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导数的应用详解



高三数学黄金考点—导数的应用
名师点拨:
1.f′(x)>0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件. 2.函数在某区间上或定义域内极大值不是唯一的. 3.函数的极大值不一定比极小值大. 4. f′(x0)=0 是 x0 点为极值点的既不充分也不必要条件. 5.函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值. 6.可导函数极值存在的条件: (1)

可导函数的极值点 x0 一定满足 f′(x0)=0,但当 f′(x1)=0 时,x1 不一定是极值点.如 f(x)= x3,f′(0)=0,但 x=0 不是极值点. (2)可导函数 y=f(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f′(x0)=0,且在 x0 左侧与右侧 f′(x)的符号 不同. 7.函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的,函数的极值是比较极值点附近的 函数值得出来的.函数的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区间内取得,最值则可以在端 点取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值,极值可能成为最值,最值只要不在端点必定是极 值. 8.求函数的最值以导数为工具,先找到极值点,再求极值和区间端点函数值,其中最大的一个是最 大值,最小 的一个是最小值.
[来源:Z#xx#k.Com]

课本经典习题:(1)选修 2—1 第 77 页
抛物线 y ? x 2 上到直线 2 x ? y ? 4 的距离最小点的坐标是( ) A( , )
2

1 1 2 4

B (1,1)

C( , )

3 9 2 4

D ( 2,4)

解 设 y ? x 则 y ' ? 2 x 设距离最小点的坐标为 ( x0 , y0 ) ,所以 2 x0 ? 2 。得到 x0 ? 1 ,选 B 【经典理由】在解析几何中,一些最值问题(如弦长、面积、距离等)常可用导数工具轻松的解决。 (2)必修 4 第 114 页例 7

cos ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? cos ? cos ? 1 ? sin ? ? 证明 设 f (? ) ? 1 ? sin ? cos ?
证明: 则 f ' (? ) ?

(cos? )'(1 ? sin ? ) ? cos? (1 ? sin ? )' (1 ? sin ? )' cos ? ? (1 ? sin ? )(cos ? )' ? cos 2 ? (1 ? sin ? ) 2

?

1 1 ? sin ? ? sin ? ? sin 2 ? ? cos2 ? cos2 ? ? sin ? ? sin 2 ? ?0 ? ? ? 2 2 1 ? sin ? cos 2 ? cos ? (1 ? sin ? )
因为 f (0) ? 0 ,所以 f (? ) ? 0 。故上式成立

所以 f (? ) ? c (c 为常数)

【经典理由】证明三角恒等问题,即证明对任意 x 等式恒成立,可将等式中各项全移到一边,只要证明这 一边的导数为零即可。 (3)选修 2-2 第 12 页第 6 题 证明:当 x ? 0 时, sin x ? x 证明令 f ( x) ? x ? sin x ,则 f ' ( x) ? 1 ? cos x 因为

x ? 0 所以 f ' ( x) ? 0

得到 f ( x) ? f (0) 即 f ( x) ? 0 ,故上式成立 【经典理由】在证明不等式时,可根据不等式特点构造函数,用导数判断单调性,利用函数单调性证明不 等式,求出函数的最值,由该函数在取得最值时该不等式成立,可得该不等式成立。 (4)必修 5 第 39 页 求和: S n ? 1 ? 2x ? 3x 2 ? ? ? nxn?1 ( x ? 0, x ? 1) 解:设 f ( x) ? x ? x ? x ? ? ? x
2 3 n

x(1 ? x n ) 由等比数列前 n 项和公式得 f ( x) ? 1? x
因为 f ' ( x) ? 1 ? 2 x ? 3x ? ? ? nx
2 n?1

所以 S n ? f ' ( x)

而 f ' ( x) ?

1 ? (n ? 1) x n ? nxn?1 (1 ? x) 2

所以 S n ?

1 ? (n ? 1) x n ? nxn?1 (1 ? x) 2

【经典理由】要借助导数解决数列问题,关键是构建合理的函数,借助函数的性质考查数列的性质,数列 是特殊的函数。故对数列中如求数列的最值项,前 n 项和的最值,恒成立问题,若用函数思想来解决,往 往会收到意想不到的效果。

考点交汇展示: (1)导数与三角函数交汇

例 1.已知函数 f ? x ? 的导函数如图所示,若 ?ABC 为锐角三角形,则下列不等式一定成立的是( A. f ? sin A? ? f ? cos A? C. f ? cos A? ? f ? cos B ? B. f ? sin A? ? f ? cos B ? D. f ? sin A? ? f ? cos B ?

)

的导函数图像可得到 f ? x ? 在区间 ? 0,1? 上是单调递减的,所以 1 ? sin A ? cos B ? 0

? f ?sin A? ? f ? cos B? ,故选 D.
考点:导函数 单调性 锐角三角形 例 2.【2015 高考安徽,理 21】设函数 f ( x ) ? x ? ax ? b .
2

(Ⅰ)讨论函数 f (sin x) 在 ( ?

? ?

, ) 内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值; 2 2

(Ⅱ)记 f0 ( x) ? x2 ? a0 x ? b0 ,求函数 f (sin x) ? f0 (sin x) 在 [ ? (Ⅲ)在(Ⅱ)中,取 a0 ? b0 ? 0 ,求 z ? b ?

? ?

, ] 上的最大值 D; 2 2

a2 满足 D ? 1时的最大值. 4

【答案】 (Ⅰ)极小值为 b ?

a2 ; (Ⅱ) D ?| a ? a0 | ? | b ? b0 | ; (Ⅲ)1. 4

由此可知,函数 f (sin x) ? f0 (sin x) 在 [ ?

? ?

, ] 上的最大值为 D ?| a ? a0 | ? | b ? b0 | . 2 2

a2 ?1. (Ⅲ) D ? 1,即 | a | ? | b |? 1 ,此时 0 ? a ? 1, ?1 ? b ? 1 ,从而 z ? b ? 4
2

a2 ?1. 取 a ? 0, b ? 1 ,则 | a | ? | b |? 1 ,并且 z ? b ? 4
由此可知, z ? b ?

a2 满足条件 D ? 1的最大值为 1. 4

【考点定位】1.函数的单调性、极值与最值;2.绝对值不等式的应用. 【名师点睛】函数、导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法,在含有参数的试题中,分类与整合思想是 必要的,由于是函数问题,所以函数思想、数形结合思想也是必要的,把不等式问题转化为函数最值问题、 把方程的根转化为函数零点问题等,转化与化归思想也起着同样的作用,解决函数、导数的解答题要充分 注意数学思想方法的应用.

(2)导数与数列交汇
例 1【2015 高考湖南,理 21】.已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? eax sin x( x ?[0, ??)) ,记 x n 为 f ( x ) 的从小到大 的第 n (n ? N * ) 个极值点,证明: (1)数列 { f ( xn )} 是等比数列 (2)若 a ?

1 e ?1
2

,则对一切 n ? N , xn ?| f ( xn ) | 恒成立.
*

【答案】 (1)详见解析; (2)详见解析.

【考点定位】1.三角函数的性质;2.导数的运用;3.恒成立问题. 【名师点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题,主要考查了函数思想,化归思想,抽象概括能力, 综合分析问题和解决问题的能力,属于较难题,近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度,不仅题型在 变化,而且问题的难度、深度与广度也在不断加大,本部分的要求一定有三个层次:第一层次主要考查求 导公式,求导法则与导数的几何意义;第二层次是导数的简单应用,包括求函数的单调区间、极值、最值 等;第三层次是综合考查,包括解决应用问题,将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调

性有机结合,设计综合题.

(3)导数与圆锥曲线交汇
例 1.已知抛物线 y=-x +2,过其上一点 P 引抛物线的切线 l,使 l 与两坐标轴在第一象限围成的三角形的 面积最小,求 l 的方程
2

【考点分类】 热点 1 利用导数研究函数的单调性

1. 【2015 高考江苏,19】 (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? b(a, b ? R) .
3 2

(1)试讨论 f ( x) 的单调性; (2)若 b ? c ? a (实数 c 是 a 与无关的常数) ,当函数 f ( x) 有三个不同的零点时,a

的取值范围恰好是 (?? ,?3) ? (1, ) ? ( ,?? ) ,求 c 的值. 【答案】 (1)当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? ??, ??? 上单调递增; 当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? ??, ?

3 2

3 2

? ?

2a ? ? 2a ? ? , ? 0, ??? 上单调递增,在 ? ? , 0 ? 上单调递减; 3 ? ? 3 ?
2a ? ? 2a ? ? , ?? ? 上单调递增,在 ? 0, ? ? 上单调递减. 3 ? ? 3 ? ?

当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? ??,0? , ? ? (2) c ? 1.

设 g ?a? ?

4 3 a ? a ? c ,因为函数 f ? x ? 有三个零点时, a 的取值范围恰好是 27

? ??, ?3? ? ? ?1,

3? ?3 ? ? 3? ?3 ? ? ? ? , ?? ? ,则在 ? ??, ?3? 上 g ? a ? ? 0 ,且在 ?1, ? ? ? , ?? ? 上 g ? a ? ? 0 均恒成立, ? 2? ?2 ? ? 2? ?2 ?

【考点定位】利用导数求函数单调性、极值、函数零点 【名师点晴】 求函数的单调区间的步骤:①确定函数 y=f(x)的定义域;②求导数 y′=f′(x),令 f′(x) =0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根;③把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和 上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间;④ 确定 f′(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性. 已知函数的零点 个数问题处理方法为:利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像,数形结合求解. 已知不等式解集求参数方法:利用不等式解集与对应方程根的关系找等量关系或不等关系. 2.【2014 高考安徽卷第 18 题】设函数 (1) 讨论

f ( x) ? 1 ? (1 ? a) x ? x2 ? x3 ,其中 a ? 0 .

f ( x) 在其定义域上的单调性;

(2) 当 x ? [0,1] 时,求

f ( x) 取得最大值和最小值时的 x 的值.

【答案】 (1) f ( x ) 在 (??, x1 ) 和 ( x2 , ??) 内单调递减,在 ( x1 , x2 ) 内单调递增; (2)所以当 0 ? a ? 1 时,

f ( x) 在 x ? 1 处取得最小值;当 a ? 1 时, f ( x) 在 x ? 0 和 x ? 1 处同时取得最小只;当1 ? a ? 4 时, f ( x) 在 x ? 0 处取得最小值.
【解析】 (1)

f ( x) 的定义域为 R , f '( x) ? 1 ? a ? 2x ? 3x2 .令 f '( x) ? 0 ,得

x1 ?


?1 ? 4 ? 3a ?1 ? 4 ? 3a , x2 ? , x1 ? x2 ,所以 f '( x) ? ?3( x ? x1 )( x ? x2 ) .当 x ? x1 或 x ? x2 3 3

f '( x) ? 0 ;当 x1 ? x ? x2 时, f '( x) ? 0 .故 f ( x) 在 (??, x1 ) 和 ( x2 , ??) 内单调递减,在 ( x1 , x2 ) 内

单调递增. (2)因为 a ? 0 ,所以 x1 ①当 a ? 4 时, x2

? 0, x2 ? 0 .

? 1 ,由(1)知, f ( x) 在 [0,1] 上单调递增,所以 f ( x) 在 x ? 0 和 x ? 1 处分别取得最 ? 1 .由(1)知, f ( x) 在 [0, x2 ] 上单调递增,在 [ x2 ,1] 上单调递减,

小值和最大值.②当 0 ? a ? 4 时, x2

因此

f ( x) 在 x ? x2 ?

?1 ? 4 ? 3a 处取得最大值.又 f (0) ? 1, f (1) ? a , 所以当 0 ? a ? 1 时,f ( x ) 在 3

x ? 1 处取得最小值;当 a ? 1 时, f ( x) 在 x ? 0 和 x ? 1 处同时取得最小只;当1 ? a ? 4 时, f ( x) 在

x ? 0 处取得最小值.
考点:1.含参函数的单调性;2.含参函数的最值求解.
2 2 3. 【2015 高考四川,理 21】已知函数 f ( x) ? ?2( x ? a)ln x ? x ? 2ax ? 2a ? a ,其中 a ? 0 .

(1)设 g ( x) 是 f ( x ) 的导函数,评论 g ( x) 的单调性; (2)证明:存在 a ? (0,1) ,使得 f ( x) ? 0 在区间(1,+?)内恒成立,且 f ( x) ? 0 在(1,+?)内有唯一解. 【答案】 (1)当 0 ? a ?

1 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4 a 时, g ( x) 在区间 (0, ), ( , ??) 上单调递增, 在区间 4 2 2

1 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4 a ( , ) 上单调递减;当 a ? 时, g ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递增.(2)详见解析. 4 2 2

【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识,考查推理论证能 力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类与整合,化归与转化等数学思想. 【方法规律】 求可导函数单调区间的一般步骤和方法 (1)确定函数 f(x)的定义域. (2)求 f′(x),令 f′(x)=0,求出它们在定义域内的一切实数根. (3)把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然 后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间. (4)确定 f′(x)在各个开区间内的符号, 根据 f′(x)的符号判定函数 f(x)在每个相应小开区间内的增减性. 【解题技巧】 讨论函数的单调区间的关键是讨论导数大于 0 或小于 0 的不等式的解集,一般就是归结为一个一元二 次不等式的解集的讨论,在能够通过因式分解得到导数等于 0 的根的情况下 ,根的大小是分类的标准

【易错点睛】 (1)注意函数定义域的确定. (2)解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题,处理好 f′(x)=0 时的情况;区分极值点和导数为 0 的点.

热点 2

利用导数研究函数的最值极值

2 1.【2015 高考山东,理 21】设函数 f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? a x ? x ,其中 a ? R .

?

?

[来源:Z+xx+k.Com]

(Ⅰ)讨论函数 f ? x ? 极值点的个数,并说明理由; (Ⅱ)若 ?x ? 0, f ? x ? ? 0 成立,求 a 的取值范围. 【答案】 (I) :当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上有唯一极值点; 当0 ? a ? 当a ?

8 时,函数 f ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上无极值点; 9

8 时,函数 f ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上有两个极值点; 9

(II) a 的取值范围是 ?0,1? .

②当 a ?

8 时, ? ? 0 9
2

设方程 2ax ? ax ? 1 ? a ? 0 的两根为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ),

因为 x1 ? x2 ? ? 所以, x1 ? ?

1 2

1 1 , x2 ? ? 4 4 1 , 4

由 g ? ?1? ? 1 ? 0 可得: ?1 ? x1 ? ?

所以,当 x ? ? ?1, x1 ? 时, g ? x ? ? 0, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增; 当 x ? ? x1, x2 ? 时, g ? x ? ? 0, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减; 当 x ? ? x2 , ??? 时, g ? x ? ? 0, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增; 因此函数 f ? x ? 有两个极值点.

(II)由(I)知, (1)当 0 ? a ? 因为 f ? 0? ? 0 所以, x ? ? 0, ??? 时, f ? x ? ? 0 ,符合题意; (2)当

8 时,函数 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增, 9

8 ? a ? 1 时,由 g ? 0? ? 0 ,得 x2 ? 0 9

所以,函数 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增,

又 f ? 0? ? 0 ,所以, x ? ? 0, ??? 时, f ? x ? ? 0 ,符合题意;

【考点定位】1、导数在研究函数性质中的应用;2、分类讨论的思想. 【名师点睛】本题考查了导数在研究函数性质中的应用,着重考查了分类讨论、数形结合、转化的思想方 法,意在考查学生结合所学知识分析问题、解决问题的能力,其中最后一问所构造的函数体现了学生对不 同函数增长模型的深刻理解. 2. 【2015 江苏高考,17】 (本小题满分 14 分) 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路 的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为 l 1, l2 ,山区边界曲线为 C,计划修建的公路为 l,如图 所示,M,N 为 C 的两个端点,测得点 M 到 l 1, l2 的距离分别为 5 千米和 40 千米,点 N 到 l 1, l2 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米,以 l 1, l2 所在的直线分别为 x,y 轴,建立平面直角坐标系 xOy,假设曲线 C 符合函数

y?

a x ?b
2

[来源:学科网 ZXXK]

(其中 a,b 为常数)模型.

(1)求 a,b 的值; (2)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点,P 的横坐标为 t. ①请写出公路 l 长度的函数解析式 f ? t ? ,并写出其定义域; ②当 t 为何值时,公路 l 的长度最短?求出最短长度. 【答案】 (1) a ? 1000, b ? 0; (2)① f (t ) ?

9 ? 106 9 2 ? t , 定义域为 [5, 20] ,② t ? 10 2, f (t )min ? 15 3 千米 t4 4

【考点定位】利用导数求函数最值,导数几何意义 【名师点晴】解决实际应用问题首先要弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型, 然后将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;本 题已直接给出模型,只需确定其待定参数即可.求解数学模型,得出数学结论,这一步骤在应用题中要求不 高,难度中等偏下,本题是一个简单的利用导数求最值的问题.首先利用导数的几何意义是切点处切线的斜 率,然后再利用导数求极值与最值.

ex 2 3. 【2014 高考山东卷第 20 题】设函数 f ( x) ? 2 ? k ( ? ln x) ( k 为常数, e ? 2.71828 ??? 是自然对数的 x x
底数). (Ⅰ)当 k ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在 (0, 2) 内存在两个极值点,求 k 的取值范围. 【答案】 (I) f ( x) 的单调递减区间为 (0, 2) ,单调递增区间为 (2, ??) .

(II)函数在 (0, 2) 内存在两个极值点时,k 的取值范围为 (e, 【解析】

e2 ). 2

(II)由(I)知, k ? 0 时,函数 f ( x) 在 (0, 2) 内单调递减, 故 f ( x) 在 (0, 2) 内不存在极值点;
x 当 k ? 0 时,设函数 g ( x) ? e ? kx, x ?[0, ??) ,

因为 g ( x) ? e ? k ? e ? e
' x x

ln k



当 0 ? k ? 1 时, 当 x ? (0, 2) 时, g ' ( x) ? e x ? k ? 0 , y ? g ( x) 单调递增, 故 f ( x) 在 (0, 2) 内不存在两个极值点; 当 k ? 1 时,
' 得 x ? (0,ln k ) 时, g ( x) ? 0 ,函数 y ? g ( x) 单调递减,

x ? (ln k , ??) 时, g ' ( x) ? 0 ,函数 y ? g ( x) 单调递增,
所以函数 y ? g ( x) 的最小值为 g (ln k ) ? k (1 ? ln k ) , 函数 f ( x) 在 (0, 2) 内存在两个极值点;

考点:应用导数研究函数的单调性、极值,分类讨论思想,不等式组的解法. 【方法规律】 1.求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域. (2)求方程 f′(x)=0 的根. (3)用方程 f′(x)=0 的根和不可导点的 x 的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并形成表格. (4)由 f′(x)=0 的根左右的符号以及 f′(x)在不可导点左右的符号来判断 f′(x)在这个根或不可导点处 取极值的情况. 2.函数的最大(小)值是在函数极大(小)值基础上的发展.从函数图象上可以直观地看出:如果在闭区间[a, b]上函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值,只要把函数 y=f(x)的所有 极值连同端点处的函数值进行比较,就可以求出函数的最大(小)值. 【解题技巧】 1.在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即 可,不必再与端点的函数值比较. 2.对于可导函数 f(x),f′(x0)=0 是函数 f(x)在 x=x0 处有极值的必要不充分条件. 3.可导函数极值存在的条件: (1)可导函数的极值点 x0 一定满足 f′(x0)=0,但当 f′(x1)=0 时,x1 不一定是极值点.如 f(x)=x3, f′(0)=0,但 x=0 不是极值点. (2)可导函数 y=f(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f′(x0)=0,且在 x0 左侧与右侧 f′(x)的符号不 同. 4.函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的,函数的极值是比较极值点附近的函数 值得出来的.函数的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取 得,有极 值的未必有最值,有最值的未必有极值,极值可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值. 5.求函数的最值以导数为工具,先找到极值点,再求极值和区间端点函数值,其中最大的一个是最大

值,最小的一个是最小值. 【易错点睛】 (1)求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论;另外注意函数最 值是个“整体”概念,而极值是个“局部”概念. (2)f′(x0)=0 是 y=f(x)在 x=x0 取极值的既不充分也不必要条件. 如①y=|x|在 x=0 处取得极小值,但在 x=0 处不可导; ②f(x)=x ,f′(0)=0,但 x=0 不是 f(x)=x 的极值点. (3)若 y=f(x)可导,则 f′(x0)=0 是 f(x)在 x=x0 处取极值的必要条件. 【易错点】判断函数极值时要注意导数为 0 的点不一定是极值点,所以求极值时一定要判断导数为 0 的点 左侧与右侧的单调性,然后根据极值的定义判断是极大值还是极小值.
3 3

热点 3

利用导数研究综合问题

1. 【2015 高考陕西,理 12】对二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ( a 为非零常数) ,四位同学分别给出下列结 论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是( A. ?1 是 f ( x ) 的零点 C.3 是 f ( x ) 的极值 【答案】A )

B.1 是 f ( x ) 的极值点 D. 点 (2,8) 在曲线 y ? f ( x) 上

【考点定位】1、函数的零点;2、利用导数研究函数的极值. 【名师点晴】本 题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数的极值,属于难题.解题时一定要抓住重 要字眼“有且仅有一个”和“错误” ,否则很容易出现错误.解推断结论的试题时一定要万分小心,除了作 理论方面的推导论证外,利用特殊值进行检验,也可作必要的合情推理. 2. 【2015 高考新课标 2,理 21】 (本题满分 12 分)

设函数 f ( x) ? emx ? x2 ? mx . (Ⅰ)证明: f ( x ) 在 (??, 0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递增; (Ⅱ)若对于任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ?1,求 m 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) [?1,1] .

【考点定位】导数的综合应用. 【名师点睛】 (Ⅰ)先求导函数 f ( x) ? m(e
' mx

?1) ? 2x ,根据 m 的范围讨论导函数在 (??, 0) 和 (0, ??) 的符

号即可; (Ⅱ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ?1 恒成立,等价于 f ( x1 ) ? f ( x2 ) max ? e ?1 .由 x1 , x2 是两个独立的变 量,故可求研究 f ( x ) 的值域,由(Ⅰ)可得最小值为 f (0) ? 1 ,最大值可能是 f (?1) 或 f (1) ,故只需

? f (1) ? f (0) ? e ? 1, ,从而得关于 m 的不等式,因不易解出,故利用导数研究其单调性和符号,从而得 ? ? f (?1) ? f (0) ? e ? 1,
解.

3. 【2014 高考福建理第 20 题】 已知函数 f ?x ? ? e x ? ax ( a 为常数) 的图象与 y 轴交于点 A , 曲线 y ? f ?x ? 在点 A 处的切线斜率为-1. (I)求 a 的值及函数 f ?x ? 的极值; (II)证明:当 x ? 0 时, x ? e ;
2 x

(III)证明:对任意给定的正数 c ,总存在 x 0 ,使得当 x ? ?x0, ? ?? ,恒有 x ? ce .
2 x

【答案】 (I) a ? 2 ,极值参考解析;(II)参考解析;(III)参考解析

考点:1.函数的极值.2.构建新函数证明不等式.3.开放性题.4.导数的综合应用.5.运算能力.6.分类讨论的 数学思想.有不同的方式,只要正确,均相应给分.

注:对 c 的分类不同 4. 【2014 高考广东理第 21 题】设函数 f ? x ? ? (1)求函数 f ? x ? 的定义域 D (用区间表示) ; (2)讨论函数 f ? x ? 在 D 上的单调性; (3)若 k ? ?6 ,求 D 上满足条件 f ? x ? ? f ?1? 的 x 的集合(用区间表示). 【答案】 (1) ??, ?1 ? 2 ? k ? ?1 ? ?2 ? k , ?1 ? ?2 ? k ? ?1 ? 2 ? k , ?? ; (2)单调递增区间为 ??, ? 1 ? 2 ? k , ?1, ? 1 ? ?2 ? k , 递减区间为 ?1 ? ?2 ? k , ? 1 , ?1 ? 2 ? k , ?? ; (3)

1

?x

2

? 2x ? k ? ? 2 ? x ? 2x ? k ? ? 3
2 2

,其中 k ? ?2 .

?

? ?

? ?

?

?

? ?

?

?

? ?

?

? ?1 ?

?2k ? 4, ?1 ? 2 ? k ? ?1 ? ?2 ? k , ?3 ? 1, ?1 ? ?2 ? k ? ?1 ? 2 ? k , ?1 ? ?2k ? 4 .

? ?

? ?

? ?

?

所以函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ??, ? 1 ? 2 ? k , ?1, ? 1 ? ?2 ? k ,

?

? ?

?

【考点定位】本题以复合函数为载体,考查函数的定义域、单调区间以及不等式的求解,从中渗透了二次 不等式的求解,在求定义域时考查了分类讨论思想,以及利用作差法求解不等式的问题,综合性强,属于 难题. 【方法规律】 利用导数证明不等式要考虑构造 新的函数,利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题.比如 要证明对任意 x∈[a,b]都有 f(x)≥g(x),可设 h(x)=f(x)-g(x)只要利用导数说明 h(x)在[a,b]上的最 小值为 0 即可.解题技巧总结如下: (1)树立服务意识:所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质(一般第一问先让解决出来) ,如函 数的单调性、最值等,服务于第二问要证明的不等式. (2)强化变形技巧:所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手,可考虑对不等式进 行必要的等价变形后,再去证明.例如采用两边取对数(指数) ,移项通分等等.要注意变形的方向:因为要 利用函数的 性质,力求变形后不等式一边需要出现函数关系式. (3)巧妙构造函数:所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征,构造函数,利用函数的最值进行 解决.在构造函数的时候灵活多样,注意积累经验,体现一个“巧妙”. 【解题技巧】 1. 利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题,要注意分类讨论和数形结合 思想的应用.

2. 在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值 即可,不必再与端点的函数值比较. 【易错点睛】 1. 函数 f(x)在某个区间内单调递增,则 f′(x)≥0 而不是 f′(x)>0 (f′(x)=0 在有限个点处取到). 2. 利用导数解决实际生活中的优化问题,要注意问题的实际意义.

【热点预测】
1.【2015 高考福建,理 10】若定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? 0? ? ?1 ,其导函数 f ? ? x ? 满足

f ? ? x ? ? k ? 1 ,则下列结论中一定错误的是(
A. f ?



?1? 1 ?? ?k? k

B. f ?

1 ?1? ?? ? k ? k ?1

C. f ?

1 ? 1 ? ?? ? k ?1 ? k ?1

D. f ?

k ? 1 ? ?? ? k ?1 ? k ?1

【答案】C

2.定义在 ? 0 ,

? ?

??

? 上的函数 f ? x ? , f ? ? x ? 是它的导数,且恒有 f ? x ? ? f ? ? x ? ? tan x 成立,则( 2?
B. f ?1? ? 2 f ?



A. 3 f ?

?? ? ?? ? ?? 2f ? ? ?4? ?3?

?? ? ?? ? ?? ? ? sin1 C. 2 f ? ? ? f ? ? ?6? ?6? ?4?

D. 3 f ?

?? ? ?? ? ?? f ? ? ?6? ?3?

【考点定位】本题考查函数与导数等知识,意在考查应用导数研究函数的单调性,进而比较数式的大小的 能力. 【答案】D. 【解析】 构造函数 g ? x ? ?
f ? x? ? f ?? x ?n i s x f? x ?c o sx ? ? ? ?? 则 g? ? x? ? ? x ??0 , ?? , 2 sin x ? 2 n i s x ? ??

. 由已知 f ? x ? ? f ? ? x ? ? tan x ,

又 x ?? 0 ,

? ?

??

? ?? ? , ? cos x ? 0 , ? f ? ? x ? sin x ? f ? x ? cos x ? 0 , ? g ? ? x ? ? 0 , ? g ? x ? 在 ? 0 , 2 ? 上为增函数, 2? ? ?

?? ? ?? ? ?? ? f? ? f? ? f? ? f 1 ? ? ?3? ? ? ? ? 6 4 ?? ? ?? ? ?0 ? ? ? 1 ? ? ,? ? ? ? ? ? ? ? ,? 3 f ? ? ? 2 f ? ? , ? ? ? 6 4 3 2 sin1 4 ? ? ?3? sin sin sin 6 4 3

?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? f ?1? ? 2 f ? ? sin1, ? 2 f ? ? ? f ? ? , ? 3 f ? ? ? f ? ? ,故选 D. ?6? ?6? ?4? ?6? ?3?

3.已知函数 f ( x ) ? A. k ? 1 【答案】

1 ? ln x k ,如果当 x ? 1 时,不等式 f ( x ) ? 恒成立,则实数 k 的取值范围( x x ?1
B. k ? 1 C. k ? 2 D. k ? 3

)

【考点定位】函数与导数,恒成立问题. 4.已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ?

x(1 ? ? x) ,若 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,则 ? 的最小值为( 1? x
D. 2



A. 0

B.

1 2

C.1

【答案】B
' 【解析】由已知 f (0) ? 0 , f ( x) ?

(1 ? 2? ) x ? ? x 2 1 ' , f (0) ? 0 .若 ? ? ,则当 0 ? x ? 2(1 ? 2? ) 时, 2 (1 ? x) 2

f ' ( x) ? 0 ,所以 f ( x) ? 0 .若 ? ?
最小值是

1 ' ,则当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,所以当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 .综上, ? 的 2

1 .故选 B. 2

【考点定位】1.利用导数研究函数单调性;2.利用函数知识求参数范围.

(0, ? ?) 5.【学科网高考冲刺关门卷新课标全国卷(理) 】已知 f ( x) 是定义在 上的 单调函数,且对任意的 x? (0, ? ?) ? x) ? e 的解所在的区间是( ,都有 f [ f ( x) ? ln x] ? e ? 1 ,则方程 f ( x) ? f(
A. (0, )

1 ) 2

B. (

1 ,1) 2

C. (1,2)

D. (2,3)

【考点定位】本题考查函数的单调性、导数、零点基础知识,意在考查运用数形结合思想的能力和转化与 化归思想以及运算求解能力. 【答案】C

(0, ? ?) 【解析】因为 f ( x) 是定义在 上的 单调函数,故存在唯一的 x0 ,使得 f ( x0 ) ? e ? 1 ,设

f ( x) ? ln x ? x0 ,则 f ( x) ? ln x ? x0 ,故 f ( x0 ) ? ln x0 ? x0 ? e ? 1 ,得 x0 ? e ,故 f ( x) ? ln x ? e ,
1 1 1 1 ( 1, 2) ,则 ln x ? ? 0 ,设 g (x) ? ln x ? ,因为 g (1) ? 0 , g (2) ? ln 2 ? ? 0 ,故解在区间 . x x x 2 6. 【2015 高考新课标 1,理 12】设函数 f ( x ) = e x (2 x ? 1) ? ax ? a ,其中 a 1,若存在唯一的整数 x0 ,使 f ' ( x) ?
得 f ( x0 ) (A)[0,则 a 的取值范围是( ) (C)[

3 3 3 ,1) (B)[, ) 2e 2e 4

3 3 , ) 2e 4

(D)[

3 ,1) 2e

【答案】D

7.已知定义在 R 上的函数 f ( x)、g ( x) 满足

f ( x) ? a x ,且 f ( ' x) g( x) ? f ( x) g( 'x ) g ( x)



f (1) f (?1) 5 ? ? , g (1) g (?1) 2

若有穷数列 ? 【答案】5

? f ( n) ? 31 ? ( n ? N * )的前 n 项和等于 ,则 n 等于________. 32 ? g ( n) ?

【考点定位】1.利用导数研究函数的单调性;2.指数函数的图像与性质;3.数列的应用. 8.【江苏省扬州中学 2015 届高三 8 月开学考试】已知函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c(b, c ? R), 对任意的 x ? R , 恒有 f ' ( x) ? f ( x) .若对满足题设条件的任意 b,c,不等式 f (c) ? f (b) ? M (c2 ? b2 ) 恒成立,则 M 的最小 值为 【答案】 【解析】 试题分析:易知 f ?( x) ? 2 x ? b .由题设有,对任意的 x∈R,2x+b≤x +bx+c,
2



3 . 2

b2 ?1. 即 x +(b-2)x+c-b ? 0 恒成立,所以(b-2) -4(c-b) ? 0,从而 c ? 4
2 2

b2 于是 c ? 1 ,且 c ? 2 ? 1 ? b ,即 c ? |b| 2
当 c ? b 时,有 M ? 令t ?

f (c) ? f (b) c 2 ? b 2 ? bc ? b 2 2b ? c ? ? , b?c c2 ? b2 c2 ? b2

b 2b ? c 2t ? 1 1 ? ? 2? 则-1<t<1, , c b?c t ?1 t ?1 3 1 ,?1 ? t ? 1 的值域 (?? , ) ; 而函数 g (t ) ? 2 ? 2 t ?1 3 因此,当 c>|b|时 M 的取值集合为 [ ,?? ) . 2

当 c=|b|时,由 (b ? 2) 2 ? 4(c ? b) ? 0 知,b=±2,c=2. 此时

f (c) ? f (b) ? ?8, or,0, 而 c2-b2=0,

3 2 (c ? b 2 ) 恒成立. 2 3 综上所述,M 的最小值为 . 2
从而 f (c) ? f (b) ? 考点:1.二次函数的恒成立问题;2.导函数的求法. 9. (本小题满分 12 分)设函数 f ?x? ? ax2 ? 2 x ? e x ,其中 a ? 0 (I)当 a ?

?

?

4 时,求 f ?x ? 的极值点; 3

(II)若 f ?x ? 在 ?? 1,1? 上为单调函数,求 a 的取值范围. 【答案】 (I) x1 ? ? (II) 0 ? a ?

3 是极大值点, x2 ? 1 是极小值点; 2

4 3

所以 f ?x ?, f ' ?x ? 随 x 变化而变化的情况为:

x
f ?( x)

3 (??,? ) 2
+ ↗

?
0

3 2

3 ( ? ,1) 2
- ↘

1
0 极小值

(1,??)
+ ↗

f ( x)
所以, x1 ? ?

极大值

3 是极大值点, x2 ? 1 是极小值点. (注:未注明极大、极小值扣 1 分)?????6 分 2

考点:1.函数的极值;2.函数的单调性判断 10. 【2014 安庆二模】 (本题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? x ? (Ⅰ)若 f ( x) 有最值,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a ? 2 时,若存在 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,使得曲线 y ? f ? x ? 在 x ? x1 与 x ? x2 处的切线互相平行,求证

a ? ln x, (a ? R) , x

x1 ? x2 ? 8 .
【答案】 (Ⅰ) a ? 0 ; (Ⅱ)详见解析 【解析】 (Ⅰ) f ?( x) ? 1 ? 由 ? ? 1 ? 4a 知, ①当 a ? ? ②当 ?

a 1 x2 ? x ? a ? ? , x ? (0,??) x2 x x2

1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (0,??) 上递增,无最值; 4

1 ? a ? 0 时, x 2 ? x ? a ? 0 的两根均非正,因此, f ( x) 在 (0,??) 上递增,无最值; 4

2 ③当 a ? 0 时, x ? x ? a ? 0 有一正根 x ?

? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a ) 上递减, , f ( x) 在 (0, 2 2

考点:1 用导数研究函数的基本性质;2 导数的几何意义;3 基本不等式. 11.(14 分)已知 f ( x) ?

x2 ? x, g ( x) ? x 2 ? x ? a . ex

(1)求 F ( x) ? f ( x) ? x 的单调区间和极值; (2)是否存在 x0 ,使得 f ( x), g ( x) 在 x ? x0 的切线相同?若存在,求出 x0 及 f ( x), g ( x) 在 x ? x0 处的切 线;若不存在,请说明理由; (3)若不等式 f ( x) ? g ( x) 在 x ? (0, ??) 恒成立,求 a 的取值范围.

2 xe x ? x 2e x 2 x ? x 2 ? 【解析】 (1)求导得 F ?( x) ? , e2 x ex

x
F ?( x)
F ( x)

(??, 0)

0 0
极小值

(0, 2)

2
0

(2, ??)

?
递减

?
递增
[来源:学科网]

?
递减

极大值

由表可知, F ( x) 在 (??, 0) , (2, ??) 上单调递减,在 (0, 2) 上单调递增.极小值为 F (0) ? 0 ,极大值为

F (2) ?

4 ??????????????????????????????4 分 e2

[来源:学科网]

(2)存在. 求导得: f ?( x) ?

2 x ? x2 ? 1, g ?( x) ? 2 x ? 1 . ex
2 2 x0 ? x0 ? 1 ? 2 x0 ? 1, 2 ? x0 ? 2e x0 ,作出 x0 e

f ( x), g ( x) 在 x ? x0 的切线相同,则 f ?( x0 ) ? g?( x0 ) ,即

y ? 2 ? x, y ? 2ex 的图象观察得 x0 ? 0 .
又 f ( x0 ) ? g ( x0 ),?a ? 0 ,由此可得它们在 x ? 0 的切线为 y ? x 的切线???????????9 分 (3)由 f ( x) ? g ( x) 得: a ? 令 G ( x) ?

x2 ? x 2 ( x ? 0) . ex

x2 2 ? x ? 2e x 2 ? ? x ( x ? 0) G ( x ) ? x ,则 . ex ex 2 ? x ? 2e x ? 0 ,所以 G ( x) 在 (0, ??) 上单调递减, ex

因为 x ? 0,? 2e x ? 2, 2 ? 2e x ? 0 ,所以 G?( x) ? x 所以 G ( x) ?

x2 ? x 2 ? 0( x ? 0) ,从而 a ? 0 ????????????14 分 ex
3

12.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? x . (I)求函数 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)令 g ( x) ?

1 ax 2 ? ax ? ln x ,若函数 y ? g ( x) 在 (0, ) 内有极值,求实数 a 的取值范围; e f ( x) 1 e

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,对任意 t ? (1, ??), s ? (0,1) ,求证: g (t ) ? g ( s ) ? e ? 2 ? .

设 h ? x ? ? x ? (2 ? a) x ? 1 ,要使函数 y ? g ? x ? 在 ? 0, ? 内有极值,则 h ? x ? ? 0 有两个不同的根 x1 , x2 ,
2

? ?

1? e?

? ? ? ? 2 ? a ? ? 4 ? 0 ,解得 a ? 0 或 a ? ?4 ,
2

且一根在 ? 0, ? 内, 不妨设 0 ? x1 ?

? ?

1? e?

1 1 , x1 ? x2 ? 1, 0 ? x1 ? ? e ? x2 ,??????????????7 分 e e

由于 h ? 0? ? 1 ,则只需 h ? ? ? 0 ,即 解得: a ? e ?

?1? ?e?

1 1 ? ? 2 ? a ? ? 1 ? 0, 2 e e

1 ? 2 ??????????????????????????????8 分 e

1 1 2 1 ? 2 ln x ? x ? , k ? ? x ? ? ? 1 ? 2 ? 0 x x x x 1 k ? x ? 在 ? e, ?? ? 单调递增,故 k ? x ? ? k ? e ? ? 2 ? e ? e 1 即 g ? t ? ? g ? s ? ? e ? 2 ? ??????????????????????????????14 分 e
设 k ? x ? ? ln x ? x ?
2

【考点定位】应用导数研究函数的单调性、最值、证明不等式,导数的几何意义,直线方程,转化与化归 思想.

13.已知函数 f ( x) ? ln x ? bx ? ax?1 ( a 、 b 为常数) ,在 x ? 1 时取得极值 3 . (I)求实数 a , b 的值; (II)求函数 f ( x) 的最小值; (III)当 n ? N 时,试比较 (
*

1 n?2 n n ( n ?1) ) 与 ( ) 的大小并证明. e n ?1

【考点定位】本题主要考查导数的计算,及应用导数研究函数的单调性、极值,考查辅助函数证明不等式, 意在考查考生的运算能力、分析问题、解决问题的能力及创新意识. 14.已知函数 f ? x ? ? e ? ax ( a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A ,曲线 y ? f ? x ? 在点 A 处的切线斜率为
x

?1 .
(1)求 a 的值及函数 f ? x ? 的极值; (2)证明:当 x ? 0 时, x ? e .
2 x

ln2 【答案】(1) a ? 2 ;当 x ? ln 2 时, f ? x ? 取得极小值,且极小值为 f ? ln 2? ? e ? 2ln 2 ? 2 ? ln 4 ,

f ? x ? 无极大值;(2)详见解析.

考点:1.利用导数求函数的极值;2.利用导数证 明不等式.



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