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高中数学必修一人教B版教案3.2.2对数函数及其性质习题课2


习题课

考点一 对数函数的性质及其应用 例 1 已知函数 f(x) =loga(2-ax) ,是否 存在实数 a ,使函数 f(x) 在 [0,1] 上是关于 x 的 减函数,若存在,求a的取值范围.
【分析】 由已知可知 a>0 且 a≠1→在[0,1]上 f(x)单调 递减等价于

【标准解答】 ∵a>0,且a≠1, ∴u=2-ax在[0,1]上是关于x的减函数. 又 f(x) = loga(2 - ax) 在 [0,1] 上是关于 x 的 减函数, ∴函数 y = logau 是关于 u 的增函数,且对 x∈[0,1]时,u=2-ax恒为正数

其充要条件是 即 1<a<2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 ∴a 的取值范围是(1,2). . . . . . . . . . . . . . . . .12 分

练习
? 已知函数 在区间[2, +∞)上是增函数,则实数a的取值范围是( ) A (-∞,4) ? A. ? B.(-4,4] ? C.(-∞,-4)∪[2,+∞) ? D.[-4,2)
2 log ( x ? ax ? 4) f( x ) = 2

考点二 对数函数的图象及其应用 1 例 2 若不等式 x -logax<0 对 x∈(0, )恒成立,则实数 a 2
2

的取值范围是( A.{a|0<a<1} C.{a|a>1}

) 1 B.{a| ≤a<1} 16 1 D.{a|0<a≤ } 16

【解析】

由 x2 - logax<0 得 x2<logax ,设 f1(x) = x2 , f2(x)

= logax ,要使 x∈(0 , 1/2) 时,不等式 x2<logax 恒成立,只需 f1(x)=x2在(0,1/2)上的图象在f2(x)=logax图象的下方即可.

当a>1时,显然不成立;

1 当0<a<1时,如图,要使x <logax在x∈(0, )上恒成立需 2
2

1 1 f1( )≤f2( ). 2 2 12 1 1 1 所以有( ) ≤loga ,解得a≥ ,∴ ≤a<1. 2 2 16 16

【答案】 B

(2010年福建福州质检)在同一坐标系 内,函数y=x+a与y=logax的图象可能 是( c )


变式迁移 (2010年烟台一模)函数y=f(x) 的图象如下图所示,
则函数y=log1 f(x)的图象大致是( c )
2

y O 1

y

2

x
O 1 2 x

C

D

变式迁移 2 已知函数 f(x)=ln(x+ x2+1) (1)证明: f(x)为奇函数; (2)若 f(x)=ln(2+ 5),求 x 的值.

解析:(1)证明:∵x+
2

x2+1 >x+|x|≥0,∴ f(x)的定义

1 - 2 域为R.f(-x)=ln(-x+ x +1)=ln = ln( x + x + 1) x+ x2+1
1

=- f(x),因此 f(x)为奇函数. (2)由 f(x)=ln(2+ 5),即x+ x2+1 =2+ 5 ,解得x=

2.

练习 1. (2010 年黄冈月考)已知函数 =b,则 f(-a)等于( 1 A. b C.-b ) 1 B.- b D.b

1-x f(x)=lg , 若 f(a) 1+x

1+x 解析:函数 f(x)的定义域为-1<x<1,又f(-x)=lg 1-x
?1-x? 1-x ? ? -1 =lg ? =-lg =- ? 1+x ?1+x?

f(x),则

f(x)为奇函数,f(-a)

=-f(a)=-b.

答案:C

1.已知函数

练习2

f ( x) ?

?

3 ( x ?0) , log2 x ( x ?0)

x?1

则使函数 f(x)的图象位于直线y=1上方的x的取值 范围是________ . 0,或x>2} {x| -1<x≤ 2.设定义域为R的函数

f ( x) ?
2

?

lg x ? 2 ( x ? 2) 0( x ? 2)

若b<0,则关于x的方程 f 的不同实根共有( C )
A 4个 B 5个 C

( x) ? bf ( x) ? 0

7个 D 8 个

x ?1 3..已知函数f(x)=log 1 . 2 x-1
判断f(x)的奇偶性;

4.已知f(x)=logax (a>0, a≠1),
当0<x1<x2时,试比较

x1 ? x2 1 f( ) 与 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 2 2
的大小,并利用函数图象给予几何解释.

练习 :
1 1.计算:2log 2 3 ? log 1 4.5 ? ___________
2

[2,3) 2.函数f(x) ? log 0.5 (3 ? x) 的定义域___________

3.把log 0.3 0.4 , log 3 0.1 ,
x

20.2 从小到大排列_____________________________

log3 0.1 ? log0.3 0.4 ?

20.2

1 4.方程a ? ? log a x, (0 ? a ? 1) 的根的个数_______________ [-1,1) 值域___________ ??2, ??? 5.求函数y ? log 1 (? x 2 ? 2 x ? 3) 的单调增区间___________
2

6.若f(x) ? log a x, (0 ? a ? 1)在[ a, 2a]上的最大值

2 是最小值的 3倍,则a ? ______ 4

例1:与分段函数相结合问 题 ?log3 x, x ? 0 1 ( 1 )设函数 f(x) ? ? x 则f[f( )] ? _______ 1/4 9 ?2 , x ? 0 ?2 ? x , x ? 2 1 X=2或3 (2)设函数 f(x) ? ? 则f(x) ? 的x的值 _________ 4 ?log81 x, x ? 2 ?2e x ?1 , x ? 2 (3)函数 f(x) ? ? 则不等式 f(x) ? 2的解集 _________ 2 ?log3 ( x ? 1), x ? 2 { x| 1<x<2或x> 10 }

作业 kx-1 1.已知:f(x) ? lg , ( k ? 0) x-1 (1)求f(x)的定义域 (2)若f(x)在 ?10, ? ? ? 上为增函数, .求k的取值范围
x ?1 2.设f(x)=log2 +log2(x-1)+log2(p-x). x -1 (1)求函数f(x)的定义域;

(2)f(x)是否存在最大值或最小值?如果存在,请把 它求出来;如果不存在,请说明理由.

(1)由

?
p -1 2

x ?1 >0 x -1 x - 1>0

? x ? (1, p)( p ? 1)

p - x>0?

∴当p>1时,函数f(x)的定义域为(1,p)(p>1).
? p - 1 ( p ? 1) 2 ? )? (2)因为f(x)= log2 ?- (x ?(1 ? x ? p), 2 4 ? ? p -1 所以当 2 ≤1,即1<p≤3时,f(x)无最大值和最小

值;当1<

<p,即p>3,x=

p -1 2

时,f(x)取得最大

(p ? 1)2 值,log2 4

=2log2(p+1)-2,但无最小值


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