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第一节 函数及其相关性质



欢迎同学们学习

《高等数学》
杭州师范大学钱江学院

课程介绍
课程名称: 高等数学 课程性质: 公共基础课 学分: ? 周学时:4 总学时: 64 授课教师: 罗道宝 联系手机: 13516870273

一、集合与区间
(一)集合
N —正整数集

>Z —整数集

Q —有理数集
R —实数集

(二)集合的简单运算 (三)区间与邻域

略!

(1) 区间
开区间 (a, b) 闭区间 [a, b] 左开右闭区间 (a, b] 左闭右开区间 [a, b)
无穷区间 (a, ? ?)
[ a, ? ?) (??, b) (??, b] (??, ? ?)

(2) 邻域

定义 设? ? 0, 开区间(a ? ? , a ? ? )称为点 a 的? 邻域, 记作U? (a) ; 开区间 (a ? ? , a) (a, a ? ? ) 称为点 a 的去心? 邻域, 记作U?o (a) 。 其中点 a 叫邻域中心,? 叫邻域半径。
? ? ? ?

a ??

a

a ??

a ??

a

a ??

(四)笛卡尔集
略!

二、函数及其性质
(一)函数概念
定义 设有一非空实数集 D ,如果存在一个对

应法则 f ,使得对于每一个 x ? D, 都有唯一的实数 y 与之对应,则称对应法则 f 是定义在D上的一个函数, 记作y ? f ( x),其中 x 为自变量,y 为因变量,习惯上 称 y 是x 的函数,D称为定义域。

当 x 取遍 D 中的数值时,对应的 y 值构成的 集合M 叫做值域,即 M ? { y | y ? f ( x), x ? D}

说明:
1)函数的定义域不能为空集,如

y ? lg(? x2 ) ,
不能构成函数。

y ? arcsin(2 ? x2 )

2)对应法则 f 应是单值对应,即与x相对应的y 值是唯一确定的。
f D ?? ?M

3)构成函数的二要素:定义域、对应法则。

要判断两个函数是否相同,只要判断定义域与 对应法则是否相同。如

f ( x) ? x 与 g ( x) ? ( x )

2

不相同 不相同 相同

f ( x ) ? x 与 g ( x) ? x

2

f ( x) ? x 与 g ( x) ? x 2

例 1 求函数 y ? arcsin(ln x) ? 1 ? x 的定义域。
解: x 应满足:

??1 ? ln x ? 1 ? ?1 ? x ? 0

? e ?1 ? x ? e ? ?x ? 1

e?1 ? x ? 1
即定义域 D ? [e , 1]
?1

1 求函数 y ? 2 ? x ? 的定义域。 lg(1 ? x)

?2 ? x ? 0 ? x ? ?2 ? ? ? 解:由 ?1 ? x ? 0 ? x ? ?1 ? x ? ?1 且 x ? 0. ?1 ? x ? 1 ?x ? 0 ? ?
? 定义域为 D ? (?1, 0) (0, ? ?).

x 例2 已知 f ( x) ? , 求f [ f ( x)] 。 1? x

x x x 1 ? x ]? ? 解: f [ f ( x)] ? f [ 1? x 1? x 1? 2x 1? x

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例3 已知 f ( x ? 1) ? x ? 3 , 求 f ( x) 。
2

解: 令 x ? 1 ? t, 则 x ? t ? 1.
f (t ) ? (t ? 1)2 ? 3 ? t 2 ? 2t ? 2 即 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 2 .

(二)函数的表示法 1、解析法(即公式法) 2、列表法 3、图形法

高等数学

分段函数是指用两个以上(含两个)的式子 来表示一个函数。 例如

?x x ? 0 y? x ?? ?? x x ? 0
y
0

y? x

x

? 8 ? 例4 设函数 f ( x) ? ?sin x ?5 x ? 1 ?

1? x ? 3 3? x?4 x?4

求 f (? ), f ( ), f (4)及函数的定义域。 2 解: f (? ) ? sin ? ? 0
f ( ) ?8 2 f (4) ? 5 ? 4 ? 1 ? 19

?

?

? [1, ? ?) 定义域 D ? [1, 3) [3, 4) [4, ? ?)

? x2 ? 例5 作出函数 f ( x) ? ?1 ? ? x 的图形。
解:
y
4 3 2 1 -2 -1 0

?2? x?0 0 ? x ?1 1? x ? 4

·
1

2

3

4

x

(三)显函数与隐函数

显函数:y ? f ( x) 隐函数:F ( x, y) ? 0

(四)函数的几种特性

1、 有界性

若存在一个正数M ,使得对于任意的x ? (a, b), 恒有 f ( x) ? M 成立, 则称f ( x)在(a,b)内有界,如果 这样的正数M 不存在,则称f ( x )在(a,b)内无界。

例如 y ? sin x在(??, ? ?)内有界,这是因为 在(??, ? ?)内 sinx ? 1恒成立。

1 又如 y ? 在 [1, 2] 内有界, x

在[1, ? ?) 内有界,
在(0, 1 ) 内无界。
y

1
1 2

0

1

2

x

有界性依赖于区间,并且M不唯一。
y ? f ( x)在(a, b) 内有界的几何意义是:

y ? f ( x)在(a, b) 内的图形被限制在两平行线 y ? ? M 之间。
y M

y=f (x)

a

0 -M

b

x

2、 单调性

设函数f ( x)在(a,b)内有定义,如果对于区间 (a,b)内的任意两点x1 , x2 . (1)当x1 ? x2时,有f ( x1 ) ? f ( x2 ), 则称f ( x)在(a, b) 内单调增加; (2)当x1 ? x2时,有f ( x1 ) ? f ( x2 ), 则称f ( x)在(a, b) 内单调减少。 (a,b)称为单调区间。

3、 奇偶性

设f ( x)是定义在D上的函数。若对于任意的 x ? D,都有f (? x) ? f ( x), 则称f ( x)为偶函数;若 都有f (? x) ? ? f ( x), 则称f ( x)为奇函数。
由定义不难看出: 奇函数与偶函数的定义域必定关于坐标原点对称。 偶函数的图形关于y 轴对称, 奇函数的图形关于原点对称。

例6 判断函数
解:

y ? x sin x的奇偶性。

f (? x) ? (? x)sin(? x) ? x sin x ? f ( x)

? f ( x)为偶函数。

例7 判断函数 y ? ln( x ? x ? 1) 的奇偶性。
2

解:

f (? x) ? ln[(? x) ? (? x) 2 ? 1]
? ln( x2 ? 1 ? x)
? ln ( x 2 ? 1 ? x)( x 2 ? 1 ? x) x ?1 ? x
2

? ln

1 x2 ? 1 ? x

? ln( x ? x2 ? 1)?1 ? ? ln( x ? x2 ? 1) ? ? f ( x)
? y ? ln( x ? x2 ? 1) 为奇函数。

4、 周期性
设函数f ( x)的定义域为D,如果存在正数T, 使得对于任意的x ? D, 恒有f ( x ? T ) ? f ( x) 成立, 则称f ( x)是以T 为周期的周期函数。 通常周期指最小正周期。

注意:并非所有的周期函数都有最小正周期, 如 y ? c (c为常数) 是周期函数,但不存在最小正 周期。

5、 反函数
定义 设函数y ? f ( x)的定义域为D,值域为M , 如果对于任意的y ? M , 都有唯一的x ? D与之对应, 并使得y ? f ( x)成立。则得到一个以y为自变量,x为 因变量的新函数,称此新函数为原函数y ? f ( x)的反 函数,记作 x ? ? ( y ) 。

由于习惯上用 x 表示自变量,y表示因变量,所 以y ? f ( x)的反函数可表示为 y ? ? ( x)

原函数 y ? f ( x)
定义域
值域

反函数 y ? ? ( x)

D
M

M

D

例8 求函数 y ? 1+ln x 的反函数。 解: 由 y ? 1 ? ln x 得 ln x ? y ? 1 , 即 x ? e y ?1 。

? 反函数为:y ? e x?1 。

三、初等函数
(一)基本初等函数函数 基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函 数、对数函数、三角函数、反三角函数共六大类。 (1)常数函数

y ? c ( x ? R)
(? ? R)
x

(2)幂函数 (3)指数函数

y ? x?
y?a

(a ? 0, a ? 1)

x ? R , y ? (0, ? ?) 。

(4) 对数函数y ? log a x (a ? 0, a ? 1) x ? (0, ? ?) , y ? (??, ? ?) 。

(5) 三角函数 y ? sin x, y ? cos x, y ? tan x,
y ? cot x, y ? sec x, y ? csc x.

其中

1 y ? sec x ? , cos x

1 y ? csc x ? . sin x

(6) 反三角函数 y ? arcsin x, y ? arctan x,

y ? arccos x, y ? arc cot x.

(二)函数的四则运算
略!

(三)复合函数
定义 设函数y ? f (u )的定义域为D f , 函数u ? ? ( x) 的值域为M ?,若D f M ? ? ? , 则y通过u成为x的函数, 称此函数为y ? f (u )与u ? ? ( x)复合而成的复合函数, 记作y ? f [? ( x)], 其中u称为中间变量。

如y ? u , 与 u ? 1 ? x2 可复合成 y ? 1 ? x 2 。

注意: 并不是任意两个函数都可以构成复合函数。

如y ? arcsin u 与 u ? 2 ? x2就不能构成复合函数。
因为 Df M? ? [?1,1] [2, ? ?) ? ?.

复合函数的复合过程可以不止一次,

如 y ? ln u, u ? 4 ? v2 , v ? cos x 可复合成:
2 ? ln(4 ? cos x) y ? ln(4 ? v )

2

例9 指出下列函数由哪几个简单函数复合而成: (1) y ? sin 2 x (2) y ? cos 2 x (3) y ? 2sin 1 ? x 2

解:(1) y ? sin 2x 是由y ? sin u, u ? 2x 复合而成。

(2) y ? cos2 x 是由y ? u 2 , u ? cos x 复合而成。
(3) y ? 2sin 1 ? x 2 是由y ? 2sin u , u ? v , v ? 1 ? x 2复合而成。

例10 分析函数y ? tan5 3 ln arcsin x 的复合结构。
解:原式由 y ? u 5 , u ? tan v, v ?
3

w , w ? ln t,

t ? arcsin x 复合而成。

分析下列函数的复合结构,指出它们是由哪些 简单函数复合而成的。
(1) y ? sin 1 ? x2 (2) y ? (1 ? sin 2 x) 4 (3) y ? lg 3 arcsin x 2

解:(1) y ? sin u, u ? v , v ? 1? x2。

(2) y ? u 4 , u ? 1 ? v2 , v ? sin x。

(3) y ? u , u ? lg v, v ? arcsin t, t ? x 。
3 2

(四)初等函数 定义 由基本初等函数经过有限次的四则运算和 有限次的复合运算所得到的函数,称为初等函数。
1 如 y ? x ln x, y ? a , y ? arccos 等都是初等函数。 x
x2

但分段函数一般不是初等函数。



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