使之连 附近 接起来,问 如何设计才能使公路最短 如何设计才能使公路最短? 接起来 问:如何设计才能使公路最短
M地 地

N地 地

P地 地

点作MN的垂线 设 的垂线,设 过P点作 点作 的垂线 垂足为Q,则垂线段 则垂线段PQ 垂足为 则垂线段 问题:在铁路MN附近 地要修建一条公路使之连 附近P地要修建一条公路使之连 问题:在铁路 附近 的长度就是点P到直线 的长度就是点 到直线 MN的距离 接起来,问 如何设计才能使公路最短 的距离 如何设计才能使公路最短? 接起来 问:如何设计才能使公路最短 的距离.

得到简化图形: 得到简化图形

Q
M地 地 N地 地

P地 地

即求P到 即求 到MN 上一点的 最短距离

点到直线距离公式
y y0

|x0|
P0 (x0,y0)

|y0|
O x0 x

点到直线距离公式
y

|y1-y0|
y = y1

y1 y0 O

|x1-x0|
x = x1

P0 (x0,y0) x0 x1 x

已知点 P0 ( x0 , y0 ) ,线 l : Ax + By + C = 0 ,如何求 点 P0 到直线 l 的距离?
y

l
Q

P0
O x

知识探究: 知识探究:点到直线的距离
y

l : Ax + By + C = 0
思路一: 思路一:定义法
Q
直线 l 的方程 直线 l 的斜率

P0 (x0,y0)` l O x

l ⊥ P0Q
点P0的坐标 直线P Q的斜率 0

直线 l 的方程
交点

直线 P Q的方程 0

点P0的坐标 点P、Q 之间的距离
0

点Q 的坐标

两点间距离公式

P0Q P0 到 l 的距离) 的距离) (

知识探究: 知识探究:点到直线的距离
P y l Q O x l:Ax+By+C=0 P(x0,y0) (

B 2 x 0 ? ABy 0 ? AC Q(x, y)满足 满足: 满足 x= A2 + B 2 Ax+By+C=0 ? ? ABx 0 + By 0 ? BC B x-Ay-Bx0+Ay0=0 y= A2 + B 2 A( Ax0 + By0 + C ) x ? x0 = ? A2 + B 2 ? B( Ax0 + By0 + C ) y ? y0 = ? A2 + B 2

| PQ |= ( x ? x0 ) + ( y ? y0 )
2

2

A( Ax0 + By0 + C ) 2 B( Ax0 + By0 + C ) 2 = [ ] +[ ] 2 2 2 2 A +B A +B | Ax0 + By0 + C | = A2 + B 2

结论 点P (x0 , y0)到直线 l: Ax+By+C=0的距离为 的距离为: 到直线 的距离为

d=

| Ax0 + By0 + C | A +B
2 2

知识探究: 知识探究:点到直线的距离 你还有其他方法吗?
问题1:已知一直角三角形的两条直角边长度为 问题 :已知一直角三角形的两条直角边长度为3 和4,如何求斜边上的高? ,如何求斜边上的高?

等面积法: 等面积法:

点到直线距离公式
y
Ax + C ? ? x0, ? 0 ? S? B ? ?

Q l : Ax + By + C = 0 d y0 O P0 (x0,y0) x0
? By0 + C ? ? , y0 ? R? A ? ?

x

1 | P0 S || P0 R | 2

=

1 d | SR | 2

点到直线距离公式
y S Q P0 O (x0,y0) d

l : Ax + By + C = 0
R x

d ? RS = PR ? PS
∴d ? A2 + B 2 Ax0 + By0 + C AB

d=

| Ax0 + By0 + C | A +B
2 2

Ax0 + By0 + C Ax0 + By0 + C = . A B

你的方法用完了吗?
Q(x, y)满足 满足: 满足

Ax+By+C=0 B x-Ay-Bx0+Ay0=0 A(x-x0)+B( y-y0)= -Ax0-By0-C ------- ① B(x-x0)–A( y-y0)=0 -------------② ② ①2+②2: ② (A2+B2)[(x-x0)2+( y-y0)2]=(Ax0+By0+C)2

d =| PQ|= ( x ? x0 ) + ( y ? y0 ) =
2 2

| Ax0 + By0 + C | A +B
2 2

点到直线的距离 的距离: 点 P0 ( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax + By + C = 0 的距离:
y

l
Q

d=

Ax0 + By0 + C A +B
2 2

P0
O

x 1.此公式是在 、B≠0的前提下推导的 如果 此公式是在A、 的前提下推导的,如果 此公式是在 的前提下推导的 如果A=0或B=0,此 或 , 公式恰好也成立; 公式恰好也成立; 2.如果 如果A=0或B=0,一般不用此公式; 如果 或 ,一般不用此公式; 3.用此公式时直线要先化成一般式。 用此公式时直线要先化成一般式。 用此公式时直线要先化成一般式

典型例题
求点P(-1,2)到直线 ①2x+y-10=0; ②3x=2的 例1 求点 到直线 ; 的 距离。 距离。 y 用公式验证,结果怎样? 用公式验证,结果怎样? P(-1,2) O x l:3x=2

x y 变式1.点P(m ? n,?m)到直线 + = 1的距离等于多少? m n

典型例题
已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求三角形 例2 已知点 , , , ABC的面积 的面积
y 3 2 1 -1 O C (-1,0) A (1,3)
还有其他方法吗


h
1 2

B (3,1)

3 x

典型例题
轴上, 到直线l 例3.P在x轴上 P到直线 1: x- 3 y +7=0与直 在 轴上 到直线 与直 的距离相等, 点坐标。 线l2: 12x-5y+40=0的距离相等 求P点坐标。 的距离相等 点坐标

典型例题
上求一点P, 例4. 在抛物线 y=4x2 上求一点 使P到直线 l: 到直线 y=4x-5 的距离最短 并求出这个最短距离 的距离最短,并求出这个最短距离 并求出这个最短距离.
到直线l: 解:依题意设 P(x,4x2), 则P到直线 4x- y-5=0的距离为 依题意设 到直线 的距离为

d=

| 4 ? x0 + (?1) ? 4 x0 ? 5 |
2

42 + 12

=

| 4 x0 ? 4 x0 + 5 |
2

17

=

(2x0 -1) 2 + 4 17

1 1 4 17 ∴ 当 x 0 = 即 P 点坐标为 ( .1)时 , d有最小值 2 2 17

典型例题
1.若点P( x, y)在直线l : x + y + 1 = 0, 求 (x ? 1) + ( y ? 2)
2 2

的最小值.

直线l在两坐标轴上的截距相等 在两坐标轴上的截距相等, 例5 直线 在两坐标轴上的截距相等,点 P(4,3) 的距离为3 的方程。 到 l 的距离为 2 ,求直线 l 的方程。

典型例题 例6. 求两条直线 l1:3x+4y+1=0 + + = l2:5x+12y-1=0 + - = 的夹角平分线方程. 的夹角平分线方程

小结
? 1.点到直线距离公式 1.点到直线距离公式

d=

Ax0 + By0 + C A +B
2 2

注意: 化为一般式. 一般式. 注意: 化为一般式
x = x1

? 2.特殊情况 2.特殊情况
y = y1
y y1 y0 O

|y1-y0| |x1-x0|
P0 (x0,y0) x0 x1 x

典型例题
求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 与 的距离。 求平行线 的距离 y l1:2x-7y-8=0 l2: 6x-21y-1=0 x O P(4,0)

两平行线间的距离处处相等 直线到直线的距离转化为点到直线的距离

两平行直线之间的距离公式
y P O Q l1 l2 x 任意两条平行直线都 可以写成如下形式: 可以写成如下形式: l1 :Ax+By+C1=0 l2 :Ax+By+C2=0

∴ PQ =

C 2 ? C1 A2 + B 2

典型例题
求与直线l:5x-12y+6=0平行且到l的距离为2的 直线的方程.

作业: 作业: P110习题3.3A组 习题3.3A P110习题3.3A组: 9,10. 习题3.3B 3.3B组 习题3.3B组:2,4,5.


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