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§ 夹角和距离公式

空间直角坐标系
z A k i o j

若a=a1i+a2j+a3k
则a=(

a1,a2,a3 )

y

OA=(x,y,z); A(x,y,z)

x

设A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)

z

k i o
x1

j

a
y1

y

x

向量的直角坐标运算
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3)

a + b =(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
λa=(λa1, λa2, λa3) a· b=a1b1+a2b2+a3b3

设a=(a1,a2,a3),

b=(b1,b2,b3)

a//b
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)

a⊥b

a1b1+a2b2+a3b3=0

例1.已知A(3,3,1),B(1,0,5)求:
(1)线段 AB的中点坐标和长度;
z B(1,0,5)
M

设M(x,y,z)是AB的中点,则 OM=
1 2

(OA+OB)

AM=MB
y
2 2 2

o
x

d A, B ? ?1 ? 3? ? ?0 ? 3? ? ?5 ? 1? ? 29

A(3,3,1)

例1.已知A(3,3,1),B(1,0,5)求: (2)到A、B两点距离相等的点P(x,y,z) 的坐标x,y,z满足的条件.
解:设点P到A、B的距离相等,则
(x ? 3) ? ?y ? 3? ? ?z ? 1? ? ?x ? 1? ? ?y ? 0? ? ?z ? 5?
2 2 2 2 2 2

化简,得 4x+6y-8z+7=0
即到A,B距离相等的点的坐标(x,y,z) 满足的条件是4x+6y-8z+7=0

例2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中, E,F分别是CC1,A1D1的中点,求异面直线 AB与EF所成的角.
F
A1
D

D1
B1

M

C1 E C

∠MFE即异面直线 AB与EF所成的角

A

B

例2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中, E,F分别是CC1,A1D1的中点,求异面直 线AB与EF所成的角.
z F D1 B1 D A x C1

A1

E C y

解:以D为原点, DA,DC,DD1分别为x 轴,y轴,z轴建立直 角坐标系.

B

例3.求证:如果两条直线垂直于一个 平面,则这两条直线平行。 已知:直线OA⊥平面α,直线 BD⊥平面α,O,B为垂足 求证:OA∥BD
α A D

o

B

已知:直线OA⊥平面α,直线 BD⊥平面α,O,B为垂足 求证:OA∥BD
A
z

D
y

α

x

k i oj

B

证明:以点O为原 点,以射线OA为非 负z轴,建立空间直 角坐标系O-xyz, i,j,k为沿x轴,y轴, z轴的坐标向量,且 设BD=(x,y,z).

如果表示向量a的有向线段 所在直线垂直于平面α,则称 这个向量垂直于平面α,记作 a⊥α 如果a⊥α ,那么向量a叫 做平面α的法向量

小结:
(1)两个公式:
已知:a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3)

cos a, b ?

a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?a ?a b ?b ?b
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 2 2 3 2

d A,B ? ?x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ?z 2 ? z1 ?

(2).向量的坐标及运算为解决线段长 度及两线垂直方面的问题提供了有力 和方便的工具,对于几何体中有关夹 角,距离,垂直,平行的问题,可将 其转化为向量间的夹角,模,垂直, 平行的问题,利用向量的方法解决。

再见!



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