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江苏省江阴市山观高级中学2016届高考数学一轮复习 函数 第8课时 幂函数教学案


第 8 课时

幂函数
是自变量, 是

基础过关 1. 幂函数的概念: 一般地, 我们把形如 的函数称为幂函数, 其中 常数; 注意:幂函数与指数函数的区别. 2.幂函数的性质: (1)幂函数的图象都过点 ; (2)当 ? ? 0 时,幂函数在 [0, ??) 上 (3)当 ? ? ?2, 2 时,幂函数是 3.幂函数的性质: (1)都过点 ; (2)任何幂函数都不过 象限; (3)当 ? ? 0 时,幂函数的图象过

;当 ? ? 0 时,幂函数在 (0, ??) 上 ;当 ? ? ?1,1,3, 时,幂函数是

; .

1 3



4.幂函数的图象在第一象限的分布规律: (1)在经过点 (1,1) 平行于 y 轴的直线的右侧,按幂 指数由小到大的关系幂函数的图象从 到 分布; (2)幂指数的分母为偶数时,图象只在 象限;幂指数的分子为偶数时,图象在第一、 第二象限关于 轴对称;幂指数的分子、分母都为奇数时,图象在第一、第三象限 关于 对称. 典型例题 例 1.写出下列函数的定义域,并指出它们的奇偶性: (1) y ? x
3

(2) y ? x 2
2 ?2
1 2

1

(3) y ? x
? 1 2

?2
1 2 1 4

(4) y ? x ? x

(5) y ? x ? x

(6) f ( x) ? x ? 3(? x)

解:(1)此函数的定义域为 R,

? f (? x) ? (? x)3 ? ? x3 ? ? f ( x)
∴此函数为奇函数. (2) y ? x 2 ?
1

x

∴此函数的定义域为 [0, ??)

? 此函数的定义域不关于原点对称
∴此函数为非奇非偶函数. (3) y ? x
?2

?

1 x2

∴此函数的定义域为 (??,0) ? (0, ??)

-1-

? f (? x) ?

1 1 ? 2 ? f ( x) 2 (? x) x
1 x2

∴此函数为偶函数 (4) y ? x ? x
2 ?2

? x2 ?

∴此函数的定义域为 (??,0) ? (0, ??)

? f ( ? x) ? ( ? x) 2 ?
1 1 2

1 1 ? x 2 ? 2 ? f ( x) 2 (? x) x

∴此函数为偶函数

(5) y ? x 2 ? x

?

? x?

1 x

∴此函数的定义域为 [0, ??)

? 此函数的定义域不关于原点对称
∴此函数为非奇非偶函数 (6) f ( x) ? x ? 3(? x) ?
1 2 1 4

x ? 34 ?x

?x ? 0 ?? ?? x ? 0

?x ? 0

∴此函数的定义域为 {0} ∴此函数既是奇函数又是偶函数 变式训练 1:讨论下列函数的定义域、值域,奇偶性与单调性: (1) y ? x
5

(2) y ? x

?

4 3

(3) y ? x (4) y ? x

5 4

?

3 5

(5) y ? x

?

1 2

分析:要求幂函数的定义域和值域,可先将分数指数式化为根式. 解:(1)定义域 R,值域 R,奇函数,在 R 上单调递增. (2)定义域 (??,0) ? (0, ??) ,值域 (0, ??) ,偶函数,在 ( ??, 0) 上单调递增, 在 (0, ??) 上单调递减. (3)定义域 [0, ??) ,值域 [0, ??) ,偶函数,非奇非偶函数,在 [0, ??) 上单调递增. (4)定义域 (??,0) ? (0, ??) ,值域 (??,0) ? (0, ??) ,奇函数,在 ( ??, 0) 上单调递减, 在 (0, ??) 上单调递减. (5)定义域 (0, ??) ,值域 (0, ??) ,非奇非偶函数,在 (0, ??) 上单调递减. 例 2 比较大小:
-2-

1

1

(1) 1.5 2 ,1.7 2

(2) (?1.2)3 ,(?1.25)3

(3) 5.25?1 ,5.26?1 ,5.26?2 (4) 0.53 ,30.5 ,log3 0.5 解:(1)∵ y ? x 在 [0, ??) 上是增函数, 1.5 ? 1.7 ,∴ 1.5 ? 1.7 (2)∵ y ? x3 在 R 上是增函数,
1 2
1 2 1 2

?1.2 ? ?1.25 ,∴ (?1.2)3 ? (?1.25)3
(3)∵ y ? x ?1 在 (0, ??) 上是减函数,

5.25 ? 5.26 ,∴ 5.25?1 ? 5.26?1 ;
∵ y ? 5.26x 是增函数, ?1 ? ?2 , ∴ 5.26
?1

? 5.26?2 ;
?1

综上, 5.25

? 5.26?1 ? 5.26?2
3 0.5

(4)∵ 0 ? 0.5 ? 1 , 3 ∴ log3 0.5 ? 0.53 ? 30.5

? 1 , log3 0.5 ? 0 ,

变式训练 2:将下列各组数用小于号从小到大排列: (1) 2.5 ,(?1.4) ,(?3)
? 3 ? 3 2 3 2 3 2 3

3

(2) 0.16 4 ,0.5 2 ,6.258 (3) ( ) 3 , ( ) 2 , ( ) 3 ,33 , ( ) 3
2 2 2

2 3

?

1

2 5

1

5 3

?

1

1

3 2

2

解:(1) (?1.4) 3 ? 2.5 3 ? (?3) 3 (2) 6.25 ? 0.5
3 8 ? 3 2

? 0.16 ,
1 2 1

?

3 4

2 1 5 ? 2 ? 3 (3) ( ) 2 ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? 33 5 3 3 2
例 3 已知幂函数 y ? xm
2

1

?2 m?3

( m ? Z )的图象与 x 轴、 y 轴都无交点,且关于原点对称,求

m 的值.
-3-

分析:幂函数图象与 x 轴、 y 轴都无交点,则指数小于或等于零;图象关于原点对称,则函 数为奇函数.结合 m ? Z ,便可逐步确定 m 的值. 解:∵幂函数 y ? xm
2
2

?2 m?3

( m ? Z )的图象与 x 轴、 y 轴都无交点,

∴ m ? 2m ? 3 ? 0 ,∴ ?1 ? m ? 3 ; ∵ m ? Z ,∴ (m2 ? 2m ? 3) ? Z ,又函数图象关于原点对称, ∴ m ? 2m ? 3 是奇数,∴ m ? 0 或 m ? 2 .
2

变式训练 3:证明幂函数 f ( x) ? x 2 在 [0, ??) 上是增函数. 分析:直接根据函数单调性的定义来证明. 证明:设 0 ? x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 2 ? x2 2 ?
1 1

1

x1 ? x2 ?

x1 ? x2 x1 ? x2

? x1 ? x2

? x1 ? x2 ? 0

? x1 ? x2 ? 0
即 f ( x1 ) ? f ( x2 )

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

? 此函数在 [0, ??) 上是增函数
小结归纳 1.注意幂函数与指数函数的区别. 2.幂函数的性质要熟练掌握

-4-


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