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2013年秋北师大版必修1示范教案2.4.1二次函数的图像



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§4 二次函数性质的再研究 4.1 二次函数的图像
整体设计 教学分析 二次函数是作为全面介绍函数的第一个例子出现的.本节教材从三个递进的问题开始: 1.解决二次函数的形状 问题;2.解决其移动问题;3.解决配方问题.在教师引导和学生动 手的基础上,围绕三个问题,每走一步都抽象概括,再明晰一次.

这部分教材,信息技术大有用武之地.可以充分利用信息技术的动态特点,画出各种曲 线族, 把变化极其形象地表现出来, 以便使学生掌握二次函数中各参数的变化对图像的影响. 三维目标 理解在二次函数的图像中 a,b,c,h,k 的作用,掌握研究二次函数移动的方法,能够 熟练地对二次函数图像的上下左右移动,并能迁移到其他函数,培养学生变换作图的能力. 重点难点 教学重点:二次函数图像的变换. 教学难点:将二次函数图像的上下左右移动迁移到其他函数. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.在初中,我们已经学过了二次函数,知道其图像为抛物线,并了解其图像的开 口方向、对称轴、顶点等特征,本节课进一步研究一般的二次函数的性质,引出课题. 思路 2.高考试题中,有关二次函数的题目经常出现,二次函数是高中数学最重要的函 数,因此有必要对二次函数的图像和性质进行深入学习,教师引出课题. 推进新课 新知探究 提出问题 ①请回顾二次函数的定义. ②二次函数的解析式有几种形式? ③二次函数的图像是什么形状?如何快速画出其草图? 讨论结果 2 ①一般地,函数 y=ax +bx+c( a,b,c 为常数且 a≠0)叫作二次函数.其中自变量的 最高次数是 2,自变量取值范围即函数的定义域是全体实数. ②有三种形式: 2 一般式:y=ax +bx+c(a≠0); 2 顶点式:y=a(x-h) +k(a≠0); 零点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 注意:任意二次函数的解析式均有一般式和顶点式,但是不一定有零点式.当且仅当二 次函数的图像与 x 轴相交时,二次函数的解析式才有零点式. ③二次函数的图像是抛物线.画抛物线的草图时,通常根据“三点一线一开口”来 画.“三点”是指:顶点,抛物线与 x 轴的两个交点;“一线”是指对称轴这条直线,“一 开口”是指抛物线的开口方向, 根据抛物线的这些特征描出其草图. 如果抛物线与 x 轴仅有 一个交点或没有交点时,可以先在抛物线上任取一点 (除顶点),再作出此点关于抛物线对 称轴的对称点,这两个点和顶点合起来组成“三点”. 提出问题 2 ①画出 y=x 的图像.并填写表 1. 表1 x ? -3 -2 -1 0 1 2 3 ? x2 ? ? 2 2x ? ? 京翰教育高考补习——专业对高中学生开设高一数学辅导补习班

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②观察表 2,要得到 2x 的值,只要把相应的 x 的值扩大为原来的几倍?这种情况是如 何在图像上表现的? 2 2 ③如何由 y=x 的图像得到 y=2x 的图像? ④如何由函数 y=f(x)的图像得到函数 y=Af(x)(A>0,A≠1)的图像? 讨论结果: 2 ①如图 1 是 y=x 的图像,
2 2

图1 如表 2 为所填表格: 表2 ? -3 -2 -1 0 1 2 3 ? ? 9 4 1 0 1 4 9 ? ? 18 8 2 0 2 8 18 ? 2 2 ②要得到 2x 的值,只要把相应的 x 的值扩大为原来的 2 倍.这种情况表现在图像上如 2 图 2 所示,就是把 AB 伸长为原来的 2 倍,即 AC 的长度,得到当 x=1 时 y=2x 对应的值.

x x2 2 2x

图2 图3 2 ③将 y=x 的图像上所有点的横坐标不变, 纵坐标都扩大为原来的 2 倍得到 y=2x 的图 像. ④将 y=Af(x)的图像上所有点的横坐标不变, 纵坐标都扩大为原来的 A(A>1)倍或缩短 为原来的 A(0<A<1)倍得到 y=Af(x)的图像. 提出问题 2 2 2 ①在同一坐标系中画出 y=2x ,y=2? x+1? ,y=2? x+1? +3 的图像,观察图像, 2 2 如何由 y=2x 的图像得到 y=2? x+1? +3 的图像? 2 2 ②如何由 y=ax 的图像得到 y=a? x+h? +k? h≠0,k≠0? 的图像? ③如何由 y=f? x? 的图像得到 y=f? x+h? +k? h≠0,k≠0? 的图像? 2 2 ④由 y=ax 的图像如何平移得到 y=ax +bx+c 的图像? 2 2 2 讨论结果:①y=2x ,y=2(x+1) ,y=2(x+1) +3 的图像,如图 4.
2

图4 2 2 观察图 4,得把 y=2x 的图像向左平移一个单位长度得 y=2(x+1) 的图像,再把 y= 2 2 2(x+1) 的图像向上平移 3 个单位得 y=2(x+1) +3 的图像. 2 2 ②把 y=ax 的图像向左( h>0)或向右(h<0)平移|h|个单位长度得 y=a(x+h) 的图像, 2 2 再把 y=a(x+h) 的图像向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位得 y=a(x+h) +k 的图像. ③把 y=f(x)的图像向左(h>0)或向右(h<0)平 移|h|个单位长度得 y=f(x+h)的图 像, 再把 y=f(x+h)的图像向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位得 y=f(x+h)+k 的图 京翰教育高考补习——专业对高中学生开设高一数学辅导补习班

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像. 2 2 ④一般地,二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)可通过配方得到它的恒等形式 y=a(x+h) 2 2 +k,从而就可以知道由 y=ax 的图像如何平移得到 y=ax +bx+c 的图像. 提出问题 2 ①二次函数 y=a? x+h? +k? a≠0? 中,h,k 对函数的图像有何影响? 2 ②二次函数 y=ax +bx+c? a≠0? 中,确定函数图像开口大小及方向的参数是什么? 确定函数图像位置的参数是什么? ③写出一个开口向下,顶点为? -3,1? 的二次函数的解析式,并画出其图像. 讨论结果:①h,k 只改变函数图像的顶点位置,不改变图像形状. ②确定函数图像开口大小及方向的参数是 a,确定函数图像位置的参数是 a,b,c. 2 ③例如 y=-(x+3) +1.其图像如图 5 所示,

图5 应用示例 例 1 二次函数 f(x)与 g(x)的图像开口大小相同,开口方向也相同,已知函数 g(x)的 解析式和 f(x)图像的顶点,写出函数 f(x)的解析式; 2 (1)函数 g(x)=x ,f(x)图像的顶点是(4,-7); 2 (2)函数 g(x)=-2(x+1) ,f(x)图像的顶点是(- 3,2). 活动: 学生思考确定二次函数的开口大小和方向的参数, 以及二次函数解析式的顶点式. 2 解:如果二次函数的图像与 y=ax 的图像开口大小相同,开口方向也相同,顶点坐标 2 是(-h,k),则其解析式为 y=a(x+h) +k, 2 (1)因为 f(x)与 g(x)=x 的图像开口大小相同, 开口方向也相同, (x)图像的顶点是(4, f 2 2 -7),所以 f(x)=(x-4) -7=x -8x+9; 2 (2)因为 f(x)与 g(x)=-2(x+1) 的图像开口大小相同, 开口方向也相同, (x)=-2(x g 2 2 2 +1) 又与 y=-2x 的图像开口大小相同,开口方向也相同,所以 f(x)与 y=-2x 的图像开 口大小也相同,开口方向也相同. 又因为 f(x)图像的顶点是(-3,2), 2 2 所以 f(x)=-2(x+3) +2=-2x -12x-16. 点评:本题主要考查二次函数的解析式、其图像和性质,以及数形结合的能力.已知二 次函数的顶点坐标求其解析式时,常设二次函数的顶点式. 变式训练 2 1.函数 y=2x +4x-1 的对称轴和顶点分别是( ). A.x=-2,(-2,-1) B.x=2,(-2,-1) C.x=-1,(-1,-3) D.x=1,(-2,3) 2 2 解析:由 y=2x +4x-1=2(x+1) -3 得对称轴是 x=-1,顶点是(-1,-3). 答案:C

?|2x+3|, ? 2 2.已知 f(x) =?x , ?x, ?

x∈? -6,-1? , x∈[-1,1], x∈[1,6],
则 f( 2)等于( ).

A.2 2 B.2 C. 2 D.无法确定 解析:∵ 2∈[1,6],∴f( 2)= 2. 答案:C 京翰教育高考补习——专业对高中学生开设高一数学辅导补习班

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3.将函数 y=x -2x 的图像向右平移 2 个单位,再向下平移 1 个单位后所得函数解析 式为( ). 2 2 A.y=x +6x+7 B.y=x -6x+7 2 2 C.y=x +2x-1 D.y=x -2x+1 2 2 解析:所得解析式为 y=(x-2) -2(x-2)-1=x -6x+7. 答案:B 2 2 例 2 已知抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴有两个不同的交点 A(x1,0),B(x2,0)且 x1 26 2 2 +x2= ,试问该抛物线由 y=-3(x-1) 的图像向上平移几个单位得到? 9 分析:利用题设条件,再根据根与系数的关系列方程并解出抛物线方程的系数,之后利 用二次函数图像的平移规律得到答案. 2 2 解:由题意可设所求抛物线的解析式为 y=-3(x-1) +k,展开,得 y=-3x +6x-3 +k, 3-k 由题意得 x1+x2=2,x1x2= , 2 26 2 2 2 所以 x1+x2=(x1+x2) -2x1x2= , 9 2? 3-k? 26 得 4- = . 3 9 4 解得 k= . 3 4 2 所以该抛物线是由 y=-3(x-1) 的图像向上平移 个单位得到的, 它的解析式为 y=- 3 4 5 2 2 3(x-1) + ,即 y=-3x +6x- . 3 3 点评:本题考查利用二次函数的知识解决问题.函数图像的平移会对解析式产生影响, 但函数图像中的某些特征不会产生变化. 我们要抓住变化的关键, 对函数解析式中变化的系 数进行讨论. 变式训练 如果把函数 y= f(x)的图像平移,可以使图像上的点 P(1,0)变成 Q(2,2),则函数 y= f(x)的图像经过此种变换后所对应的函数为( ). A.y=f(x-1)+2 B.y=f(x-1)-2 C.y=f(x+1)+2 D.y=f(x+1)-2 解析:点 P(1,0)变成 Q(2,2)可以看成将点 P(1,0)向右平移一个单位,再向上平移 2 个 单位得到点 Q(2,2),则将函数 y= f(x)的图像向右平移一个单位,再向上平移 2 个单位得 函数 y= f(x-1)+2 的图像. 答案:A 知能训练 2 1.已知二次函数 y=ax +bx+c 的图像的顶点坐标为(2,-1),与 y 轴交点坐标为 (0,11),则( ). A.a=1,b=-4,c=-11 B.a=3,b=12,c=11 C.a=3,b=-6,c=11 D.a=3,b=-12,c=11
2

?-2a=2, ? 解析:由题意得?4ac-b =-1, 4a ?11=c, ?
b
2

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京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班 ?a=3, ? ∴?b=-12, ?c=11. ?
答案:D
?2, ? 2. 设函数 f(x)=? 2 ?x +bx+c, ?

x>0, x≤0.

若 f(-4)=f(0), (-2)=-2, f( x) f 则

的解析式为 f(x)=_ _________,关于 x 的方程 f(x)= x 的解的个数为__________. 解析:∵f(-4)=f(0),f(-2)=-2, 2 ? ?? -4? -4b+c=c, ∴? 2 ? ?? -2? -2b+c=-2. 解得 b=4,c=2,画出函数 y=f(x),y=x 的图像,它们的图像有 3 个交点,故关于 x 的方程 f(x)= x 有 3 个解.
?2, x>0, ? 答案:f(x)=? 2 3 ? x≤0 ?x +4x+2, 3.已知二次函数 f(x)的顶点坐标为(1,-2),且过点(2,4),则 f(x)=__________. 2 解析:设 f(x)=a(x-1) -2,因为过点(2,4), 2 所以有 a(2-1) -2=4,得 a=6. 2 2 所以 f(x)=6(x-1) -2=6x -12x+4. 2 答案:6x -12x+4 拓展提升 2 2 问题:两个二次函数 f(x)=ax +bx+c 与 g (x)=bx +ax+c 的图像只可能是图 6 中的 ).

(

图6 解析:这是一道考查二次函数解析式中 a,b,c 的性质与函数图像特征的相关题目.由 于 f(x),g(x)图像的对称轴方程分别是 x=- ,x=- ,且- 与- 同号,即它们的 2a 2b 2a 2b 对称轴位于 y 轴的同一侧,由此排除 A,B;又由 C,D 中给出的图像可断定它们开口方向相 反,故 ab<0.于是- >0,- >0,即它们的对称 轴都位于 y 轴右侧,排除 C. 2a 2b 答案:D 课堂小结 本节学习了: (1)二次函数的解析式及其求法. (2)变换法画二次函数的图像. 作业 习题 2—4A 组 2、3、4. 设计感想 本节课的教学设计中,主要涉及图像的移动,“形”十分突出,因此教师一定要注意用 好“形”,但是,又不能仅仅满足于对“形”的认识,教材还设置了“抽象概括”,意在从 形出发,然后升华为对一般的数的认识. 备课资料 京翰教育高考补习——专业对高中学生开设高一数学辅导补习班

b

a

b

a

b

a

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函数图像的变换 函数的变换,教材中给出的实际是函数的平移变换,而变换还可以有对称变换、放缩变 换等. 所谓对称变换,是指对于两个函数 y=f(x)和 y=g(x),如果对于定义域内的所有 x 都 有 f(x)=g(-x),那么它们的图像关于 y 轴对称,如果 f(x)=-g(x),那么它们的图像关 于 x 轴对称,如 果 f(x)=-g(-x),那么它们的图像关于原点 O 成中心对称,则称其中一 个函数由另一个函数 经对称变换而得到. 所谓放缩变换,是指对于两个函数 y=f(x)和 y=g(x),如果对于定义域内的所有 x 都 有 f(x)=kg(x),那么函数 y=f(x)的图像由函数 y=g(x)的图像在 y 轴方向上扩大 a 倍, 如果 f(x)= g(kx), 那么函数 y=f(x)的图像由函数 y=g(x)的图像在 x 轴方向上压缩 a 倍, 则称其中一个函数由另一个函数经放缩变换而得到. (设计者 张新军)

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