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2017届高三上学期理科数学周测试卷(7)



2017 届高三上学期理科数学周测试题(7)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)命题人:李辉
x (1)设集合 A ? x | 2 ? 4 ,集合 B ? ?x | y ? lg( x ?1)? ,则 A ? B 等于(

?

?

)

(A)(1,2)

r />(B) (1,2]

(C) [1,2) )

(D) [1,2]

(2)在复平面内,复数 (A)第一象限 (3)已知双曲线

1 ? i 所对应的点位于( 1? i
(B)第二象限

(C)第三象限

(D)第四象限 )

x2 y2 ? ? 1 的一条渐近线为 y ? 2 x ,则双曲线的离心率等于( a 2 b2
(B) 2 (C) 5 (D) 6 )

(A) 3

(4)已知两个非零单位向量 e1 , e2 的夹角为 ? ,则下列结论不正确 的是( ... (A) e1 在 e2 方向上的投影为 cos ? (C) e1 ? e2 ? e1 ? e2

?? ?? ?

??

?? ?

(B) e1 ? e2

?? 2

?? ?2

?

?? ?? ?

? ?

?? ?? ?

?
)

(D) e1 ? e2 ? 1

? ? ?? ?

3
4
主视图

(5)一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图所示, 则该三棱锥的外接球表面积( (A) 29? (B) 30?

2
侧视图

(C)

俯视图 (6)惠州市某机构对两千多名出租车司机的年龄进行调查,现从中随机抽出 100 名司机,已知 抽到的司机年龄都在 ? 20,45? 岁之间,根据调查结 果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如 右图所示,利用这个残缺的频率分布直方图估计该 市出租车司机年龄的中位数大约是( (A) 31.6 岁 (C) 33.6 岁 (B) 32.6 岁 (D) 36.6 岁 )

29? 2

(D) 216?

( 7 ) 函 数 f ? x ? ? Asin ??x ? ? ? ( 其 中 A ? 0, ? ?

?
2
)

)的图像如图所示,为了得到

?? ? g ? x ? ? cos ? 2 x ? ? 的图像,只需将 f ( x) 的图像( 2? ?

?

7?

x
1

? 个长度单位 3 ? (C)向左平移 个长度单位 6
(A)向左平移

? 个长度单位 3 ? (D)向右平移 个长度单位 6
(B)向右平移

(8)若函数 f ( x) ? k ? a x ? a ? x ( a ? 0 且 a ? 1 )在 ? ??, ??? 上既是奇函数又是增函数,则

g ( x) ? loga ( x ? k ) 的图像是(
y y

)

y

y



O 1
(C)

2

x

O 1 2
(D)

x

?1

O

2

x

?1

O
2

x

A



( B )

(9)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中比 40000 大的偶数有( (A)144 个 (B)120 个 (C)96 个 (D)72 个

)

?x ? 2 y ? 4 ? 0 x? y?3 ? x?2 (10)已知变量 x, y 满足 ? ,则 的取值范围是( x?2 ? x? y?2?0 ?
(A) ? 2, ? 2

)

? 5? ? ?

(B) ? , ? 4 2

?5 5? ? ?

(C) ? , ? 5 2

?4 5? ? ?

(D) ? , 2 ? 4

?5 ?

? ?

(11)由等式 x4 ? a1x3 ? a2 x2 ? a3 x ? a4 ? ( x ? 1)4 ? b1 ( x ? 1)3 ? b2 ( x ? 1)2 ? b3 ( x ? 1) ?b4 , 定义映射 f (a1, a2 , a3 , a4 ) ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ,则 f (4,3,2,1) ? ( (A)0 (B)10 (C)15 (D)16 )

(12)如图,正五边形 ABCDE 的边长为 2,甲同学在 ?ABC 中用 定理解得 AC ? 8 ? 8cos108? ,乙同学在 Rt ?ACH 中解得

A B E

余弦

AC ?

1 ? ,据此可得 cos 72 的值所在区间为( ? cos 72
(B) ? 0.2,0.3?

)

C

H

D

(A) ? 0.1,0.2 ?

(C) ? 0.3,0.4 ?

(D) ? 0.4,0.5?

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。
2 (13)曲线 y ? x 与直线 y ? x 所围成的封闭图形的面积为



2

(14)在 ?ABC 中,设角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c , 且 ?C ? 60? , c ? 3 ,则

a ? 2 3 cos A ? sin B

. .

(15)如图所示程序框图,输出的结果是

2 2 p 为常数,n ? 2 , n ? N ? ), (16) 若数列 ?an ? 满足 an ? an ?1 ? p (

则称数列 {an } 为等方差数列, p 为公方差,已知正数等方差数 列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,且 a1 , a2 , a5 成等比数列, a1 ? a2 ,设集合

a ? 50?

? ? 1 1 1 ? ? A ? ?Tn Tn ? ? ?? ? ,1 ? n ? 100, n ? N ? ? ,取 A 的非空子集 B , a1 ? a2 a2 ? a3 an ? an ?1 ? ? ? ?
若 B 的元素都是整数, 则B 为 “完美子集” , 那么集合 A 中的完美子集的个数为 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)已知 ?an ? 是公差为 2 的等差数列,且 a3 ? 1 是 a1 ? 1 与 a7 ? 1 的等比中项. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 bn .

? a2n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .

(18)某工厂生产甲、乙两种芯片,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于 82 为合格品, 小于 82 为次品.现随机抽取这两种芯片各 100 件进行检测,检测结果统计如下: 测试指标 芯片甲 芯片乙 [70,76) 8 7 [76,82) 12 18 [82,88) 40 40 [88,94) 32 29 [94,100) 8 6

(Ⅰ)试分别估计芯片甲,芯片乙为合格品的概率; (Ⅱ) 生产一件芯片甲,若是合格品可盈利 40 元,若是次品则亏损 5 元;生产一件芯片乙,若 是合格品可盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元.在(Ⅰ)的前提下,记 X 为生产 1 件芯 片甲和 1 件芯片乙所得的总利润,求随机变量 X 的概率分布列和数学期望值. ( 19 )如图,直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直. AB ∥ CD ,

AB ? BC , EA ? EB , AB ? 2CD ? 2 BC .
(Ⅰ)求证: AB ? DE ; (Ⅱ)求二面角 C ? DE ? A 余弦值.
B C D

E

A

3

(20)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,离心率 e ? 焦点重合. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

1 2 2 ,且其中一个焦点与抛物线 y ? x 的 4 2

(Ⅱ)过点 S ? ? , 0 ? 的动直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定 点 T ,使得无论 l 如何转动,以 AB 为直径的圆恒过点 T ?若存在,求出点 T 的坐标; 若不存在,请说明理由. (21)已知函数 f ? x ? ? ? x2 ? 2ln x . (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最大值; (Ⅱ)若函数 f ? x ? 与 g ? x ? ? x ?

? 1 ? 3

? ?

a 有相同极值点. x

①求实数 a 的值;②若对于 ?x1 , x2 ? ? ,3? ( e 为自然对数的底数) ,

?1 ? ?e ?

不等式

f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? 1 恒成立,求实数 k 的取值范围. k ?1

请考生在第 22、23 题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题计分,答题时请写 清题号。

(22)

1 ? x ? 2 ? t ? 2 ? 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程 ? ( t 为参数) ,以坐标 ? y? 3t ? ? 2

原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为: ? ? 4 cos ? . (Ⅰ)求直线 l 的极坐标方程; (Ⅱ)求直线 l 与曲线 C 交点的极坐标 ( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) . (23)设函数 f ( x) ? 2x ? a ? 2x ? 1 (a ? 0) , g ( x) ? x ? 2 . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集; (Ⅱ)若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

4

2017 届高三上学期理科数学周测试题(7) (答卷)班别
一 题号 选项 二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13 14 三.解答题(6 小题,共 70 分) 15 16 选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

姓名

17. (本题 12 分)

18. (本题 12 分)

5

19. (本题 12 分)

20 (本题 12 分)

6

21 (本题 12 分)

7

选做第

题(10 分)

8

2017 届高三上学期理科数学周测试题(7)参考答案
一选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 选项 1 B 2 A 3 C 4 D 5 A 6 C 7 D 8 C 9 B 10 B 11 A 12 C

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) (13)

1 , 6

(14) 4 ,
2

(15) 4 ,

(16) 63

(17)解(Ⅰ) ? a3 ? 1? ? ? a1 ? 1?? a7 ? 1? ,又 d=2,得 a1 =3,………………………2 分

? an ? a1 ? (n ?1)d ? 2n ? 1,? ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1……5 分
(Ⅱ) bn ? a2n ? 2 ? 2 ? 1 ? 2
n n ?1

? 1 ………………………………………………6分

Sn = 22 ? 1 ? 23 ? 1 ? ?? ? 2n?1 ? 1 ? 22 ? 23 ? ?? ? 2n?1 ? n …………8 分
? 4(1 ? 2n ) ? n ? 2n ? 2 ? n ? 4 ……………………………………………11 分 1? 2

? 数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ? 2n?2 ? n ? 4 …………………………………12分
(18) (本小题满分 12 分) 解(Ⅰ)芯片甲为合格品的概率约为

40 ? 32 ? 8 80 4 ? ,…………………1 分 = 100 100 5 40 ? 29 ? 6 75 3 ? .…………………2 分 = 100 100 4

芯片乙为合格品的概率约为

(Ⅱ)随机变量 X 的所有可能取值为 90, 45,30, ?15 ,…………………………4 分

P( X ? 90) ? P( X ? 30) ?

4 3 3 1 3 3 × = , P( X ? 45) ? × = , 5 4 5 5 4 20 4 1 1 1 1 1 × = , P( X ? ?15) ? × = ,……………8 分 5 4 5 5 4 20

所以随机变量 X 的概率分布列为

X

90

45

30

?15

P

3 5

3 20

1 5

1 20
……………………………10 分

9

3 3 1 1 E ( X ) ? 90 ? ? 45 ? ? 30 ? ? (?15) ? ? 66 . 5 20 5 20
所以随机变量 X 的数学期望值为 66 .…………………………………12 分 (19)解(Ⅰ)取 AB 中点 O ,连结 EO , DO .因为 EB ? EA ,所以 EO ? AB .……1 分 因为四边形 ABCD 为直角梯形, AB ? 2CD ? 2 BC , AB ? BC , 所以四边形 OBCD 为正方形,所以 AB ? OD .……2 分 又 EO ? DO ? O ,………………………………3 分
E

EO ? 面 EOD , DO ? 面 EOD ,……………4 分
所以 AB ? 平面 EOD ,又 ED ? 面 EOD ,
C

O
B D

A

所以 AB ? ED .………………………………5 分

(Ⅱ)因面 ABE ? 面 ABCD ,且 EO ? AB ,所以 EO ? 面 ABCD ,所以 EO ? OD . 由 OD, OA, OE 两两垂直,建立如图的空间直角坐标系 O ? xyz .………………6 分 因为三角形 EAB 为等腰直角三角形,所以 OD ? OA ? OE ,设 OD ? a , 所以 C ? a, ?a,0? , D ? a,0,0? , E ? 0,0, a ? , A? 0, a,0? . 所以 DC ? ? 0, ?a,0 ? , DE ? ? ?a,0, a ? , DA ? ? ?a, a,0 ? ,………………7 分 设平面 CDE 的一个法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? .

????

????

??? ?

??

z
E

?? ???? ? ?n1 ? DC ? 0 ? ?a ? y1 ? 0 ?? 则 ? ?? ???? , ? ? n1 ? DE ? 0 ??a ? x1 ? a ? z1 ? 0 ?? 所以可取 n1 ? ?1,0,1? ……………………8 分
设平面 ADE 的一个法向量为 n2 ? ? x2 , y2 , z2 ? .

O
B C D

y
A

?? ?

x

?? ? ??? ? ?? ? ? ? n2 ? DA ? 0 ??a ? x2 ? a ? y2 ? 0 ?? 则 ? ?? ,所以可取 n2 ? ?1,1,1? ………………9 分 ? ???? ? ?n2 ? DE ? 0 ? ?a ? x2 ? a ? z2 ? 0
所以 cos n1 , n2 ?

?? ?? ?

1?1 6 ,………………………………………………11 分 ? 3 2? 3
6 .………12 分 3

由图可知二面角 C ? DE ? A 为钝角,所以二面角的余弦值为 ?

10

x2 y 2 2 c 2 (20)解(Ⅰ)设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,离心率 e ? ,…1 分 , ? b a 2 a 2
又抛物线 y ?

1 2 x 的焦点为 ? 0,1? ,所以 c ? 1, a ? 2, b ? 1 ,………2 分 4

? 椭圆 C 的方程是 x 2 ?

y2 ? 1.……………………………………………3 分 2

(Ⅱ)若直线 l 与 x 轴重合,则以 AB 为直径的圆是 x 2 ? y 2 ? 1,若直线 l 垂直于 x 轴, 则以 AB 为直径的圆是 ? x ? ? ? y 2 ?

? ?

1? 3?

2

16 .………………………………………4 分 9

? x 2 ? y 2 ? 1, ? x ? 1, ? 2 由 ?? 即两圆相切于点 ?1,0 ? .………………………5 分 1? 16 解得 ? 2 ? y ? 0. ?? x ? ? ? y ? , 3? 9 ??
因此所求的点 T 如果存在,只能是 ?1,0 ? .事实上,点 T ?1,0 ? 就是所求的点. 证明如下: 当直线 l 垂直于 x 轴时,以 AB 为直径的圆过点 T ?1,0 ? .……………………………6 分 当直线 l 不垂直于 x 轴时,可设直线 l : y ? k ? x ? ? .………………………………7 分

? ?

1? 3?

? 1? ? y ? k ? x ? ?, ? 2 2 1 2 3? ? ? 2 2 由? 消去 y 得 ? k ? 2 ? x ? k x ? k ? 2 ? 0 .…………………8 分 2 3 9 ? x 2 ? y ? 1, ? ? 2
2 ? ? k2 ? x ?x ? 3 , ? ? 1 2 k2 ? 2 设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 ? 1 2 ? k ?2 ?xx ? 9 . 1 2 ? k2 ? 2 ? ??? ??? 又因为 TA ? ? x1 ? 1, y1 ? , TB ? ? x2 ? 1, y2 ? ,

…………………………………9 分

??? ??? ?TA ? TB ? ? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? y1 y2 …………………………………………………10 分

11

1 ?1 ? ? ? k 2 ? 1? x1 x2 ? ? k 2 ? 1? ? x1 ? x2 ? ? k 2 ? 1 9 ?3 ? 1 2 2 k ?2 ? k2 1 1 ? ? ? ? k 2 ? 1? ? 9 2 ? ? k 2 ? 1? ? 23 ? k 2 ? 1 k ?2 ?3 ? k ?2 9
? 0, ………………………………………………………………………11 分
? TA ? TB ,即以 AB 为直径的圆恒过点 T ?1,0 ? .
故在坐标平面上存在一个定点 T ?1,0 ? 满足条件. ………………………………12 分 (21) (本小题满分 12 分) 解(Ⅰ) f ? ? x ? ? ?2 x ?

2 ? x ? 1?? x ? 1? 2 ?? ? x ? 0 ? ,…………………………1 分 x x

由?

? f ? ? x ? ? 0, ? f ? ? x ? ? 0, 得 0 ? x ? 1 ;由 ? 得 x ?1. x ? 0 x ? 0 ? ?

? f ? x ? 在 ? 0,1? 上为增函数,在 ?1, ?? ? 上为减函数. ……………………2 分
? 函数 f ? x ? 的最大值为 f ?1? ? ?1.…………………………………………3 分
(Ⅱ)? g ? x ? ? x ?

a a ,? g ? ? x ? ? 1 ? 2 . x x

①由(1)知, x ? 1 是函数 f ? x ? 的极值点, 又? 函数 f ? x ? 与 g ? x ? ? x ?

a 有相同极值点, ? x ? 1 是函数 g ? x ? 的极值点, x

? g? ?1? ? 1 ? a ? 0 ,解得 a ? 1 .……………………………………………4 分
经验证,当 a ? 1 时,函数 g ? x ? 在 x ? 1 时取到极小值,符合题意. ……5 分 ②? f ? ? ? ?

?1? ?e?

1 ? 2, f ?1? ? ?1, f ? 3? ? ?9 ? 2ln 3 , e2
1 ?1? ? 2 ? ?1 ,即 f ? 3? ? f ? ? ? f ?1? . 2 e ?e?
………7 分
12

易知 ?9 ? 2 ln 3 ? ?

?1 ? ??x1 ? ? ,3? , f ? x1 ?min ? f ? 3? ? ?9 ? 2ln 3, f ? x1 ?max ? f ?1? ? ?1 ?e ?

由①知 g ? x ? ? x ?

1 1 ,? g ? ? x ? ? 1 ? 2 . x x

当 x ? ? ,1? 时, g? ? x ? ? 0 ;当 x ? ?1,3? 时, g? ? x ? ? 0 . 故 g ? x ? 在 ? ,1? 上为减函数,在 ?1,3? 上为增函数.

?1 ? ?e ?

?1 ? ?e ?

1 1 10 ?1? ? g ? ? ? e ? , g ?1? ? 2, g ? 3? ? 3 ? ? , e 3 3 ?e?
而2? e?

1 10 ?1? ? ,? g ?1? ? g ? ? ? g ? 3? . e 3 ?e?

10 ?1 ? ??x2 ? ? ,3? , g ? x2 ?min ? g ?1? ? 2, g ? x2 ?max ? g ? 3? ? . …………………9 分 3 ?e ?
f ? x1 ? ? g ? x2 ? ?1 ? 1? 当 k ? 1 ? 0 , 即 k ? 1 时 , 对 于 ?x1 , x2 ? ? ,3? , 不 等 式 ?1 恒 成 立 k ?1 ?e ?
? k ?1 ? ? ? f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ? max ? k ? ? ? f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ? max ? 1 .

? f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? f ?1? ? g ?1? ? ?1? 2 ? ?3 ,
? k ? ?3 ? 1 ? ?2, 又? k ? 1,? k ? 1 . ……………………………………………10 分
f ? x1 ? ? g ? x2 ? ?1 ? 2? 当 k ? 1 ? 0 , 即 k ? 1 时 , 对 于 ?x1 , x2 ? ? ,3? , 不 等 式 ?1 恒 成 立 k ?1 ?e ?
? k ?1 ? ? ? f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ? min ? k ? ? ? f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ? min ? 1 .

? f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? f ? 3? ? g ? 3? ? ?9 ? 2 ln 3 ? ?k ? ?

10 37 ? ? ? 2 ln 3 , 3 3

34 34 ? 2 ln 3, 又 ? k ? 1,? k ? ? ? 2 ln 3 . ………………………………11 分 3 3

综上,所求实数 k 的取值范围为 ? ??, ? ,

? ?

34 ? ? 2ln 3? ? ?1, ?? ? .…………………12 分 3 ?

13

1 ? x ? 2? t ? 2 ? 22 解: (Ⅰ)将直线 l : ? 消去参数 t 得普通方程 3x ? y ? 2 3 ? 0 ,?2 分 3 ? y? t ? ? 2
将?

? x ? ? cos ? 代入 3x ? y ? 2 3 ? 0 得 3? cos? ? ? sin ? ? 2 3 ? 0 .??4 分 y ? ? sin ? ?

化简得 ? cos ? ? ?

? ?

??

? ? 3 ??4 分(注意解析式不进行此化简步骤也不扣分) 6?

(Ⅱ) C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 .??????????6 分 由?

? ? x ?1 或 ? ? x ? 3 ?????????8 分 ? 3x ? y ? 2 3 ? 0 解得: ? ? ? 2 2 ? ? ? x ? y ? 4x ? 0 ?y ? ? 3 ? ?y ? 3

所以 l 与 C 交点的极坐标分别为: (2,

5? ? ) , (2 3, ) .????????10 分 3 6

23 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 1|? x ? 2

1 1 ? 1 ? ? 1 ?x ? x?? ?? ? x ? ? 所以 ? ?????????3 分 2 或? 2 2 或? 2 ? ? ? ??4 x ? x ? 2 ? 2 ? x ? 2 ?4 x ? x ? 2
1 1 2 或 ? x ? ??????????????4 分 2 2 3 ? 2? 综上,不等式的解集为 ?0, ? .?????????????????5 分 ? 3?
解得 x ?? 或 0 ? x ? (Ⅱ) | 2 x ? a | ? | 2 x ? 1|? x ? 2 ,转化为 | 2 x ? a | ? | 2 x ? 1| ? x ? 2 ? 0 令 h( x) ?| 2 x ? a | ? | 2 x ? 1| ? x ? 2 ,??????????????6 分

1 ? ? ?5 x ? a ? 3, x ? ? 2 ? 1 a ? h( x) ? ?? x ? a ? 1, ? ? x ? ,??????????????7 分 2 2 ? a ? ? 3 x ? a ? 1, x ? 2 ?
a ? 0 时, h( x ) min ?


a ? 1 ,?????????????????8 分 2

a ? 1 ? 0, a 得 a ? 2.a ??????????????????10 分 2
14



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