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青海省西宁市2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析



青海省西宁市 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. (5 分)直线 x﹣ y+1=0 的倾斜角为() A. B. C. D.

2. (5 分)已知直线 a∥平面 α,直线 b?平面 α,则() A.a∥b B.

a 与 b 异面 C.a 与 b 相交 3. (5 分)平面 α 与平面 β 平行的条件可以是() A.α 内有无穷多条直线与 β 平行 B. α 内的任何直线都与 β 平行 C. 直线 a?α,直线 b?β,且 a∥β,b∥α D.直线 a?α,直线 a∥β

D.a 与 b 无公共点

4. (5 分)下列说法不正确的是() A.空间中,一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形 B. 同一平面的两条垂线一定共面 C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 5. (5 分)已知直线 x﹣2y+λ=0 与圆 x +y +2x﹣4y=0 相切,则实数 λ 的值是() A.0 B.10 C. 0 或 D.0 或 10 6. (5 分)直线 ax+by+c=0(ab≠0)在两坐标轴上的截距相等,则 a、b、c 满足的条件是() A.a=b B. |a|=|b| C. a=b 且 c=0 D.c=0 或 c≠0 且 a=b 7. (5 分)设 l、m、n 是互不重合的直线,α、β 是不重合的平面,则下列命题为真命题的是 () A.若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β B. 若 α⊥β,l?α,则 l⊥β C. 若 l⊥n,m⊥n,则 l∥m D.若 α⊥β,l?α,n?β 则 l⊥n 8. (5 分)圆:x +y ﹣2x﹣2y+1=0 上的点到直线 x﹣y=2 的距离最小值是() A.2 B. C. D.
2 2 2 2

9. (5 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F、G 分别是棱 A1B1、BB1、B1C1 的中 点,则下列结论中: ①FG⊥BD ②B1D⊥面 EFG

③面 EFG∥面 ACC1A1 ④EF∥面 CDD1C1 正确结论的序号是()

A.①和②

B.②和④

C.①和③

D.③和④

10. (5 分)过点 P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为() A.3x﹣2y=0 B. x+y﹣5=0 C. 3x﹣2y=0 或 x+y﹣5=0 D.2x﹣3y=0 或 x+y﹣5=0 11. (5 分)已知二面角 α﹣AB﹣β 的平面角是锐角 θ,α 内一点 C 到 β 的距离为 3,点 C 到棱 AB 的距离为 4,那么 tanθ 的值等于() A. B. C. D.

12. (5 分)已知直线 l 过定点 P(﹣1,2) ,且与以 A(﹣2,﹣3) ,B(﹣4,5)为端点的线 段有交点,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是() A.[﹣1,5] B.(﹣1,5) C.(﹣∞,﹣1]∪[5,+∞) D. (﹣∞, ﹣ 1)∪(5,+∞)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 2 2 13. (5 分)若直线 y=kx+2 与圆(x﹣2) +(y﹣3) =1 有两个不同的交点,则 k 的取值范围 是. 14. (5 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别为 AA1,AB,BB1,B1C1 的中点,则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于.

15. (5 分)两平行直线 l1:3x+4y﹣2=0 与 l2:6x+8y﹣5=0 之间的距离为. 16. (5 分)若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为 ,则其外接球的表面积是.

三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (10 分)求过 A(1,2)与 B(3,4)两点,且在 x 轴上截得的弦长等于 6 的圆的方程. 18. (12 分)若 ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(4,0) ,B(6,7) ,C(0,3) . ①求 BC 边上的高所在直线的方程; ②求 BC 边上的中线所在的直线方程. 19. (12 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, (1)证明:BC1⊥面 A1B1CD; (2)求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.

20. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是边长为 a 的正方形,PB⊥平面 ABCD,M、N 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证:MN∥平面 PAB; (2)若平面 PDA 与平面 ABCD 成 60°的二面角,求该四棱锥的体积.

21. (12 分)已知圆 C:x +(y﹣1) =5,直线 l:mx﹣y+1﹣m=0 (1)求证:直线 l 恒过定点; (2)设 l 与圆交于 A、B 两点,若 ,求直线 l 的方程. 22. (12 分)如图,已知圆心坐标为 的⊙M 与 x 轴及直线 均相切,切点 分别为 A、B,另一个圆⊙N 与⊙M、x 轴及直线 均相切,切点分别为 C、D. (1)求⊙M 和⊙N 的方程; (2)过点 B 作直线 MN 的平行线 l,求直线 l 被⊙N 截得的弦的长度.

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青海省西宁市 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. (5 分)直线 x﹣ y+1=0 的倾斜角为() A. B. C. D.

考点: 直线的倾斜角. 专题: 计算题. 分析: 因为直线的斜率是倾斜角的正切值,所以要求倾斜角,先求直线的斜率,把直线方 程化为斜截式,就可求出斜率,再根据斜率求出倾斜角. 解答: 解:直线 x﹣ ∴直线 x﹣ 则 tanθ= y+1=0 互为斜截式,得 y= ,设倾斜角为 θ x+

y+1=0d 的斜率为 ,∴θ=

故选 A 点评: 本题主要考查直线的倾斜角与斜率之间的关系,以及根据直线方程求斜率,平时学 习过程中,对一些概念性的东西要熟记. 2. (5 分)已知直线 a∥平面 α,直线 b?平面 α,则() A.a∥b B.a 与 b 异面 C.a 与 b 相交

D.a 与 b 无公共点

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 阅读型. 分析: 根据空间直线与平面平行的定义,判断直线与平面内的直线有平行与异面两种位置 关系,从而判定答案. 解答: 解:∵a∥平面 α,b?α,∴直线 a 与直线 b 的位置关系是:a∥b 或 a 与 b 异面,

∴选项 A、B、C 错误,D 正确. 故选 D. 点评: 本题考查空间直线与平面之间的位置关系. 3. (5 分)平面 α 与平面 β 平行的条件可以是() A.α 内有无穷多条直线与 β 平行 B. α 内的任何直线都与 β 平行 C. 直线 a?α,直线 b?β,且 a∥β,b∥α D.直线 a?α,直线 a∥β 考点: 平面与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据面面平行的判定定理,只要其中一个平面的两条相交直线都平行于另一个平面 即可. 解答: 解:对于选项 A,α 内有无穷多条直线与 β 平行,如果这无穷多条直线是平行的,α, β 可能相交; 对于选项 B,α 内的任何直线都与 β 平行,一定有两条相交直线与 β 平行,满足面面平行的判 定定理,可以得到 α∥β; 对于选项 C,直线 a?α,直线 b?β,且 a∥β,b∥α,如果 a,b 都平行 α,β 的交线,但是 α 与 β 相交; 对于选项 D,直线 a?α,直线 a∥β,α,β 可能相交; 故选 B. 点评: 本题考查了面面平行的判定以及学生的空间想象能力. 4. (5 分)下列说法不正确的是() A.空间中,一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形 B. 同一平面的两条垂线一定共面 C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 证明题. 分析: 根据证明平行四边形的条件判断 A,由线面垂直的性质定理和定义判断 B 和 C,利 用实际例子判断 D. 解答: 解:A、一组对边平行且相等就决定了是平行四边形,故 A 不符合题意; B、由线面垂直的性质定理知,同一平面的两条垂线互相平行,因而共面,故 B 不符合题意; C、由线面垂直的定义知,这些直线都在同一个平面内即直线的垂面,故 C 不符合题意; D、由实际例子,如把书本打开,且把书脊垂直放在桌上,则由无数个平面满足题意,故 D 符 合题意. 故选 D. 点评: 本题考查了平面几何和立体几何中的定理和定义,只要抓住定理中的关键条件进行 判断,可借助于符合条件的几何体进行说明,考查了空间想象能力和对定理的运用能力. 5. (5 分)已知直线 x﹣2y+λ=0 与圆 x +y +2x﹣4y=0 相切,则实数 λ 的值是()
2 2

A.0

B.10

C. 0 或

D.0 或 10

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题. 分析: 把圆的方程化为标准式后,找出圆心坐标与半径 r,利用点到直线的距离公式表示出 圆心到直线的距离 d, 根据直线与圆相切时圆心到在线的距离 d 等于半径 r 列出关于 λ 的方程, 求出方程的解即可得到 λ 的值. 解答: 解:把圆的方程化为标准方程得(x+1) +(y﹣2) =5,则圆心坐标(﹣1,2) ,半 径 r= 因为直线与圆相切,所以圆心 (﹣1,2)到直线 x﹣2y+λ=0 的距离 d= =r= ,
2 2

化简得|λ﹣5|=5,即 λ﹣5=5 或 λ﹣5=﹣5, 解得 λ=0 或 10 故选 D 点评: 此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件,灵活运用点到直线的距离公式化 简求值,是一道中档题. 6. (5 分)直线 ax+by+c=0(ab≠0)在两坐标轴上的截距相等,则 a、b、c 满足的条件是() A.a=b B. |a|=|b| C. a=b 且 c=0 D.c=0 或 c≠0 且 a=b 考点: 直线的一般式方程. 专题: 计算题. 分析: 当 c=0 时,直线 ax+by+c=0(ab≠0)过原点,在两坐标轴上的截距相等,当 c≠0 时, 直线在两坐标轴上的截距分别为 和 ,由题意可得 = ,解得 a=b,由此得出结

论. 解答: 解:当 c=0 时,直线 ax+by+c=0(ab≠0)过原点,在两坐标轴上的截距相等. 当 c≠0 时,直线在两坐标轴上的截距分别为 和 ,由题意可得 = ,故 a=b.

综上,当 c=0 或 c≠0 且 a=b 时,直线 ax+by+c=0(ab≠0)在两坐标轴上的截距相等, 故选 D. 点评: 本题主要考查直线的一般式方程,直线在两坐标轴上的截距的定义,体现了分类讨 论的数学思想,属于基础题. 7. (5 分)设 l、m、n 是互不重合的直线,α、β 是不重合的平面,则下列命题为真命题的是 () A.若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β B. 若 α⊥β,l?α,则 l⊥β C. 若 l⊥n,m⊥n,则 l∥m D.若 α⊥β,l?α,n?β 则 l⊥n 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 空间位置关系与距离;简易逻辑. 分析: A.利用线面平行的性质定理、面面垂直的判定定理即可判断出;

B.由 α⊥β,l?α,推不出 l⊥β; C.由 l⊥n,m⊥n,可得 l∥m、相交或为异面直线都有可能; D.由 α⊥β,l?α,n?β,可得 l∥n、相交或为异面直线都有可能. 解答: 解:A.由 l⊥α,l∥β,利用线面平行的性质定理、面面垂直的判定定理可得 α⊥β; B.由 α⊥β,l?α,不一定 l⊥β,不正确; C.由 l⊥n,m⊥n,则 l∥m、相交或为异面直线,不正确; D.由 α⊥β,l?α,n?β,则 l∥n、相交或为异面直线,不正确. 故选:A. 点评: 本题考查了空间位置关系的判定、简易逻辑的判定,考查了推理能力,属于中档题. 8. (5 分)圆:x +y ﹣2x﹣2y+1=0 上的点到直线 x﹣y=2 的距离最小值是() A.2 B. C. D.
2 2

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题. 分析: 把圆的方程化为标准方程,找出圆心坐标和圆的半径 r,再利用点到直线的距离公式 求出圆心到已知直线的距离 d,用 d﹣r 即可求出所求的距离最小值. 解答: 解:把圆的方程化为标准方程得: (x﹣1) +(y﹣1) =1, ∴圆心坐标为(1,1) ,半径 r=1, ∴圆心到直线 x﹣y=2 的距离 d= = ,
2 2

则圆上的点到已知直线距离最小值为 d﹣r= ﹣1. 故选 C 点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标准方程,点到直线的距离 公式, 其中根据题意得出圆心到已知直线的距离减去圆的半径为所求距离的最小值是解本题的 关键. 9. (5 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F、G 分别是棱 A1B1、BB1、B1C1 的中 点,则下列结论中: ①FG⊥BD ②B1D⊥面 EFG ③面 EFG∥面 ACC1A1 ④EF∥面 CDD1C1 正确结论的序号是()

A.①和②

B.②和④

C.①和③

D.③和④

考点: 命题的真假判断与应用;空间中直线与平面之间的位置关系.

专题: 空间位置关系与距离. 分析: ①利用直线垂直的定义判断. ②利用线面垂直的条件进行判断. ③利用面面平行的 判定进行判断.④利用线面平行的定义和性质判断. 解答: 解:如图连接 A1C1、A1B、BC1、BD、B1D,因为 E、F、G 分别是棱 A1B1、BB1、 B1C1 的中点 ①因为 FG∥BC1,△ BDC1 是正三角形,所以∠C1BD=60°,因为 FG∥BC1,所以异面直线 FG 与 BD 所成的角为 60°, FG⊥BD 不正确,所以①不正确. ②因为平面 A1C1B∥平面 EFG,并且 B1D⊥平面 A1C1B,所以 B1D⊥面 EFG,所以②正确. ③因为 EF 和 FG 和平面面 ACC1A1 不平行,所以③错误. ④EF∥平面 CDD1C1 内的 D1C,所以 EF∥面 CDD1C1.所以④正确. 故选 B.

点评: 考查正方体内的线段之间的关系,考查线线平行,线线垂直,线面平行,线面垂直 的判断与性质,考查基本知识的掌握程度. 10. (5 分)过点 P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为() A.3x﹣2y=0 B. x+y﹣5=0 C. 3x﹣2y=0 或 x+y﹣5=0 D.2x﹣3y=0 或 x+y﹣5=0 考点: 直线的截距式方程. 专题: 计算题;分类讨论. 分析: 分两种情况:当直线在两坐标轴上的截距都为 0 时,设直线 l 的方程为 y=kx,把 P 的坐标代入即可求出 k 的值,得到直线 l 的方程;当直线在两坐标轴上的截距不为 0 时,设直 线 l 的方程为 x+y=a,把 P 的坐标代入即可求出 a 的值,得到直线 l 的方程. 解答: 解:①当直线在两坐标轴上的截距都为 0 时,设直线 l 的方程为:y=kx 把点 P(2,3)代入方程,得:3=2k,即 所以直线 l 的方程为:3x﹣2y=0; ②当直线在两坐标轴上的截距都不为 0 时, 设直线 l 的方程为: 把点 P(2,3)代入方程,得: 所以直线 l 的方程为:x+y﹣5=0. 故选 C ,即 a=5

点评: 本题题考查学生会利用待定系数法求直线的解析式,直线方程的截距式的应用,不 要漏掉截距为 0 的情况的考虑,考查了分类讨论的数学思想,是一道中档题 11. (5 分)已知二面角 α﹣AB﹣β 的平面角是锐角 θ,α 内一点 C 到 β 的距离为 3,点 C 到棱 AB 的距离为 4,那么 tanθ 的值等于() A. B. C. D.

考点: 二面角的平面角及求法. 专题: 空间角. 分析: 根据已知条件作出图形, 根据图形即可找到角 θ, 根据已知的边的长度即可求出 tanθ. 解答: 解:如图所示,CO⊥β,垂足为 O,CD⊥AB,垂足为 D,且 CO=3,CD=4,连接 DO, ∵CO⊥β,∴CO⊥DO, ∴在 Rt△ CDO 中,DO= ; ∵CO⊥β,AB?β, ∴CO⊥AB,即 AB⊥CO,又 AB⊥CD,CD∩CO=C; ∴AB⊥平面 CDO,DO?平面 CDO,∴AB⊥DO; ∴∠CDO 是二面角 α﹣AB﹣β 的平面角,∴∠CDO=θ; ∴ 故选 D. .

点评: 考查二面角以及二面角的平面角的概念,而借助图形会比较形象的求解本题,以及 线面垂直的判定定理. 12. (5 分)已知直线 l 过定点 P(﹣1,2) ,且与以 A(﹣2,﹣3) ,B(﹣4,5)为端点的线 段有交点,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是() A.[﹣1,5] B.(﹣1,5) C.(﹣∞,﹣1]∪[5,+∞) D. (﹣∞, ﹣ 1)∪(5,+∞) 考点: 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系. 专题: 直线与圆. 分析: 先利用斜率公式求得直线 PA, PB 的斜率结合图象可得则直线 l 的斜率 k 的取值范围. 解答: 解:直线 PA 的斜率为 k1= =5,直线 PB 的斜率为 k2= =﹣1,

结合图象可得则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 k2≤k≤k1, 即则直线 l 的斜率 k 的取值范围是[﹣1,5], 故选 A.

点评: 本题主要考查直线的斜率和倾斜角的关系,直线的斜率公式,体现了数形结合的数 学思想,属于基础题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)若直线 y=kx+2 与圆(x﹣2) +(y﹣3) =1 有两个不同的交点,则 k 的取值范围 是( ) .
2 2

考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 计算题. 分析: 因为直线和圆有两个不同的交点可得直线与圆的位置关系是相交,所以圆心到直线 的距离小于圆的半径列出不等式求出 k 的解集即可. 2 2 解答: 解:由直线 y=kx+2 与圆(x﹣2) +(y﹣3) =1 有两个不同的交点可得直线与圆的 位置关系是相交, 故圆心到直线的距离小于圆的半径且半径为 1, 圆心到直线的距离为 ,

所以

<1,

解得 k∈(0, ) 故答案为(0, ) 点评: 考查学生掌握点到直线的距离公式的能力,要理解用交点的个数来判断直线和圆的 位置关系,应用直线和方程的能力.

14. (5 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别为 AA1,AB,BB1,B1C1 的中点,则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于 60°.

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 计算题. 分析: 利用异面直线夹角的定义,将 EF 平移至 MG(G 为 A1B1 中点) ,通过△ MGH 为正 三角形求解.

解答: 解:

取 A1B1 中点 M 连接 MG,MH,则 MG∥EF,MG 与 GH

所成的角等于 EF 与 GH 所成的角.容易知道△ MGH 为正三角形,∠MGH=60° ∴EF 与 GH 所成的角等于 60° 故答案为:60° 点评: 本题考查异面直线夹角的计算,利用定义转化成平面角,是基本解法.找平行线是 解决问题的一个重要技巧,一般的“遇到中点找中点,平行线即可出现”. 15. (5 分)两平行直线 l1:3x+4y﹣2=0 与 l2:6x+8y﹣5=0 之间的距离为 .

考点: 专题: 分析: 运算. 解答:

两条平行直线间的距离. 计算题. 把两直线的方程中 x,y 的系数分别化为相同的,然后用两平行线间的距离公式进行 解:直线 l1:3x+4y﹣2=0 即 6x+8y﹣4=0, = ,

故两平行线间的距离等于 故答案为: .

点评: 本题的考点是两平行线间的距离,主要考查两平行线间的距离公式.注意把两直线 的方程中 x,y 的系数化为相同的,是解题的关键 16. (5 分)若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为 考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;压轴题. ,则其外接球的表面积是 9π.

分析: 由于三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为 , 将三棱锥扩展为正方体,它的对角线是球的直径,求解即可. 解答: 解:依题可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径. r= ; S 表面积=4πr =9π 故答案为:9π. 点评: 本题考查:立几中的构造法及球的表面积计算; 对于有关外接球的问题要注意归纳几种的典型的构造方法, 再比如正四面体的外接球的构造法,还有对棱相等的构造方法等. 体对角线是外接球的直径,往往有的学生就当成半径来算导致错误.
2



三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (10 分)求过 A(1,2)与 B(3,4)两点,且在 x 轴上截得的弦长等于 6 的圆的方程. 考点: 圆的一般方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 设所求圆 C 的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,由圆经过点 A(1,2) ,B(3,4) ,可得 系数的方程组,再令 y=0,利用在 x 轴上截得的弦长,由此求得 D,E,F 的值,从而求得圆 的一般方程. 解答: 解:设所求圆 C 的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0, 由圆过点 A(1,2) ,B(3,4) ,得:D+2E+F=﹣5,3D+4E+F=﹣25, 令 y=0,x +Dx+F=0,|x1﹣x2|=
2 2 2 2 2 2 2

=6,

解得:D=12,E=﹣22,F=27 或 D=﹣8,E=﹣2,F=7, 故所求圆 C 的方程为 x +y +12x﹣22y+27=0 或 x +y ﹣8x﹣2y+7=0. 点评: 本题主要考查求圆的一般方程的方法,直线和圆相交的性质,弦长公式的应用,属 于中档题. 18. (12 分)若 ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(4,0) ,B(6,7) ,C(0,3) . ①求 BC 边上的高所在直线的方程; ②求 BC 边上的中线所在的直线方程. 考点: 直线的一般式方程;两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系. 专题: 计算题. 分析: ①由已知中 ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(4,0) ,B(6,7) ,C(0,3) .我们 可以求出直线 BC 的斜率,进而求出高的斜率,进而根据点斜式,求出答案. ②由已知中 ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(4,0) ,B(6,7) ,C(0,3) .我们可以求出 直线 BC 的中点的坐标,进而根据二点式,求出答案. 解答: 解:①∵B(6,7) ,C(0,3) . ∴直线 BC 的斜率 kAB= =
2 2

故 BC 边上的高所在直线的斜率 k=

设 BC 边上的高所在直线的方程为 y= ∵A(4,0) , 解得 b=6 故 y= x+6

x+b

即 3x+2y﹣12=0 ②∵B(6,7) ,C(0,3) . ∴BC 边上的中点为(3,5) ∵A(4,0) , 则 BC 边上的中线所在的直线方程为 即 5x+y﹣20=0 点评: 本题考查的知识点是直线的点斜式方程,直线的两点式方程,直线的一般式方程, 熟练掌握直线各种形式的适用范围是解答本题的关键. 19. (12 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, (1)证明:BC1⊥面 A1B1CD; (2)求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 分析: (1)要证 BC1⊥面 A1B1CD;应通过证明 A1B1⊥BC1.BC1⊥B1C 两个关系来实现, 两关系容易证明. (2) 因为 BC1⊥平面 A1B1CD, 所以 A1O 为斜线 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影, 所以∠BA1O 为 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角.在 RT△ A1BO 中求解即可. 解答: 解: (1)连接 B1C 交 BC1 于点 O,连接 A1O. 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中 因为 A1B1⊥平面 BCC1B1. 所以 A1B1⊥BC1. 又∵BC1⊥B1C,又 BC1∩B1C=O ∴BC1⊥平面 A1B1CD (2) 因为 BC1⊥平面 A1B1CD, 所以 A1O 为斜线 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影, 所以∠BA1O 为 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角.设正方体的棱长为 a 在 RT△ A1BO 中,A1B= a,BO= a,所以 BO= A1B,∠BA1O=30°,

即直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为 30°.

点评: 本题考查空间直线与平面垂直关系的判断,线面角大小求解,考查空间想象能力、 推理论证、计算、转化能力. 20. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是边长为 a 的正方形,PB⊥平面 ABCD,M、N 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证:MN∥平面 PAB; (2)若平面 PDA 与平面 ABCD 成 60°的二面角,求该四棱锥的体积.

考点: 与二面角有关的立体几何综合题;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判 定. 专题: 综合题. 分析: (1)取 PB 的中点 O,连接 ON,OA,通过证明四边形 MNOA 为平行四边形.得出 MN∥AO,根据判定定理即可证明. (2)容易得出∠PAB 为平面 PDA 与平面 ABCD 成二面角的平面角,在 RT△ PBA 中,求出 椎体的高 PB,利用锥体体积公式计算即可. 解答: (1)证明:取 PB 的中点 O,连接 ON,OA, ∵O,N 分别是 PB,PC 的中点, ∴ON∥BC,ON= BC 又 AD∥BC,AM= AD, ∴ON∥AM,ON=AM. ∴四边形 MNOA 为平行四边形. ∴MN∥AO 而 MN?平面 PAB,AO?平面 PAB

∴MN∥平面 PAB. (2)解:∵PB⊥平面 ABCD,AD?平面 ABCD, ∴PB⊥AD, 又 AB⊥AD,AB∩PB=B, ∴AD⊥面 PAB, ∴AD⊥PA. ∴∠PAB 为平面 PDA 与平面 ABCD 成二面角的平面角, ∴∠PAB=60°, 在 RT△ PBA 中,PB=tan∠PAB?AB= a, ∴VP﹣ABCD= SABCD×PB= ×a ×
2

a=

点评: 本题考查线面平行的判定,锥体体积计算,考查转化、计算、论证能力. 21. (12 分)已知圆 C:x +(y﹣1) =5,直线 l:mx﹣y+1﹣m=0 (1)求证:直线 l 恒过定点; (2)设 l 与圆交于 A、B 两点,若 ,求直线 l 的方程. 考点: 恒过定点的直线;直线的一般式方程;直线和圆的方程的应用. 专题: 转化思想. 分析: (1) 由于 m 的任意性, 把直线 l 的方程化为 (x﹣1) m﹣y+1=0, 令 x﹣1=0 和﹣y+1=0 求解; (2)利用弦长先求出弦心距,再由圆心到直线的距离求出 m 的值. 解答: (1)证明:把直线 l 的方程化为(x﹣1)m﹣y+1=0,由于 m 的任意性, ∴ ,解得 x=1,y=1
2 2

∴直线 l 恒过定点(1,1) . (2)解:由题意知,圆心 C(0,1) ,半径 R= ∵l 与圆交于 A、B 两点且 , ∴圆心 C 到 l 得距离 d= ∵直线 l:mx﹣y+1﹣m=0 =



=



∴d=

=

,解得 m=±



∴所求直线 l 为 . 点评: 本题考点是直线过定点问题转化为方程恒成立问题,以及圆与直线相交时半径、弦 长的一半和弦心距的关系和点到直线的距离公式. 22. (12 分)如图,已知圆心坐标为 的⊙M 与 x 轴及直线 均相切,切点 分别为 A、B,另一个圆⊙N 与⊙M、x 轴及直线 均相切,切点分别为 C、D. (1)求⊙M 和⊙N 的方程; (2)过点 B 作直线 MN 的平行线 l,求直线 l 被⊙N 截得的弦的长度.

考点: 直线和圆的方程的应用;圆的标准方程. 专题: 计算题. 分析: (1)连接 MA,根据⊙M 与 x 轴相切得 MA⊥OA,根据圆心坐标 得 到圆的半径为 1,写出⊙M 的方程;设出⊙N 的半径 r,利用相似求出 r,并求出圆心 N 的坐 标,即可得到⊙N 的方程; (2)由对称性可知,所求的弦长等于过点 A 且与直线 MN 平行的直线被⊙N 截得的弦长,根 据点 A 的坐标和直线 MN 的斜率求出弦长的方程,然后利用点到直线的距离公式求出圆心 N 到弦的弦心距,然后利用勾股定理即可求出弦. 解答: 解: (1)由于⊙M 与∠BOA 的两边均相切,故 M 到 OA 及 OB 的距离均为⊙M 的半 径,则 M 在∠BOA 的平分线上, 同理,N 也在∠BOA 的平分线上,即 O,M,N 三点共线,且 OMN 为∠BOA 的平分线; ∵M 的坐标为 , ∴M 到 x 轴的距离为 1,即⊙M 的半径为 1, ∴⊙M 的方程为 ,

设⊙N 的半径为 r,其与 x 轴的切点为 C,连接 MA、MC, 由 Rt△ OAM∽Rt△ OCN 可知,OM:ON=MA:NC, 即 ∴OC= ,解得 r=3; ,点 N 坐标为 ; .

∴⊙N 的方程为

(2)由对称性可知,所求的弦长等于过点 A 且与直线 MN 平行的直线被⊙N 截得的弦长,此 弦的方程是 ∵圆心 N 到该弦的距离 d= ∴所求弦长= ,即: , . ,

点评: 这是一道直线与圆的方程的综合运用题,主要考查学生会利用垂径定理得直角三角 形求弦长的方法,同时要求学生掌握点到直线的距离公式.



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