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上海市华师大二附中高三数学综合练习9



上海市华师大二附中高三年级综合练习[9]
一、填空题(本大题满分 48 分)本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对 得 4 分,否则一律得零分。 1、方程 9 ? 7 ? 3 ? 18 ? 0 的解是
x x



x 2、已知集合 A ? x y ? lg( x ? 2) , B ? y y ? 2

,则 A ? B ?

?

?

?

?

。 。

3、若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ?10n(n ? 1 , 2, 3, ?) ,则 a5 ?

4、从 5 名候选同学中选出 3 名,分别保送北大小语种(每个语种各一名同学) :俄罗斯语、 阿拉伯语与希伯莱语,其中甲、乙二人不愿学希伯莱语,则不同的选法共有 种。 5、复数 1 ?

1? i 2 ( i 是虚数单位)是方程 x ? 2 x ? c ? 0 的一个根, 则实数 c ? 1? i



6、在 △ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 a ? 1 , c ? 3 , C ?

π ,则 3

A?



7 、如图,正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 中, AA 1 ? 2 AB ,则异面直线 A 1B 与 AD 1 所成角 为 。

8、 (理)若 sin(? ? ? ) cos? ? cos(? ? ? ) sin ? ? 则 tan( ? ?

2 2 , ? 在第三象限, 3

D1 A1 B1

C1

?
4

)?

。 。

(文)已知 ? ∈( 9、 (理) ? x

3 ? ? , ? ),sin ? = ,则 tan (? ? ) ? 5 2 4
n

? ?

2

1? ? ? 的展开式中,常数项为 15 ,则 n ? x?

D


C
B

A

? ?0 ? x ? 1 ? ?0 ? y ? 1 (文)若 x , y 满足条件 ? 下,则目标函数 u ? 2 x ? y 的最大值为__________。 3 ?x ? y ? 2 ?
10 、已知函数 f ( x) ? 2 的反函数为 f
x ?1

( x) , 若 f ?1 (a) ? f ?1 (b) ? 4 , 则

1 1 ? 的最小值 a b





11、 若不等式 (?1) a ? 2 ?
n

(?1) n?1 对于任意正整数 n 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 n



12、为了了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况,调查部门在某学校进行了如 下的随机调查:向被调查者提出两个问题: (1)你的学号是奇数吗?(2)在过路口的 时候你是否闯过红灯?要求被调查者背对调查人抛掷一枚硬币, 如果出现正面, 就回答 第(1)个问题;否则就回答第(2)个问题。被调查者不必告诉调查人员自己回答的是 哪一个问题,只需要回答“是”或“不是” ,因为只有被调查本人知道回答了哪个问题, 所以都如实做了回答。 如果被调查的 600 人 (学号从 1 到 600) 中有 180 人回答了 “是” , 由此可以估计在这 600 人中闯过红灯的人数是 。

二、选择题 (本大题满分 16 分) 本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个 结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号,选对 得 4 分,不选、错选或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分。 13、已知向量 a ? (?5,6),b ? (6,5) ,则 a 与 b ( A.垂直 B.不垂直也不平行 ) D.平行且反向 )

C.平行且同向

2 14、设 p, q 是两个命题: p : log 1 (| x | ?3) ? 0,q : x ? 2

5 1 x ? ? 0 ,则 p 是 q 的( 6 6

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

15、 已知农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成. 2005 年某地区农民人均收入为 3150 元(其中工资性收入为 1800 元,其他收入为 1350 元) ,预计该地区自 2006 年起的 5 年 内,农民的工资性收入将以 6 %的年增长率增长,其他收入每年增加 160 元。根据以上 数据,2010 年该地区农民人均收入介于 ( ) B.4400 元~ 4600 元 D.4800 元~ 5000 元

A.4200 元~ 4400 元 C.4600 元~ 4800 元

16、已知函数 y ? f ( x) 的图象如下左图,则函数 y ? f (

?
2

? x) ? sin x 在 [0, ? ] 上的大致图象
为 ( )

y

f ( x)
1

?

π 2

O
?1

π 2

x

三、解答题(本大题满分 86 分)本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤。 17、 (本题满分 12 分) 已知 z ? C , (1 ? i) z ? (1 ? i) z ? 2 ( i 是虚数单位) ,求 z 的最小值。

18、 (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos?x( 3 sin ?x ? cos?x) ? 1, (? ? 0) 的最小正周期是 ? ,求函数

f ( x) 的值域以及单调递减区间。

19、 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分。 已知函数 f ( x ) ? (1)求 m 的值; (2)请讨论它的单调性,并给予证明。

2 1 ? mx ? log 2 是奇函数。 x 1? x

20、 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分。 某段城铁线路上依次有 A、B、C 三站,AB=5km,BC=3km,在列车运行时刻表上,规定列 车 8 时整从 A 站发车,8 时 07 分到达 B 站并停车 1 分钟,8 时 12 分到达 C 站,在实际运行 中,假设列车从 A 站正点发车,在 B 站停留 1 分钟,并在行驶时以同一速度 匀速行

驶, 列车从 A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误 差。 (1)分别写出列车在 B、C 两站的运行误差; (用含 v 的表达式表示,并以分钟为单位) (2)若要求列车在 B,C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟,求 的取值范围。

21、 (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分, 第 3 小题满分 8 分。
2 已知公比为 q(0 ? q ? 1) 的无穷等比数列 ?an ? 各项的和为 9,无穷等比数列 an 各项的

? ?

和为

81 。 5

(1)求数列 ?an ? 的首项 a1 和公比 q ; (2)对给定的 k (k ? 1, 2,3,?, n) ,设 T ( k ) 是首项为 ak ,公差为 2a k ? 1 的等差数列,求 T ( 2) 的前 2007 项之和; (3) (理)设 bi 为数列 T
(i )

的第 i 项, Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn :

①求 Sn 的表达式,并求出 Sn 取最大值时 n 的值。

②求正整数 m(m ? 1) ,使得 lim
n ??

Sn 存在且不等于零。 nm

(文)设 bi 为数列 T

(i )

的第 i 项, Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn :求 Sn 的表达式,并求正整数

m(m ? 1) ,使得 lim

Sn 存在且不等于零。 n ?? n m

22、 (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 8 分。 (理)已知函数 y ? f ( x), x ? R 满足 f ( x ? 1) ? af ( x) , a 是不为 0 的实常数。 (1)若函数 y ? f ( x), x ? R 是周期函数,写出符合条件 a 的值; (2)若当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x(1 ? x) ,且函数 y ? f (x) 在区间 ?0, ? ?? 上的值域是闭 区间,求 a 的取值范围;
x ?x (3)若当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 3 ? 3 ,试研究函数 y ? f (x) 在区间 ?0,??? 上是否可能

是单调函数?若可能,求出 a 的取值范围;若不可能,请说明理由。 (文)已知函数 y ? f ( x), x ? R 满足 f ( x ? 1) ? af ( x) , a 是不为 0 的实常数。 (1)若当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x(1 ? x) ,求函数 y ? f ( x), x ? ?0,1?的值域; (2)在(1)的条件下,求函数 y ? f ( x), x ? ?n, n ? 1?, n ? N 的解析式;
x (3)若当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 3 ,试研究函数 y ? f (x) 在区间 ?0,??? 上是否可能是单

调函数?

若可能,求出 a 的取值范围;若不可能,请说明理由。

上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[9] 参考答案 1、 x ? 2 ;2、 ?2,??? ;3、 ? 1 ;4、 36 ;5、 2 ;6、 8、 (理) ?

4 ? ;7、 arccos ; 5 6

1 5 1 9?4 2 3? ? ; (文) ;9、 (理) 6 ; (文) ;10、 ;11、 ?? 2, ? ;12、60; 7 2 2 7 2? ?

13、 A ;14、 A ;15、 B ;16、 A 17、 (12' ) 设 z ? a ? bi(a, b ? R) , 则 (1 ? i)(a ? bi) ? (1 ? i)(a ? bi) ? 2 , 解得:a ? b ? 1 ;

1 1 ? z ? a 2 ? b 2 ? (1 ? b) 2 ? b 2 ? 2(b ? ) 2 ? ; 2 2

?当 b ? ?

1 3 1 2 ,即 z ? ? i 时, z min ? 。 2 2 2 2

18、 (12' ) f ( x) ?

3 c o s 2?x ? 1 n i s 2?x ? ? 1 ?n ( i s 2 2

? 1 2?x ? ) ? ; 6 2

? T ? ? ,?

? 1 2? ? 1 3? ? ? ,? ? ? 1 ; ? f ( x) ? sin( 2 x ? ) ? 的值域为 ?? , ? ; 6 2 2? ? 2 2?

? 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

3? ? 5? ? ? , k ? Z ,? x ? ?k? ? , k? ? ,k ? Z , 2 3 6? ? ?

? f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

)?

1 ? 5? ? ? 的单调递减区间是 ?k? ? , k? ? ,k ? Z 。 2 3 6? ? ?

19、 (7'+7' ) (1)? f ( x) 是奇函数,? f (? x) ? f ( x) ? 0 ;

2 1 ? mx 2 1 ? mx ? log 2 ) ? ( ? log 2 ) ? 0 ,解得: m ? 1 ,其中 m ? ?1 (舍) ; x 1? x x 1? x 2 1? x ( x ? ?? 1,0? ? ?0,1?) 确是奇函数。 经验证当 m ? 1 时, f ( x) ? ? log 2 x 1? x
即 (? (2)先研究 f ( x) 在(0,1)内的单调性,任取 x1、x2∈(0,1) ,且设 x1<x2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ?( 由

1 ? x1 2 1 ? x2 2 ? log2 ? ? log2 x1 1 ? x1 x 2 1 ? x2 2 2 2 2 ? ) ? [log2 ( ? 1) ? log2 ( ? 1)], x1 x 2 1 ? x2 1 ? x1

2 2 2 2 ? ? 0, log2 ( ? 1) ? log2 ( ? 1) ? 0, x1 x 2 1 ? x2 1 ? x1

得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0,即 f ( x) 在(0,1)内单调递减; 由于 f ( x) 是奇函数,其图象关于原点对称,所以函数 f ( x) 在(-1,0)内单调递减。 20、 (6' +8' ) (1) 列车在 B, C 两站的运行误差 (单位: 分钟) 分别是: (2)由于列车在 B,C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟, 所以 ①当 ②当 ③当 时, (*)式变形为 时, (*)式变形为 时, (*)式变形为 ,解得 (*) ,解得 ,解得 ; ; ; 和 。

综上所述, 的取值范围是 ?39, 。 4 ? ? ?

?

195?

? a1 ?a1 ? 3 ?1 ? q ? 9 ? ? ?? 21、 (4'+4'+8' ) (1)依题意可知, ? 2 2。 q? ? a 1 ? 81 ? 3 ? 2 ? 5 ?1 ? q

(2)由(1)知, an ? 3 ? ? ?

?2? ?3?

n?1

,所以数列 T

( 2)

的的首项为 t1 ? a2 ? 2 ,公差 d ? 2a2 ? 1 ? 3 ,

1 S 2007 ? 2007 ? 2 ? ? 2007 ? 2006 ? 3 ? 6043077 ,即数列的前 2007 项之和为 6043077 。 2

? 2? (3) (理) bi = ai ? ?i ? 1??2ai ? 1? = ?2i ? 1?ai ? ?i ? 1? = 3?2i ? 1?? ? ? 3? ? 2 ? n?n ? 1? ① Sn ? 45 ? ?18n ? 27?? ? ? ; 2 ? 3?
n

i ?1

? ?i ? 1? ;

由?

?bn ? bn ?1 ,解得 n ? 2 , ?bn ? bn ?1
14 29 4 53 , b4 ? , b5 ? , b6 ? ? ? 0 , 3 9 3 81

计算可得 b1 ? 3, b2 ? 5, b3 ?

因为当 n ? 2 时, bn ? bn?1 ,所以 S n 当 n ? 5 时取最大值。

Sn 45 18n ? 27 ? 2 ? n?n ? 1? ② lim m = lim m ? , ? ? ? m n?? n ?? n n n 2n m ?3?
n

当 m ? 2 时, lim

Sn Sn 1 =- ,当 m ? 2 时, lim m =0,所以 m ? 2 。 m n ?? n n ?? n 2
i ?1

? 2? (文) bi = ai ? ?i ? 1??2ai ? 1? = ?2i ? 1?ai ? ?i ? 1? = 3?2i ? 1?? ? ? 3? ? 2 ? n?n ? 1? ; Sn ? 45 ? ?18n ? 27?? ? ? 2 ? 3?
n

? ?i ? 1? ;

lim

Sn 45 18n ? 27 ? 2 ? n?n ? 1? = lim m ? , ? ? ? m n?? n ?? n m n n 2n m ?3?
n

当 m ? 2 时, lim

Sn Sn 1 =- ,当 m ? 2 时, lim m =0,所以 m ? 2 。 m n ?? n n ?? n 2

22、 (4'+6'+8' ) (理) (1) a ? 1时,T=1 , a ? -1时,T=2 ;

x ?n + 1 n ( n 0 , Z ? ) (2) 当n ?

?

时 , fn ? x ? ? afn?1 ? x ?1? ? a2 fn?1 ? x ? 2? ? ? ? an f1 ? x ? n? ,
1 n 1 n a ? f n ( x) ? a ; 4 4

? fn ? x ? ? an ? x ? n ?? n ? 1? x ? ,? ?
当 a ? 1时 f ? x ? ? ? ??,+?? 舍去;

当 a ? 1 时 f ? x ? ? ?0, ? 符合,当 a ? ?1 时 f ? x ? ? ? ? , ? 符合; 4 4 4 当 0 ? a ? 1 时 f ? x ? ? ?0, ? 符合,当 ? 1 ? a ? 0 时 f ? x ? ? ?0, ? 符合;

? 1? ? ?

? 1 1? ? ?

? 1? ? 4?

? 1? ? 4?

?a ???1,0? ? ? 0,1? 。
(3) 当 n ?x ? n + 1 n ( n 0 , Z ? )

?

时 , fn ? x ? ? afn?1 ? x ?1? ? a2 fn?1 ? x ? 2? ? ? ? an f1 ? x ? n? ,

? f n ( x) ? a n (3x?n ? 3n? x ) ;
易证函数 f n ( x) ? a n (3x?n ? 3n? x ), x ? ?n, n ? 1?, n ? 0, n ? Z 当 a ? 0 时是增函数, 此时? f n ( x) ? ?2a ,
n

? ?

10 n ? a , 3 ? ?
n ?1

若函数 y ? f (x) 在区间 ?0, ? ?? 上是是单调增函数,则必有 2a

?

5 10 n a ,解得: a ? ; 3 3

显然当 a ? 0 时,函数 y ? f (x) 在区间 ?0, ? ?? 上不是单调函数; 所以 a ?

5 。 3

(文) (1)? f ( x) ? ?( x ? ) ?
2

1 2

1 ? 1? , x ? ?0,1?,? f ( x) ? ?0, ? 。 4 ? 4?

(2)当 n ? x ? n+1(n ? 0,n ? Z)时 ,

fn ? x ? ? afn?1 ? x ?1? ? a2 fn?1 ? x ? 2? ? ? ? an f1 ? x ? n? ,
? fn ? x ? ? an ? x ? n ?? n ? 1? x ? 。
n + 1 n ( n 0 , Z ? ) (3) 当 n ?x ?
? f n ( x) ? a n ? 3x?n ;
显然 f n ( x) ? a ? 3
n x ?n

?

时 , fn ? x ? ? afn?1 ? x ?1? ? a2 fn?1 ? x ? 2? ? ? ? an f1 ? x ? n? ,

, x ? ?n, n ? 1?, n ? 0, n ? Z 当 a ? 0 时是增函数,
n

此时? f n ( x) ? a ,3a
n

?

?,
n ?1

若函数 y ? f (x) 在区间 ?0, ? ?? 上是是单调增函数,则必有 a

? 3a n ,解得: a ? 3 ;

显然当 a ? 0 时,函数 y ? f (x) 在区间 ?0, ? ?? 上不是单调函数;

所以 a ? 3 。



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