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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系



第7讲
一、选择题

直线与圆锥曲线的位置关系

1.直线 4kx-4y-k=0 与抛物线 y2=x 交于 A,B 两点,若|AB|=4,则弦 AB 的 1 中点到直线 x+2=0 的距离等于 7 A.4 B.2 9 C.4 ( ). D.4

? 1? 解析 直线 4kx-4y-k=0,即 y=k?x-4?,

即直线 4kx-4y-k=0 过抛物线 ? ? 1 ?1 ? y2=x 的焦点?4,0?.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+2=4,故 x1+x2 ? ? 7 7 1 7 =2, 则弦 AB 的中点的横坐标是4, 弦 AB 的中点到直线 x+2=0 的距离是4+ 1 9 2=4. 答案 C 2 x2 y2 2.设斜率为 的直线 l 与椭圆 2+ 2=1(a>b>0)交于不同的两点,且这两个交点 2 a b 在 x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为( 3 A. 3 1 B.2 2 C. 2 1 D.3 ).

解析 由于直线与椭圆的两交点 A,B 在 x 轴上的射影分别为左、右焦点 F1, b2 F2,故|AF1|=|BF2|= a ,设直线与 x 轴交于 C 点,又直线倾斜角 θ 的正切值为 2 2 |AF1| |BF2| 2 2b2 2 ,结合图形易得 tan θ= 2 =|CF1|=|CF2|,故|CF1|+|CF2|= a =|F1F2| 2 =2c,整理并化简得 2b2= 2(a2-c2)=ac,即 2(1-e2)=e,解得 e= 2 . 答案 C 3. 抛物线 y2=2px 与直线 2x+y+a=0 交于 A, B 两点, 其中点 A 的坐标为(1,2), 设抛物线的焦点为 F,则|FA|+|FB|的值等于 ( A.7 B.3 5 C .6 D.5 ).

解析 点 A(1,2)在抛物线 y2=2px 和直线 2x+y+a=0 上,则 p=2,a=-4,

F(1,0),则 B(4,-4),故|FA|+|FB|=7. 答案 A x2 y2 4.设双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 e,过 F2 的直线与双曲线的右支交于 A,B 两点,若△F1AB 是以 A 为直角顶点的等 腰直角三角形,则 e2= A.1+2 2 C.5-2 2 B.4-2 2 D.3+2 2 ( ).

解析 如图,设|AF1|=m,则|BF1|= 2m,|AF2| = m - 2a , |BF2|= 2 m - 2a ,∴ |AB| = |AF2| + |BF2|=m-2a+ 2m-2a=m,得 m=2 2a, 又由|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2, 可得 m2+(m-2a)2 c2 =4c2,即得(20-8 2)a2=4c2,∴e2=a2=5- 2 2,故应选 C. 答案 C 5.已知直线 l:y=k(x-2)(k>0)与抛物线 C:y2=8x 交于 A,B 两点,F 为抛物 线 C 的焦点,若|AF|=2|BF|,则 k 的值是 1 A.3 解析 法一 2 2 B. 3 C .2 2 2 D. 4 ( ).

据题意画图,作 AA1⊥l′,BB1⊥

l′,BD⊥AA1. 设直线 l 的倾斜角为 θ,|AF|=2|BF|=2r, 则|AA1|=2|BB1|=2|AD|=2r, 所以有|AB|=3r,|AD|=r, |BD| 则 |BD| = 2 2 r , k = tan θ = tan ∠ BAD = |AD| = 2 2. 法二 直 线 y = k(x - 2) 恰 好 经 过 抛 物 线 y2 = 8x 的 焦 点 F(2,0) , 由

2 ?y =8x, ? 可得 ky2-8y-16k=0,因为|FA|=2|FB|,所以 yA=-2yB.则 yA ?y=k?x-2?,

8 8 2 +yB=-2yB+yB= k,所以 yB=- k ,yA· yB=-16,所以-2yB =-16,即 yB =± 2 2.又 k>0,故 k=2 2. 答案 C x2 y2 6.过双曲线a2- =1(a>0)的右焦点 F 作一条直线,当直线斜率为 2 时,直 5-a2 线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为 3 时,直线与双曲线右 支有两个不同交点,则双曲线离心率的取值范围是 A.( 2,5) B.( 5, 10) C.(1, 2) ( ).

D.(5,5 2)

c 解析 令 b= 5-a2,c= a2+b2,则双曲线的离心率为 e=a,双曲线的渐 b 近线的斜率为± a. b 据题意,2<a<3,如图所示. b ∵a= e2-1, ∴2< e2-1<3, ∴5<e2<10, ∴ 5<e< 10. 答案 B 二、填空题 x2 ?1 1? 7.椭圆 2 +y2=1 的弦被点?2,2?平分,则这条弦所在的直线方程是________. ? ? 解析 设弦的两个端点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=1,y1+y2=1. x2 x2 1 2 2 ∵A,B 在椭圆上,∴ 2 +y1=1, 2 +y2 2=1. 两式相减得: ?x1+x2??x1-x2? +(y1+y2)(y1-y2)=0, 2

y1-y2 x1+x2 即 =- , x1-x2 2?y1+y2? ∵x1+x2=1,y1+y2=1,

y1-y2 1 1 ∴ =-2,即直线 AB 的斜率为-2. x1-x2 1 1? 1? ∴直线 AB 的方程为 y-2=-2?x-2?, ? ? 即该弦所在直线的方程为 2x+4y-3=0. 答案 2x+4y-3=0 x2 y2 8.已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0),F( 2,0)为其右焦点,过 F 垂直于 x 轴的直 线与椭圆相交所得的弦长为 2,则椭圆 C 的方程为________. c= 2, ? ?b2 由题意,得? =1, a ? ?a2=b2+c2,

解析

?a=2, x2 y2 解得? ∴椭圆 C 的方程为 4 + 2 =1. ?b= 2, 答案 x2 y2 4 + 2 =1

x2 y2 9. 过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点 A 且斜率为 1 的直线与椭圆的另一个交点 a b 为 M,与 y 轴的交点为 B,若|AM|=|MB|,则该椭圆的离心率为________. 解析 由题意知 A 点的坐标为(-a,0),l 的方程为 y=x+a,∴B 点的坐标为 ? a a? (0,a),故 M 点的坐标为?-2,2?,代入椭圆方程得 a2=3b2,∴c2=2b2,∴e ? ? 6 =3. 答案 6 3

x2 y2 10.已知曲线 a - b =1(a· b≠0,且 a≠b)与直线 x+y-1=0 相交于 P,Q 两点, →· → =0(O 为原点),则1-1的值为________. 且OP OQ a b x2 y2 解析 将 y=1-x 代入 a - b =1,得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.设 P(x1,y1), Q(x2,y2),则 x1+x2= a+ab → → 2a ,x1x2= .OP· OQ=x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)· (1 a-b a-b

2a+2ab 2a -x2)=2x1x2-(x1+x2)+1.所以 - +1=0,即 2a+2ab-2a+a-b a-b a-b 1 1 =0,即 b-a=2ab,所以a-b=2. 答案 2 三、解答题 11. 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于不同的 A, B 两点. →· → 的值; (1)如果直线 l 过抛物线的焦点,求OA OB →· → =-4,证明:直线 l 必过一定点,并求出该定点. (2)如果OA OB (1)解 由题意:抛物线焦点为(1,0),

设 l:x=ty+1,代入抛物线 y2=4x, 消去 x 得 y2-4ty-4=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1+y2=4t,y1y2=-4, →· → =x x +y y =(ty +1)(ty +1)+y y ∴OA OB 1 2 1 2 1 2 1 2 =t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2=-4t2+4t2+1-4=-3. (2)证明 设 l:x=ty+b,代入抛物线 y2=4x,

消去 x 得 y2-4ty-4b=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1+y2=4t,y1y2=-4b, →· → =x x +y y =(ty +b)(ty +b)+y y ∴OA OB 1 2 1 2 1 2 1 2 =t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2 =-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b. 令 b2-4b=-4,∴b2-4b+4=0,∴b=2, ∴直线 l 过定点(2,0). →· → =-4,则直线 l 必过一定点. ∴若OA OB y2 12.给出双曲线 x2- 2 =1. (1)求以 A(2,1)为中点的弦所在的直线方程; (2)若过点 A(2,1)的直线 l 与所给双曲线交于 P1,P2 两点,求线段 P1P2 的中点 P 的轨迹方程;

(3)过点 B(1,1)能否作直线 m, 使得 m 与双曲线交于两点 Q1, Q2, 且 B 是 Q1Q2 的中点?这样的直线 m 若存在,求出它的方程;若不存在,说明理由.
2 2 ?2x1-y1=2, 解 (1)设弦的两端点为 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则? 2 2 两式相减得 ?2x2-y2=2,

到 2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2),又 x1+x2=4,y1+y2=2, 所以直线斜率 k= y1-y2 =4. x1-x2

故求得直线方程为 4x-y-7=0. (2)设 P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2), 按照(1)的解法可得 y1-y2 2x = , x1-x2 y ①

由于 P1,P2,P,A 四点共线, y1-y2 y-1 得 = , x1-x2 x-2 ②

2x y-1 由①②可得 y = ,整理得 2x2-y2-4x+y=0,检验当 x1=x2 时,x=2,y x-2 =0 也满足方程,故 P1P2 的中点 P 的轨迹方程是 2x2-y2-4x+y=0. (3)假设满足题设条件的直线 m 存在,按照(1)的解法可得直线 m 的方程为 y= 2x-1. y=2x-1, ? ? 考虑到方程组? 2 y2 x - 2 =1 ? ?

无解,

因此满足题设条件的直线 m 是不存在的. 13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1:2x2-y2=1. (1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线, 求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积. (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点.若 l 与圆 x2+y2=1 相切,求证: OP⊥OQ. (3)设椭圆 C2:4x2+y2=1.若 M、N 分别是 C1、C2 上的动点,且 OM⊥ON, 求证:O 到直线 MN 的距离是定值.

(1)解

x2 2 ? ? 2 双曲线 C1: 1 -y =1,左顶点 A?- ,0?,渐近线方程:y=± 2x. ? 2 ? 2

不妨取过点 A 与渐近线 y= 2x 平行的直线方程为 ? 2? y= 2?x+ ?,即 y= 2x+1. 2? ? 2 ? ?x=- 4 , ?y=- 2x, 解方程组? 得? 1 ?y= 2x+1 ? ?y=2. 1 2 所以所求三角形的面积为 S=2|OA||y|= 8 . (2)证明 设直线 PQ 的方程是 y=x+b. |b| =1,即 b2=2. 2

因为直线 PQ 与已知圆相切,故

?y=x+b, 由? 2 2 得 x2-2bx-b2-1=0. ?2x -y =1 ?x1+x2=2b, 设 P(x1,y1)、Q(x2,y2),则? 2 ?x1x2=-1-b . 又 y1y2=(x1+b)(x2+b),所以 →· → =x x +y y =2x x +b(x +x )+b2 OP OQ 1 2 1 2 1 2 1 2 =2(-1-b2)+2b2+b2=b2-2=0. 故 OP⊥OQ. (3)证明 当直线 ON 垂直于 x 轴时,

2 3 |ON|=1,|OM|= 2 ,则 O 到直线 MN 的距离为 3 . ? 2? 当直线 ON 不垂直于 x 轴时,设直线 ON 的方程为 y=kx?显然|k|> ?, 2? ? 1 则直线 OM 的方程为 y=-k x. ?y=kx, 由? 2 2 ?4x +y =1 1 ? x2= ? 4+k2, 得? k2 y2= ? ? 4+k2, 1+k2 所以|ON| = . 4+k2
2

1+k2 同理|OM| = 2 . 2k -1
2

设 O 到直线 MN 的距离为 d, 因为(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2, 3k2+3 1 1 1 3 所以d2=|OM|2+|ON|2= 2 =3,即 d= 3 . k +1 综上,O 到直线 MN 的距离是定值. 14.在圆 x2+y2=4 上任取一点 P,过点 P 作 x 轴的垂线段,D 为垂足,点 M 在 线段 PD 上,且|DP|= 2|DM|,点 P 在圆上运动. (1)求点 M 的轨迹方程; (2)过定点 C(-1,0)的直线与点 M 的轨迹交于 A,B 两点,在 x 轴上是否存在 →· → 为常数,若存在,求出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由. 点 N,使NA NB 解 (1)设 P(x0,y0),M(x,y),则 x0=x,y0= 2y.
2 ∵P(x0,y0)在 x2+y2=4 上,∴x0 +y2 0=4.

x2 y2 ∴x +2y =4,即 4 + 2 =1.
2 2

x2 y2 点 M 的轨迹方程为 4 + 2 =1(x≠± 2). (2)假设存在.当直线 AB 与 x 轴不垂直时, 设直线 AB 的方程为 y=k(x+1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),N(n,0), y=k?x+1?, ? ? 联立方程组?x2 y2 + =1, ? ?4 2 整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-4=0, ∴x1+x2=- 2k2-4 4k2 , x x = . 1+2k2 1 2 1+2k2

→· → =(x -n,y )· ∴NA NB 1 1 (x2-n,y2) =(1+k2)x1· x2+(x1+x2)(k2-n)+n2+k2 =(1+k2)× = 2k2-4 -4k2 2 + ( k - n ) × +k2+n2 1+2k2 1+2k2

k2?4n-1?-4 +n2 1+2k2

1 2 1 ? 2 k + 1 ?? 4 n - 1 ? - 2 2?4n-1?-4 = +n2 1+2k2 1 =2(2n2+4n-1)- 7 2n+2 1+2k2

.

→· → 是与 k 无关的常数,∴2n+7=0. ∵NA NB 2 7 ? 7 ? →· → =-15. ∴n=-4,即 N?-4,0?,此时NA NB 16 ? ? 7 15 → → 当直线 AB 与 x 轴垂直时,若 n=-4,则NA· NB=-16. ? 7 ? →· → 为常数. 综上所述,在 x 轴上存在定点 N?-4,0?,使NA NB ? ?



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