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山东省德州市2015届高三二模(4月)数学(理)试题



数学(理科)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷 1-2 页,第 II 卷 3-5 页,共 150 分,测试时间 120 分钟. 注意事项: 选择题为四选一题目,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在测试卷上.

第 I 卷(共

50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.把正确答案涂在答题卡上. 1.已知集合 A ? ?1,3,4,5? 集合 B ? x ? Z x ? 4 x ? 5 ? 0 ,则 A ? B 的子集个数为
2

?

?

A.2

B.4

C.8

D.16 z 所对应的

2.如图, 复平面上的点 Z1 , Z 2 , Z3 , Z 4 到原点的距离都相等, 若复数 点为 Z1 ,则复数 z ? i (i 是虚数单位)的共轭复数所对应的点为 A. Z1 C. Z3 B. Z 2 D. Z 4

3. 给 出 下 列 两 个 命 题 , 命 题 p : “ x ? 3 ” 是 “ x ? 5 ” 的 充 分 不 必 要 条 件 ; 命 题 q : 函 数

y ? log 2
A. p ? q C. p ? q

?

x2 ? 1 ? x 是奇函数,则下列命题是真命题的是
B. p ? ? q D. p ? ? q

?

4.若某市 8 所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示如图,其中茎为十位数,叶为个位数,则 这组数据的平均数和方差分别是 A.91 5.5 B.91 5 C.92 5.5 D.92 5 5.已知关于 x 的不等式 x ?1 ? x ? a ? 8 的解集不是空集,则 a 的取值范围是 A. a ? ?9 C. ?9 ? a ? 7 B. a ? 7 D. a ? ?9或a ? 7

?2 x ? y ? 0 ? ? 6.已知变量 x , y 满足: ? x ? 2 y ? 3 ? 0, 则z ? ? ? ?x ? 0
A.

? 2?

2 x? y

的最大值为

2

B. 2 2
·1 ·

C.2

D.4

7.执行如图所示的程序框图,输出的结果是 A.5 B.6 C.7 D.8

?b? 8.指数函数 y ? ? ? 与二次函数 y ? ax2 ? 2bx ? a ? R, b ? R ? 在同一坐标系中的图象可能的是 ?a?

x

a ? ? 9. ? x 2 ? ? 展开式的常数项是 15 ,右图阴影部分是由曲线 2x ? ?
圆 x2 ? y 2 ? a及x 轴围成的封闭图形,则封闭图形的面积为 A.

6

y ? x2 和

?
4

?

1 6

B.

?
4

?

1 6

C.

? 4

D.

1 6
象上关于

? ?? ? ?sin ? x ? ? 1, x ? 0 10. 已知 函 数 f ? x ? = ? ? 2 ? ? a ? 0,且a ? 1? 的 图 ?log ? ? x ? , x ? 0 ? a
y 轴对称的点至少有 5 对,则实数 a 的取值范围是 A. ? 0, ?

? ?

5? ? 5 ? ?

B. ? ?

? 5 ? ,1? ? ? 5 ?

C. ? ?

? 7 ? ,1? ? ? 7 ?

D. ? 0, ?

? ?

7? ? 7 ? ?

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置.
2 11.某校在一次测试中约有 600 人参加考试, 数学考试的成绩 X ~ N 100, a ( a ? 0 , 试卷满分 150

?

?

分) ,统计结果显示数学考试成绩在 80 分到 120 分之 约为总人数的

间的人数 120 的学生

3 ,则此次测试中数学考试成绩不低于 5

约有___________人. 12. 一个几何体的三视图如图所示,该几何体体积为 ____________. 13. 已 知 向 量 AB与AC 的 夹 角 为 60 , 且
·2 ·

uu u r uuu r

uuur uuu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r AB = AC =2 ,若 AP ? ? AB ? AC, 且AP ? BC ,则实数 ? 的值为___________.
14.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的半焦距为 c,过右焦点且斜率为 1 的直线与双曲线的右支 a 2 b2

交于两点,若抛物线 y 2 ? 4cx 的准线被双曲线截得的弦长是 的值为___________. 15. 已 知 函 数 f

2 2 2 ,则 e be (e 为双曲线的离心率) 3

? x? ?

a l n? x ?1 ? ? 2x在 区 间 ?1, 2 ? 内 任 取 两 个 实 数 p, q, 且p ? q , 不 等 式

f ? p ? 1? ? f ? q ? 1? ? 1 恒成立,则实数 a 的取值范围为___________. p?q
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知 m ?

?

? ?3 ? ? 3 sin ? 2? ? x ? ,cos x , n ? ? sin ? ? ? x ? ,cos ?? ? x ? ? , f ? x ? ? m ? n . ? ? ?2 ?

?

(I)求 y ? f ? x ? 的单调递增区间和对称中心; ( II ) 在 ?ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 所 对 应 的 边 分 别 为 a、b、c , 若 有 f ? B ? ?

1 ,b ? 7 , 2

sin A ? sin C ?

13 3 ,求?ABC . 14

17. (本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P? ABCD 的底面为菱形,

?B C D =1 2 0 , AB ? PC ? 2 , A? P
(1)求证: AB ? PC ; (II)求二面角 B ? PC ? D 的余弦值. 18. (本小题满分 12 分)

B? P .2

交通指数是拥堵的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记为 T.其范围为 ?010 , ? ,分别有五个 级别: T ? ?0, 2? 畅通; T ? ? 2, 4? 基本畅通; T ??4,6? 轻度拥堵; T ??6,8? 中度拥堵; T ??8,10? 严重拥堵.在晚高峰时段 ?T ? 2 ? , 从某市指挥中心 区 20 个路段,依据其数据绘制的频率分布直方图 示. (I)在这 20 个路段中,随机选取了两个路段,求
·3 ·

选取了市 如 图 所 这两个路

段至少有一个未出现严重拥堵的概率; (II)从这 20 个路段中随机抽取 3 个路段,用 X 表示抽取的中度拥堵的路段的个数,求 X 的分布列 及期望. 19. (本小题满分 12 分) 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , Sn ? 2n ? n , 等 差 数 列 ?bn ? 的 各 项 为 正 实 数 , 其 前 n 项 和 为

Tn , 且T3 ? 15, 又a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ?1 成等比数列.
(I)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (II)若 cn ? an ? bn,当n ? 2 时求数列 ?cn ? 的前 n 项和 An . 20.(本小题满分 13 分)

x2 ? y 2 ? 1,点 A,B 是它的两个顶点,过原点且斜率为 k 的直线 l 与线段 AB 相 如图,已知椭圆: 4
交于点 D,且与椭圆相交于 E、F 两点. (I)若 ED ? 6DF,求k 的值; (II)求四边形 AEBF 面积的最大值. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax .
2

uuu r

uuu r

(I)求 f ? x ? 的单调区间; (II)设 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 1? a ? ?? , l 是曲线 y ? g ? x ? 的一条切线,证明:曲线 y ? g ? x ? 上的任意 一点都不能在直线 l 的上方;
2 (III)当 a ? 1 时,方程 2m ? ? x ? f ? x ?? ? ? ?1 ? 2m ? x 有唯一实数解,求正数 m 的值.

·4 ·

·5 ·

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