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河北省唐山市2017届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题 扫描版含答案


唐山市 2016—2017 学年度高三年级第一次模拟考试

理科数学参考答案
一.选择题: A 卷:DBACA BACBA DC B 卷:DBCAA BABCA DC 二.填空题: (13)-2 三.解答题: (17)解: 5π (Ⅰ)由已知 B= 6 ,a2+b2= 6ab 结合正弦定理得: 4sin2A-2 6sinA+1=0,于是 sinA= 6± 2 . 4 …4 分 …6 分 1 (14) 2 (15)2 或 6 (16)(3, 41)

6- 2 π 1 因为 0<A< 6 ,所以 sinA< 2 ,取 sinA= 4 1 3 (Ⅱ)由题意可知 S△ABC= 2 absin C= 12 c2,得: 1 3 2 3 2 2 absin C= 12 (a +b -2abcos C)= 12 (4ab-2abcos C). ? 从而有: 3sin C+cos C=2,即 sin C+ 6 =1

(

)

? ? 7? ? 又 6 <C+ 6 < 6 ,所以,C= 3 . (18)解: ∑ xiyi-n·xy 2794-7×8×42 =1 i ?= n (Ⅰ)b = =1.7 708-7×82 -2 ∑ x2 - nx i
i=1 n

…12 分

…3 分

?a ? =y -b x =28.4 ?=1.7x+28.4 所以,y 关于 x 的线性回归方程是y (Ⅱ)∵0.75<0.97,∴对数回归模型更合适. 当 x=8 万元时,预测 A 超市销售额为 47.2 万元. …6 分 …9 分 …12 分

(19)解: (Ⅰ)连接 AC1,BC1,则 N∈AC1 且 N 为 AC1 的中 点, 又∵M 为 AB 的中点,∴MN∥BC1, 又 BC1?平面 BB1C1C,MN?平面 BB1C1C, 故 MN∥平面 BB1C1C. …4 分 M (Ⅱ)由 A1A⊥平面 ABC,得 AC⊥CC1,BC⊥CC1. 以 C 为原点,分别以 CB,CC1,CA 所在直线为 x 轴, y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 设 CC1=2λ(λ>0), x B 则 M(1,0,1),N(0,λ,1),B1(2,2λ,0),

A

z

A1

N

y C B1 C1

→ CM =(1,0,1),→ MN =(-1,λ,0),→ NB =(2,λ,-1).
1

取平面 CMN 的一个法向量为 m=(x,y,z), 由→ CM ·m=0,→ MN ·m=0 得:
?x+z=0, ? 令 y=1,得 m=(λ,1,-λ) ?-x+λy=0,

同理可得平面 B1MN 的一个法向量为 n=(λ,1,3λ) ∵平面 CMN⊥平面 B1MN,∴ m·n=λ +1-3λ =0 2 2 3 2 解得 λ= 2 ,得 n= 2 ,1, 2 ,又→ AB =(2,0,-2),
2 2

…8 分

(

)

设直线 AB 与平面 B1MN 所成角为 θ,则 |n·→ AB | 6 sinθ=|cos?n,→ AB ?|= =6. |n||→ AB | 6 所以,直线 AB 与平面 B1MN 所成角的正弦值是 6 . (20)解: c2 1 b2 1 (Ⅰ)由 e2= a2 = 2 ,得 a2 = 2 , 将 Q 代入椭圆 C 的方程可得 b2=4,所以 a2=8, x2 y2 故椭圆 C 的方程为 8 + 4 =1. (Ⅱ)当直线 PN 的斜率 k 不存在时,PN 方程为:x= 2或 x=- 2, 从而有|PN|=2 3, 1 1 所以 S= 2 |PN|·|OM|= 2 ×2 3×2 2=2 6. …4 分 …12 分

…5 分

当直线 PN 的斜率 k 存在时, 设直线 PN 方程为:y=kx+m(m≠0) ,P(x1,y1),N(x2,y2). 2 2 将 PN 的方程代入 C 整理得:(1+2k )x +4kmx+2m2-8=0, -4km 2m2-8 所以 x1+x2= ,x ·x = , 1+2k2 1 2 1+2k2 2m y1+y2=k(x1+x2)+2m= , 1+2k2 由→ OM =→ OP +→ ON 得:M -4km 2m (1 , ), +2k 1+2k
2 2

…6 分

将 M 点坐标代入椭圆 C 方程得:m2=1+2k2. |m| 点 O 到直线 PN 的距离 d= , 1+k2

…8 分

|PN|= 1+k2|x1-x2|, S=d·|PN|=|m|·|x1-x2|= 1+2k2·|x1-x2|= 16k2-8m2+32=2 6. 综上,平行四边形 OPMN 的面积 S 为定值 2 6. …12 分 (21)解: 1 (Ⅰ)f ?(x)=cos x+cos2x-2 π π 因为 x∈ - 2 , 2 ,所以 cos x∈(0,1],于是 …2 分

(

)

1 1 f ?(x)=cos x+cos2x-2≥cos2x+cos2x-2≥0(等号当且仅当 x=0 时成立). π π 故函数 f (x)在 - 2 , 2 上单调递增.

(

)

…4 分

π (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f (x)在 0, 2 上单调递增,又 f (0)=0,所以 f (x)>0,

(

)

(ⅰ)当 m≤0 时,f (x)>0≥mx2 成立. (ⅱ)当 m>0 时, 令 p (x)=sin x-x,则 p ?(x)=cos x-1, π 当 x∈ 0, 2 时,p ?(x)<0,p (x)单调递减,又 p (0)=0,所以 p (x)<0,

…5 分

( (

) )

π 故 x∈ 0, 2 时,sin x<x. (*) 由(*)式可得 f (x)-mx2=sin x+tan x-2x-mx2<tan x-x-mx2, 令 g (x)=tan x-x-mx2,则 g ?(x)=tan2x-2mx x2 x 由(*)式可得 g ?(x)<cos2x-2mx=cos2x(x-2mcos2x),

…7 分

…9 分

π 令 h (x)=x-2mcos2x,得 h (x)在 0, 2 上单调递增,

(

)

π π 又 h (0)<0,h 2 >0,所以存在 t∈ 0, 2 使得 h (t)=0,即 x∈(0,t)时,h (x)<0,

( )

(

)

所以 x∈(0,t)时,g ?(x)<0,g (x)单调递减,又 g (0)=0,所以 g (x)<0, 即 x∈(0,t)时,f (x)-mx2<0,与 f (x)>mx2 矛盾. 综上,满足条件的 m 的取值范围是(-∞,0]. …12 分 (22)解:
?x=tcos φ, (Ⅰ)曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2=1,将? 代入 x2+y2=1 得 ?y=-2+tsin φ t2-4tsin φ+3=0(*) 3 由 16sin2φ-12>0,得|sin φ|> 2 ,又 0≤φ<?, ? 2? 所以,φ 的取值范围是 3 , 3 ; …5 分 ?x=tcos φ, t1+t2 (Ⅱ)由(*)可知, 2 =2sin φ,代入? 中, ?y=-2+tsin φ 整理得 P1P2 的中点的轨迹方程为 ?x=sin 2φ, 2? ? ? φ 为参数, 3 <φ< 3 …10 分 ?y=-1-cos 2φ

(

)

(

)

(23)解: 1 1 x+y x2+y 2 2xy (Ⅰ) x + y = xy = xy ≥ xy =2, 当且仅当 x=y=1 时,等号成立. 1 1 所以 x + y 的最小值为 2. (Ⅱ)不存在. 因为 x2+y2≥2xy, 所以(x+y)2≤2(x2+y2)=2(x+y), 又 x,y∈(0,+∞),所以 x+y≤2. (x+1)+(y+1) 2 从而有(x+1)(y+1)≤ =4, 2 因此不存在 x,y,满足(x+1)(y+1)=5. …5 分

[

]

…10 分



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