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1.2.1几个常用函数的导数


1.2.1 几个常用函数的导数 沿河民族中学:阚 辉 复习回顾: 1、导数的几何意义: 曲线在某一点处的切线的斜率 运动物体在某一时刻的瞬时速度 物理意义: 2、根据导数定义求函数在某一点处的导数的方法: 就是求当△x趋近于0时, △y 比 △x 所趋近于的那个定值. 知识点一 几个常用函数的导数 思考 根据定义求函数 1 y=2, y=x, y=x2, y= , y = x 的导数. x 探究 在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x 的图象,并根据导数定义,求它们的导数. (1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? y′=2,y′=3,y′=4. (2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢? y=4x增加得最快,y=2x增加得最慢. (3)函数y=kx(k≠0)增(减)的快慢 与什么有关? 函数y=kx(k ≠ 0)增加的快慢与k有关系 |k|越大,函数减少得越快, |k|越小,函数减少得越慢. 针对训练: 若曲线y=x2的某一切线与直线 y=4x+6平行, (2,4) 则切点坐标是________. 解析 设切点坐标为(x0,x2 0),因为 y′=2x, 所以切线的斜率k=2x0,又切线与y=4x+6平行 所以2x0=4,解得x0=2,故切点为(2,4). 课本P14 探究 1 画出函数y= x 的图象.根据图象,描述它的变化情况,并求出曲 线在点(1,1)处的切线方程. 点(1,1)处切线的斜率就是导数 1 y′|x=1=- 2=-1,故斜率为-1, 1 过点(1,1)的切线方程为 x+y-2=0. 1 跟踪训练 1 过曲线 y= x上一点 P 的切线的斜率为-4,则点 P 的坐 标为( B ) 1 A.( ,2) 2 1 C.(-2,-2) 1 1 B.( ,2)或(- ,-2) 2 2 1 D.(2,-2) 1 1 解析 y′=- 2=-4,x=± ,故选 B. x 2 反思与感悟 利用导数的定义可以求函数的导函数, 并能解决有关的斜率、切线方程等问题. 针对训练: 函数 f(x)= x,则 f′(3)等于( 3 A. 6 B.0 A ) C. 2 x 1 3 D. 2 解析 ∵根据导数的定义可求得 f′(x)= , 2 x 1 3 ∴f′(3)= =6. 2 3 1 针对训练: 1.曲线 y= x3 在点 P 处切线的斜率为 k ,当 k = 3 时, P 点 坐标为( B ) B.(-1,-1)或(1,1) 1 1 D.(- ,- ) 2 8 A.(-2,-8) C.(2,8) 解析 2 设 P(x0,y0),则 y′|x=x =3x2 0,即 3x0=3,所以 x0=1 或 x0=-1, 0 代入 y=x3 有 P(1,1)或(-1,-1).故选 B. 9 x+y-6=0 2.曲线 y= 在点 M(3,3)处的切线方程是________________. x 9 解析 ∵y′=-x2, ∴k=y′|x=3=-1, ∴过点(3,3)的斜率为-1的切线方程为y-3=-(x-3),即x+y-6=0. 知识点二 几个常用函数导数的物理意义 函数 导数 物理意义 若y=c表示路程关于时间的函数,则y′=0可以 y=c y′=0 解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于 静止状态 y=x y′=1 若y=x表示路程关于时间的函数,则y′=1 可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动 函数图象上点(x,

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