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2014茂名一模文科数学word版



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试卷类型:A

茂名市 2014 年第一次高考模拟考试 数学试卷(文科)
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1、答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目。 2、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。 3、非选择题必须用黑

色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区 域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使 用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。 4、考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回。 参考公式: S ? 4? R ,其中 S 表示球的表面积, R 表示球的半径
2

1 V ? Sh ,其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 3

第一部分

选择题(共 50 分)

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1、若集合 A ? ?0,1,2,3?, B ? ? 1,2,4?则集合 A A. ?0,1,2,3,4? B. ? 1,2,3,4?

B?



) D. ) D.第四象限 ( D. 4 )条件 . )

C. ? 1,2? (

?0?

2、在复平面内,复数 z ? i(1 ? i ) 对应的点位于 A.第一象限 3、如果函数 f ( x) ? sin(? x ? A. B.第二象限

C.第三象限

?
6

) (? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则 ? 的值为
B. 1 C. 2

1 2

4、设条件 p : a ? 0 ;条件 q : a 2 ? a ? 0 ,那么 p 是 q 的( A.充分不必要 C.充要 B.必要不充分 D.既不充分也不必要

5、 已知直线 l1 : ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 l2 : (3 ? a) x ? y ? a ? 0 , 若 l1 // l2 , 则 a 的值为 ( A.1 B.2 C.6
第 1 页(共 4 页)



D .1 或 2

6、已知函数 f ( x) ? lg(1 ? x) ? lg(1 ? x) , g ( x) ? lg(1 ? x) ? lg(1 ? x) ,则 A. f ( x) 与 g ( x) 均为偶函数 C. f ( x) 与 g ( x) 均为奇函数 B. f ( x) 为奇函数, g ( x) 为偶函数 D. f ( x) 为偶函数, g ( x) 为奇函数 ( D.120 )





开始 a=5,s=1 s=s×a a=a-1 a≥2

7、如图所示的流程图中,输出的结果是 A.5 B.20 C.60

8、已知函数 f ( x) ? ( ) ? sin x ,则 f ( x) 在 [0, 2? ] 上的零点
x

1 2

个数为( A.1

) B.2



C.3

D.4

否 输出 s 结束

9、定义: | a ? b |?| a || b | sin ? ,其中 ? 为向量 a 与 b 的夹角,若 | a |? 2 , | b |? 5 ,

a ? b ? ?6 ,则 | a ? b | 等于 (
A. ? 8
2 2

) C. ? 8 或 8 D. 6

B. 8

(第 7 题图)
?

10、 若圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 上的任意一点关于直线 2ax ? by ? 2 ? 0 (a, b ? R ) 的 对称点仍在圆上,则 A. 4 2

1 2 ? 最小值为 a b
C. 3 ? 2 2





B. 2 2

D. 3 ? 4 2

第二部分

非选择题(共 100 分)

二、填空题: (本题共 5 小题,第 14、15 题任选一道作答,多选的按 14 小题给分,共 20
分)

(一)必做题(11~13 题)
11、函数 y ? 2 ? x ? ln( x ?1) 的定义域为 12、右图是一个几何体的三视图,根据图中数据, 可得该几何体的表面积 是___________. ... .

?x ? 0 ? 13、在平面直角坐标系上,设不等式组 ? y ? 0 ? y ? ?n( x ? 3) ?

第 12 题图

所表示的平面区域为 Dn ,记 Dn 内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为

an (n ? N ? ) . 则 a1 =

,经推理可得到 a n =



第 2 页(共 4 页)

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计第一题的得分)
14、 (坐标系与参数方程选做题) 已知直线 l 的参数方程为:? 极坐标方程为 ? ? 2cos? ,则圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 15、(几何证明选讲选做题) 已知圆 O 的半径为 3 ,从圆 O 外一 点 A 引切线 AD 和割线 ABC ,圆心 O 到 AC 的距离为 2 2 ,
A

? x ? 2t , ( t 为参数) ,圆 C 的 ? y ? 1 ? 4t
.
B O C

AB ? 3 ,则切线 AD 的长为____________.

D

(第 15 题图)

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤, )
16 (本小题满分 13 分) 设锐角三角形 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 a ? 2b sin A . (1) 求角 B 的大小; (2) 若 a ? 3 3, c ? 5 ,求 ?ABC 的面积及 b 。

第 3 页(共 4 页)

17 (本小题满分 13 分) 空气质量指数 PM2.5 (单位: ? g / m3 )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个 值越高,就代表空气污染越严重:

PM2.5
日均浓度 空气质量级别 空气质量类别

0 ~ 35
一级 优

35 ~ 75
二级 良

75 ~ 115
三级 轻度污染

115 ~ 150
四级 中度污染

150 ~ 250
五级 重度污染

? 250
六级 严重污染

某市 2013 年 12 月 1 日— 12 月 30 日( 30 天)对空气质量指数 PM2.5 进行监测,获得数 据后得到如下条形图.

(1)估计该城市一个月内空气质量类别为优的概率; (2)从空气质量级别为三级和四级的数据中任取 2 个, 求恰好 有一天空气质量类别为中度污染的概率。 ..

15

天数

16

10

8
4 2

5

O

一级 二级

三级

四级

级别

第 4 页(共 4 页)

18(本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n . (1)请写出数列 {an } 的前 n 项和 S n 公式,并推导其公式; (2)若 an ? n ,数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,求

1 1 1 ? ? .... ? 的和。 S1 S2 Sn

第 5 页(共 4 页)

19 (本小题满分 14 分) 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , ?ABC ? ?ACD ? 90? , ?BAC ? ?CAD ? 60? , PA ? 平面ABCD , E 为 PD 的中点, M 为 AD 的中点, PA ? 2 AB ? 4 . (1)求证: EM // 平面PAB ; (2)求证: PC ? AE ; (3)求三棱锥 P ? ACE 的体积 V 。

第 6 页(共 4 页)

20 (本小题满分 14 分) 已知抛物线 y 2 ? 4 2 x 的焦点为椭圆 长为 4,M、N 是椭圆上的的动点. (1)求椭圆标准方程; (2)设动点 P 满足:OP ? OM ? 2ON ,直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ? 定点 F1 , F2 ,使得 PF1 ? PF2 为定值,并求出 F1 , F2 的坐标; (3)若 M 在第一象限,且点 M , N 关于原点对称, MA 垂直于 x 轴于点 A ,连接 NA 并 延长交椭圆于点 B , 记直线 MN , MB 的斜率分别为 kMN , kMB ,证明:kMN kMB ? 1 ? 0 。

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点 ,且椭圆的长轴 a 2 b2

1 ,证明:存在 2

第 7 页(共 4 页)

21 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ?

4 ? c ln x ,其中 c ? R , x

(1) 当 c ? 0 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)讨论 f ( x ) 的单调性; (3) 若 f ( x ) 有两个极值点 x1 和 x2 , 记过点 A( x1 , f ( x1 ))、B( x2 , f ( x2 )) 的直线的斜率为 k , 问是否存在 c ,使得 k ? 2 ? c ?若存在,求出 c 的值,若不存在,请说明理由。

第 8 页(共 4 页)

茂名市 2014 年第一次高考模拟考试

数学试卷(文科)参考答案及评分标准

一选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 A 5 C 6 D 7 D 8 B 9 B 10 C

提示: 10.圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 上的任意一点关于直线 2ax ? by ? 2 ? 0 (a, b ? R? ) 的
对 称 点 仍 在 圆 上 , 则 直 线 2ax ? by ? 2 ? 0 过 圆 心 (?1, 2) , 即 a ? b ? 1 ,

1 2 1 2 2a b ? ? ( ? ) ( a ? b) ? 3 ? ? ? 3 ? 2 2 ,故选 C. a b a b b a

二填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11、 (1, 2] ; 12、12? ;13、 3 (第一空 2 分), 3n (第二空 3 分); 14、
3 5 ; 5

15、

15 ;

提示: 13.第二问:由 x ? 0, y ? 0,3n ? nx ? 0 ,得 0 ? x ? 3 ,所以 x ? 1或2 ,因此 Dn 内的整点在

,x ? 2, 上,记直线 y ? 3n ? nx 为 l ,l 与直线 x ? 1,x ? 2, 的交点的纵坐标分别 直线 x ? 1
为 y1 , y2 ,则 y1 ? 3n ? n ? 2n, y2 ? 3n ? 2n ? n, ,所以得 an ? 3n (n ? N ? ) . 三、解答题(共 80 分) 16、 解: (1)

a ? 2b sin A ,由正弦定理得

? sin A ? 2sin B sin A ………………………………………………………2 分

由于 sin A ? 0,
故有 sin B ? 1 2

…………………………………………………………3 分 ……………………………………………………………4 分



B是锐角, ……………………………………………………………5 分

第 9 页(共 4 页)

? B ? 300

………………………………………………………………6 分

(2) 依题意得: S ?ABC ?

1 ac s i n 30 0 ………………………………………7 分 2
……………………………9 分

1 1 15 3 ? ? 3 3 ? 5? ? 2 2 4

?由余弦定理b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B可得 ……………………………10 分

b2 ? (3 3)2 ? 52 ? 2 ? 3 3 ? 5 ? cos300 ………………………………11 分
=27+25-45=7 …………………………………………………………12 分

?b ? 7

……………………………………………………………13 分

17、解:(1)由条形统计图可知,空气质量类别为优的天数为 8 天, 所以此次监测结果中空气质量类别为优的概率为

8 4 ? . 30 15

…………4 分

(2)样本中空气质量级别为三级的有 4 天,设其编号为 a 1,a 2,a 3,a 4; 样本中空气质量级别为四级的有 2 天,设其编号为 b1 , b2 ………………5 分 则 基 本 事 件 有 :

( a , a ), ( a , a ), ( a , a ), ( a , b ), ( a , b ); 1 2 1 3 1 4 1 1 1 2

( a , a ), ( a , a ), ( a , b ), ( a , b ) a , a ), ( a , b ), ( a , b ) ;( ; 2 3 2 4 2 1 2 2 3 4 3 1 3 2
( a ,b ), ( a ,b ) ; (b1, b2 ) .共 15 个. 4 1 4 2
其 中 恰 好 有 …………………………………10 分

1 天 空 气 质 量 类 别 为 中 度 污 染 的 情 况 为 :

( a , b ), ( a , b ), ( a , b ), ( a , b ) , (a3 , b1 ),(a3 , b2 ),(a4 , b1 ),(a4 , b2 ) 共 8 个…12 分 1 1 1 2 2 1 2 2
所以恰好有 1 天空气质量类别为中度污染的概率为

8 .……………………13 分 15

18、解:(1) Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) 或Sn ? na1 ? d (注:只要写对其中一个公式即可)2 分 2 2

证明:设等差数列 {an } 的公差为 d ,因为 Sn ? a1 ? a2 ? ..... ? an ……………3 分 所以 Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ..... ? [a1 ? (n ? 1)d )] ① …………………4 分

Sn ? an ?( an ? d ) ?( a ) ? . . . .? . a d 1 ) ……………………… )] 5分 n ?2 d n [ ? n (? ②
? an ) ? ..... ? ( a ? 由①+②得: 2 S n ? (a1 ? an ) ? (a 1? an ) ? (a 1 1 an )
n个 ( a1 ? an )

…………6 分

? n(a1 ? an )

………………………………………………7 分

第 10 页(共 4 页)

所以 Sn ?

n(a1 ? an ) 2

……………………………………………………………8 分

(注:由于推导等差数列前 n 项和 S n 公式的方法比较多,其它方法按相应的步骤给分) (2) 因为 an ? n ,所以 a1 ? 1 , Sn ? a1 ? a2 ? .... ? an ? 所以

n(n ? 1) ……………………9 分 2

1 2 1 1 ? ? 2( ? ) ………………………………………………10 分 Sn n(n ? 1) n n ?1

因此

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? .... ? ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ..... ? ( ? )] ……………11 分 S1 S2 Sn 2 2 3 n n ?1

? 2(1 ?

1 2n ………………………………12 分 )? n ?1 n ?1

19、解: (1)因为 E 为 PD 的中点, M 为 AD 的中点, 则在 ?PAD 的中, ME // PA ………………………………1 分 又 PA ? 平面PAB,ME ? 平面PAB ………………………2 分 则 EM ∥平面 PAB , (2)证明 ……………………………3 分 …………4 分 取 PC 中点 F ,连接 AF , EF .

在 Rt ?ABC 中, AB ? 2 , ?BAC ? 60 , 则

BC ? 2 3 , AC ? 4 .

……………………………5 分

而 PA ? 4 ,则在等腰三角形 APC 中 PC ? AF . ① …6 分 又 在 ?PCD 中, PE ? ED, PF ? FC , 则

EF ∥ CD

…………………………………7 分

因为 PA ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD ,则 又 ?ACD ? 90 ,即 CD ? AC ,则 因此 EF ? PC . ② 又 EF 故

PA ? CD ,

CD ? 平面 PAC ,所以 CD ? PC …8 分

AF ? F ,由①②知 PC ? 平面 AEF .……………………………9 分
……………………………………………………………10 分

(3)由(1) (2)知 AC ? 4 , CD ? 4 3 , EF ? 因此 EF 为三棱锥 E ? PAC 的高 而 S Rt ?PAC ? 故

1 CD ? 2 3 2 因为 CD ? 平面 PAC , EF ∥ CD ,则 EF ? 平面 PAC

PC ? AE

…………………11 分

………………………………………………12 分

VP ? AEC

1 1 PA ? AC ? ? 4 ? 4 ? 8 …………………………………………13 分 2 2 1 1 16 3 ? VE ? PAC ? S Rt?PAC ? EF ? ? 8 ? 2 3 ? …………………14 分 3 3 3

第 11 页(共 4 页)

20、解: (1)由题设可知:因为抛物线 y 2 ? 4 2 x 的焦点为 ( 2,0) , ………………1 分 所以椭圆中的 c ? 2, 又由椭圆的长轴为 4 得 a ? 2, 故b ? a ?c ? 2
2 2 2

………………………………………………2 分

故椭圆的标准方程为:

x2 y 2 ? ? 1 ………………………………………3 分 4 2

(2)设 P( xp , yP ), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , 由 OP ? OM ? 2ON 可得:

? xP ? x1 ? 2 x2 .............① ? ? yP ? y1 ? 2 y2
由直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ?

………………………………4 分

1 可得: 2
………………………5 分
2

y1 y2 1 ? ? ,即 x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0............② x1 x2 2
由① ② 可得: xp ? 2 y p ? ( x1 ? 2 x 2 )?
2 2 2

2y( 1 ( ? y 2 2

)

? ( x12 ? 2 y12 ) ? 4 x ( 22 ? 2 y22 …… ) 6分
2 2 2 M、N 是椭圆上的点,故 x1 ? 2 y12 ? 4, x2 ? 2 y2 ?4
2 xP y2 ? P ? 1 ……………………………………7 分 20 10

2 2 故 xP ? 2 yP ? 20 ,即

由椭圆定义可知存在两个定点 F 1 (? 10,0), F 2 ( 10,0) , 使得动点 P 到两定点距离和为定值 4 5 ;………………………………8 分 (3)设 M ( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 由题设可知 x1 ? 0, y1 ? 0, x2 ? 0, y2 ? 0,

9分 x1 ? x2, A ( x ?( 1 x? , ,………………………………………… y ) 1 , 0 ) ,N 1 由题设可知 l AB 斜率存在且满足 k N A ? k

NB

?

y1 y ? y1 ? 2 .③ ………10 分 2 x1 x 2 ? x 1

kM N ? k

MB

?1 ?

y1 y2 ? y1 ? ? 1 . . . .④ . . . . . ………………………………11 分 x1 x 2 ? x 1

第 12 页(共 4 页)

将③ 代入④ 可得: kMN kMB ? 1 ?

2 (y2 ? y 1 ) y ( 2? y 1 ) ?1 x2 ? x 1 x 2? x 1

?
x2 y 2 ? ? 1, 4 2

( x22 ? 2 y 22) ? ( x 12? 2 y 1 )2 ⑤ ……12 分 x22 ? x12

点 M , B 在椭圆

故 kMN ? kMB ? 1 ?

2 2 ( x2 ? 2 y2 ) ? ( x12 ? 2 y12 ) 4?4 ? 2 ?0 2 2 x2 ? x1 x2 ? x12

…………13 分

? kMN kMB ? 1 ? 0,

……………………………………………………14 分

21、解: (1)当 c ? 0 时, f ( x) ? x ?

4 4 ,所以 f (1) ? 1 ? ? ?3 ……………………1 分 x 1 4 4 f ' ( x) ? 1 ? 2 , f ' (1) ? 1 ? ? 5 ,………………………………………2 分 x 1
.…………………3 分

又因为切线过 (1, ?3) ,所以切线方程为 5x ? y ? 8 ? 0 (2) f ( x ) 的定义域为 (0, ??). f ( x) ? 1 ?
'

4 c x 2 ? cx ? 4 ? ? , x2 x x2
2

2 令 g ( x) ? x ? cx ? 4 ,其判别式 ? ? c ? 16
2

…………………4 分

① 当 ?4 ? c ? 4时,? ? c ? 16 ? 0 ,故 f ( x)在(0, ??) 上单调递增…5 分 ② 当 c ? 4时,? ? c ? 16 ? 0 , g ( x) ? 0 的两根都小于 0,在 (0, ??) 上,
2

f '( x) ? 0 ,故 f ( x)在(0, ??) 上单调递增.
2

…………………6 分

③ 当 c ? ?4时,? ? c ? 16 ? 0 ,设 g ( x) ? 0 的两根为,

x1 ?

?c ? c 2 ? 16 ?c ? c 2 ? 16 ? (0, 2) ,x2 ? ? 2 …………………7 分 2 2

当 0 ? x ? x1 时, f '( x) ? 0 ;当 x1 ? x ? x2 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? x2 时,

f '( x) ? 0 ,故 f ( x) 分别在 (0, x1 ),( x2 , ??) 上单调递增,在 ( x1 , x2 ) 上单调
递 减. ………………………………………8 分 …9 分

(3)由(2)可知:当 c ? ?4时,f ( x ) 在 (0, ??) 上有两个极值点 x1 , x2
第 13 页(共 4 页)

因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ?

4( x1 ? x2 ) ? c(ln x1 ? ln x2 ) x1 x2
…………………10 分

所以 k ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ln x1 ? ln x2 4 ? 1? ?c x1 ? x2 x1 x2 x1 ? x2

由(2)可知: x1 x2 ? 4 ,于是 k ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ln x1 ? ln x2 , ? 2?c x1 ? x2 x1 ? x2

若存在 c ,使得 k ? 2 ? c ,则 即 ln x1 ? ln x2 ? x1 ? x2 , 亦即 x2 ?

ln x1 ? ln x2 ?1, x1 ? x2

4 ? 2ln x2 ? ln 4 ? 0 ( x2 ? 2) x2
4 ? 2 ln t ? ln 4 (t ? 2) , t

(*)

………………………11 分

设函数 h(t ) ? t ?

4 2 t 2 ? 2t ? 4 (t ? 1) 2 ? 3 ? ? 0 ……………12 分 当 t ? 2 时, h '(t ) ? 1 ? 2 ? ? t t t2 t2
所以 h(t ) 在 (2, ??) 上单调递增, 而 x2 ? 2 ,所以 x2 ? ………………………………………13 分

4 4 ? 2ln x2 ? ln 4 ? 2 ? ? 2ln 2 ? ln 4 ? 0 , x2 2

这与 (*) 式矛盾.故不存在 c ,使得 k ? 2 ? c …………..…………………14 分

第 14 页(共 4 页)



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