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高一三角函数《4[1].8正弦函数、余弦函数的图像和性质》教案



4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质 教学目标 1.会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数的图像, 并在此基础 上由诱导公式画出余弦函数的图像; 2.了解周期函数与最小正周期的意义,会求 y=Asin(ω x+ψ )的 周期,了解奇偶函数的意义,能判断函数的奇偶性; 3.通过正弦、余弦函数图像理解正弦函数、余弦函数的性质,培 养学生的数形结合的能力; 4.简化正弦、余弦函数的绘制

过程,会用“五点法”画出正弦函 数、余弦函数和函数 y=Asin(ω x+ψ )的简图; 5.通过本节的学习培养学生的化归能力、转化思想. 教学建议 知识结构:

1

重点与难点分析: 本节重点是正弦函数、余弦函数的图像形状及其主要性质(定义 域、值域、最值、周期性、奇偶性、单调性).正弦、余弦函数在实 际生活中应用十分广泛,函数的图像和性质是应用的重要基础,也是 解决三角函数的综合问题的基础, 它能较好的综合三角变换的所有内 容,可进一步深入研究其它函数的相关性质.函数图像可以直观的反 映函数的性质,因此首先要掌握好函数图像形状特点,使学生将数、 形结合对照掌握这两个函数. 本节难点是利用正弦线画出函数 的图像,利用 正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线, 周期函数与最小正周期意义的理 解. 利用几何法画函数图像学生第一次接触, 要先复习正弦线的做法, 另外注意讲清正弦线平移后在 x 轴上对应的角. 通过诱导公式可以将 正弦、余弦函数建立起关系,利用诱导公式时先将 为了 只需要平移就可得到余弦函数.周期函数包含的内容较多,可以先让 学生通过正弦、余弦函数图像直观上了解,再通过定义严格说明,定 义中 x 的任意性可与奇偶性的定义对比讲解,周期、最小正周期的概 念很抽象,学生理解有些困难,最好将定义分解讲解. 教法建议: 1.讲三角函数图象时,由于描点法学生比较熟悉,可以先让学 生自己作图,然后介绍几何法,这样既可以让学生对正弦函数图像大

2

致形状有所了解,为后面“五点法”作图奠定基础,又可将两种方法 加以对比. 2.用几何法作函数 的图像前,首先复习函数线 的作法,说明单位圆上的角与 x 轴上数值的对应关系,作图过程要力 求准确,以便学生正确认识曲线的建立过程.此处最好借助多媒体课 件演示,表现的既准确又节省时间.得到函数 的图 像,利用诱导公式或利用三角函数线,把图象沿着 x 轴向右和向左连 续地平行移动,每次移动的距离为 2π (即一个最小正周期),即可得 到函数 y=sinx,x∈R 的图像.余弦函数的图像可以利用诱导公式将 余弦与正弦建立联系,但要将 x 前面的系数保证为正,这样只需要平 移即可得到余弦函数的图像. 余弦函数的图像的几何作法可让学生课 后自己去探索. 3.“五点法”作图在三角函数中应用较为广泛,让学生观察函 数 的图像,有五个点在确定图象形状时起着关键的 作用,即最高点,最低点以及与 x 轴的交点,因为只要这五个点描出 后,图象的形状就基本确定了.因此在精确度要求不太高时,常采用 先描出这五个点来作函数简图的方法. 适当增加些练习使学生熟练掌 握这种方法. 4.对于函数的周期性,先通过正弦、余弦函数图像的重复出现 的特点,让学生对周期有直观的认识,周期函数的定义也可叙述为: 当函数对于自变量的一切值每增加或减少一个定值(定值可以有很多 个)、函数值就重复出现时,这个函数就叫做周期函数.然后再给出 严格定义.将定义的分解讲解,使学生理解定义包含的要素,关键词 语,如“如果存在”说明不是所有函数都有周期,“T”要满足“非 零”和“常数”两个条件,当 x 取定义域内的每一个值时”这一提法, 这里要特别注意“每一个值”四个字.如果函数 f(x)不是当 x 取定 义域内的“每一个值”时,都有 f(x+T)=f(x),那么 T 就不是 f(x) 的周期.例如 ,但是 ,就是说 不

能对于 x 在定义域内的每一个值都有 ,因此 不是 的周期.最小正周期可让学生按上述分析方法进行分析.另外 可把三角函数和奇函数、偶函数象下面这样对比着进行讲解,对学生 理解和掌握周期函数概念将是有益的: 如果函数 f(x)对于定义域里的每一个值,都有
3

(1)f(-x)=f(x),那么 f(x)叫做偶函数; (2)f(-x)=-f(x),那么 f(x)叫做奇函数; (3)f(x+T)=f(x),其中 T 是不为零的常数,那么 f(x)叫做周期 函数. 对 函数的周期,要让学生从周期定义上理解:周 期是指能使函数值重复出现的自变量 x 要加上的那个数, 这个数是针 对 x 而言的, 如果对 2x 而言, 而每增加 2π , sin2x 的值就重复出现; 但对自变量 x 而言, 每增加π , sin2x 的值就能重复出现, 因此 sin2x 的周期是π .如果不设辅助未知数,本例的解答可写为: f(x)=sin2x=sin(2x+2π )=sin2(x+π )=f(x+π ), 即 f(x)中的 x 以 x+π 代替,函数值不变,所以 sin2x 的周期为 π .由此可知,三角函数的周期与自变量 x 的系数有关. 5.让学生通过函数图像总结归纳函数的性质定义域、值域、极 值、符号、周期性、奇偶性、单调性等,最好以表格的形式将正弦、 余弦函数的性质对比得出,使学生在函数图像和性质建立对应关系, 这对学生进一步掌握函数 y=sinx,y=cosx 的性质有很大帮助.因此 应要求学生首先要熟悉正弦曲线和余弦曲线. 6.要注意数学语言和数学方法的训练,如“必须并且只需”, 正弦函数在每一个闭区间 值从-1 增大到 1 等. 教学设计示例 4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质(第一课时) 上都是增函数,其

(一)教学具准备 直尺、圆规、投影仪. (二)教学目标 1.了解作正、余弦函数图像的四种常见方法.

4

2.掌握五点作图法,并会用此方法作出 正弦曲线、余弦曲线.

上的

3.会作正弦曲线的图像并由此获得余弦曲线图像. (三)教学过程(可用课件辅助教学) 1.设置情境 引进弧度制以后, 就可以看做是定义域为 的 实变量函数.作为函数,我们首先要关注其图像特征.本节课我们一 起来学习作正、余弦函数图像的方法. 2.探索研究 (1)复习正弦线、余弦线的概念 前面我们已经学习过三角函数线的概念及作法, 请同学们回忆一 下什么叫正弦线?什么叫余弦线?(师画图 1) 设任意角 的终边与单位圆相交于点 , 过点作 轴的垂 线,垂足为 ,则有向线段 叫做角 的正弦线,有向线段 叫做角 的余弦线. (2)在直角坐标系中如何作点 由单位圆中的正弦线知识,我们只要已知一个角 的大小,就 能用几何方法作出对应的正弦值 的大小来, 请同学们思考一下, 如何用几何方法在直角坐标系中作出点 教师引导学生用图 2 的方法画出点 . ?

我们能否借助上面作点 的方法在直角坐标系中作出正弦函数 , 的图像呢?

5

①用几何方法作



的图像

我们知道,作函数的图像的步骤是:列表、描点、连结;如果我 们用列表法得出各点的坐标, 就会因各点的纵坐标都是查三角函数表 得到的数值不够精确,使得描点后画出的图像误差也大,为克服这一 不足,我们用前面作点 精确度有了提高. 的几何方法来描点,从而使图像的

(边画图边讲解),我们先作 分为如下五个步骤: a.作直角坐标系,并在直角坐标系中



上的图像,具体

轴左侧画单位圆.

b.把单位圆分成 12 等份(等份越多,画出的图像越精确).过 单位圆上的各分点作 ,?, 轴的垂线,可以得到对应于 0, , ,

角的正弦线.

c.找横坐标:把 等分.

轴上从 0 到



)这一段分成 12

d.找纵坐标:将正弦线对应平移,即可指出相应 12 个点.
6

e.连线:用平滑的曲线将 12 个点依次从左到右连接起来,即得 , ②作正弦曲线 的图像. , 的图像. , 的 ,

图为终边相同的角的三角函数值相等,所以函数 , 且 的图像与函数 , 图像的形状完全一样, 只是位置不同, 于是我们只要将函数

的图像向左、右平移(每次 个单位长度),就可以得到 正弦函数数 , 的图像,如图 1.

正弦函数 ③五点法作

, ,

的图像叫做正弦曲线. 的简图 , 的图像时,我们描述了 12 轴的交点

师:在作正弦函数

个点,但其中起关键作用的是函数 , 与 及最高点和最低点这五个点,你能依次它们的坐标吗?

生:(0,0),







师:事实上,只要指出这五个点, , 的图像的 形状就基本确定了,以后我们常先找出这五个关键点,然后用光滑的 曲线将它们连结起来,就得到函数的简图,这种作图的方法称为“五 点法”作图. ④用变换法作余弦函数 , 的图像

7

因为 与 弦曲线向左平移

,所以



是同一个函数,即余弦函数的图像可以通过正 个长度单位角得到,余弦函数的图像叫做余弦曲 , 的图像上,

线,如图 2,师:请同学们说出在函数 起关键作用的五个点的坐标.

生:(0,1), 3.例题分析







【例 1】画出下列函数的简图: (1) (2) , , ; .

解:(1)按五个关键点列表 0 0 1 利用五点法作出简图 3 1 2 0 1 -1 0 0 1

8

师:请说出函数 生: 函数 , 图像向上平移 1 个单位得到. (2)按五个关键点列表



的图像之间有何联系? 的图像可由 , 的

0

1

0

-1

0

1

-1

0

1

0

-1

利用五点法作出简图 4

师: 系?







的图像有何联

生:它们的图像关于

轴对称.
9

练习: (1)说出 (2)说出 , , 的单调区间; 的奇偶性.

参考答案: (1) 由 为其单调递增区间, (2)由 4.总结提炼 ,



图像知、



为其单调递减区间 图像知 是偶函数.

(1)本课介绍了四种作 , 图像的方法,其中五 点作图法最常用,要牢记五个关键点的选取特点. (2)用平移诱变法,由 这不是新问题,在函 数一章学习平移作图时,就使用过,请同学们作比较.应该说明的是 由 平移量是不惟一的,方向也可左可右. 5.演练反馈,(投影) (1)在同一直角坐标系下,用五点法分别作出下列函数的图像







, 的区间.

(2)观察正弦曲线和余弦曲线,写出满足下列条件的 ① , ② , ③ , ④

(3)画出下列函数的简图 ① ③ 参考答案: , , ② ,

10

(1) (2)① , , ② 、 ,





(3)

(五)板书设计 课题 1.正、余弦函数线 2.作点 3.作 的图像 4.五点法作正弦函数图 像 (1) , 6.五点法作余弦函数 总结提炼 图像 7.例题 5.变换法作 的图像

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(2) 演练反馈 教学设计示例 4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质(第二课时)

(一)教学具准备 直尺,投影仪. (二)教学目标 1.掌握 2.会求含有 (三)教学过程 1.设置情境 研究函数就是要讨论一些性质, , 是函数,我 们当然也要探讨它的一些属性.本节课,我们就来研究正弦函数、余 弦函数的最基本的两条性质. 2.探索研究 师:同学们回想一下,研究一个函数常要研究它的哪些性质? 生:定义域、值域,单调性、奇偶性、等等. 师:很好,今天我们就来探索 , 两条最基本的 性质——定义域、值域. (板书课题正、余弦函数的定义域、值域.) 师:请同学看投影,大家仔细观察一下正弦、余弦曲线的图像. 师:请同学思考以下几个问题: (1)正弦、余弦函数的定义域是什么?
12

, 、

的定义域、值域、最值、单调区间. 的三角式的定义域.

(2)正弦、余弦函数的值域是什么?

(3)他们最值情况如何? (4)他们的正负值区间如何分? (5) 的解集如何?

师生一起归纳得出: (1)正弦函数、余弦函数的定义域都是 (2) 正弦函数、 余弦函数的值域都是 称为正弦函数、余弦函数的有界性. (3)取最大值、最小值情况: 正弦函数 大值 1,当 余弦函数 大值 1,当 ,当 时,( ,当 ,( 时,( )函数值 ,( )函数值 取最小值-1. )时,函数值 取最 取最 即 . , ,

)时,函数值

取最小值-1.

(4)正负值区间:

13

( (5)零点: ( ( 3.例题分析 【例 1】求下列函数的定义域、值域: (1) 解:(1) (2)由 又∵ ∴定义域为 (3)由 ∴ ∴定义域为 ( ),值域为 或 . ,∴ ( ),值域为 ( . ; (2) , ( ) ; (3) ) )





),又由

指出:求值域应注意用到

有界性的条件. 的集合: ;

【例 2】求下列函数的最大值,并求出最大值时 (1) (3) 解: (1) 当 , 即 , ; (2) (4) (
14

, .

) 时, 取得最大值

∴函数的最大值为 2,取最大值时 (2)当 取得最大值 时,即 .

的集合为 ( )时,



∴函数的最大值为 1,取最大值时 . (3)若 若 时, , ∴ ,

的集合为

,此时函数为常数函数. 时,即 ( )时,

函数取最大值 ∴

时函数的最大值为 .

,取最大值时

的集合为

(4)若 若 若 ∴当 为 大值时 ,则 ,当

,则当

时,函数取得最大值



,此时函数为常数函数. 时,函数取得最大值 . 的集合 ,取得最

时,函数取得最大值 ;当 的集合为

,取得最大值时

时,函数取得最大值 , 当

时, 函数无最大值. 或 的

指出:对于含参数的最大值或最小值问题,要对 系数进行讨论. 思考:此例若改为求最小值,结果如何? 【例 3】要使下列各式有意义应满足什么条件?

15

(1)



(2 )



解:(1)由 ∴当 (2)由 时,式子有意义.



, 即 ∴当 时,式子有意义.

4.演练反馈(投影) (1)函数 , 的简图是( )

(2)函数 A.2,-2 (3)函数 A. (4)如果 应为( )

的最大值和最小值分别为( B.4,0 C.2,0 的最小值是( B.-2 与 C. 同时有意义,则 )

) D.4,-4

D. 的取值范围

16

A. 或 (5) 与

B.

C.

D.

都是增函数的区间是(



A.



B.



C.



D.



(6) 函数 的定义域________, 值域________, 时 的集合为_________. 参考答案:1.B 2.B 3.A 4.C 5.D

6. 5.总结提炼 (1) (2) , 、





的定义域均为 的值域都是



(3)有界性: (4)最大值或最小值都存在,且取得极值的 (5)正负敬意及零点,从图上一目了然. (6)单调区间也可以从图上看出. (五)板书设计 1.定义域 例2 集合为无限集.

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2.值域 3.最值 4.正负区间 5.零点 例1 课后思考题: 求函数 值时的 集合 提示: 教学设计示例 4.8

例3 课堂练习

的最大值和最小值及取最

正弦函数、余弦函数的图像和性质(第三课时)

(一)教学具准备 直尺、投影仪. (二)教学目标 1.理解 , 的周期性概念,会求周期. 的周期为 的一般格式.

2.初步掌握用定义证明 (三)教学过程 1.设置情境

自然界里存在着许多周而复始的现象,如地球的自转和公转,物 理学中的单摆运动和弹簧振动、圆周运动等.数学里从正弦函数、余 弦函数的定义可知,角 的终边每转一周又会与原来的位置重合, 故 , 的值也具有周而复始的变化规律.为定量描述这种周
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而复始的变化规律,今天,我们来学习一个新的数学概念——函数的 周期性(板书课题) 2.探索研究 (1)周期函数的定义 引导学生观察下列图表及正弦曲线

0

0

1

0

-1

0

1

0

-1

0

正弦函数值当自变量增加或减少一定的值时,函数值就重复出 现. 联想诱导公式 ,若令 则

,由这个例子,我们可以归纳出周期函数的定义: 对于函数 ,如果存在一个非零常数 ,使得当 取定义域

内的每一个值时,都有 ,那么函数 非零常数 叫做这个函数的周期. 如 , ,?及 ,

叫做周期函数,

?都是正弦函数的周期.

注意:周期函数定义中 有两点须重视,一是 是 常数且不为零;二是等式必须对定义域中的每一个值时都成立.

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师:请同学们思考下列问题:①对于函数 能否说 生:不能说 是正弦函数

, 的周期.



是正弦函数

的周期,这个等式虽成立,但 成立, 所以不符合

不是对定义域的每一个值都使等式 周期函数的定义. ② 是周期函数吗?为什么 ,使

生:若是周期函数,则有非零常数 , 化简得 是常数),故满足非零常数 思考题: 若 为 的周期.(课外思考) , ∴

,即 (不 不是周期函数. , 也是

(不非零) , 或

不存在,因而

的周期, 则对于非零整数

(2)最小正周期的定义 师:我们知道?, 周期,可以证明 是 ( , 且 , )是 , ?都是正弦函数的 的周期,其中

的最小正周期. 一般地,对于一个周期函数 ,如果在它所有的周期中存在 的最小正周期.

一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做

今后若涉及的周期,如果不加特别说明,一般都是指函数的最小 正周期. 依据定义, (3)例题分析 【例 1】求下列函数的周期: (1) , ; (2) , ; 和 的最小正周期为 .

20

(3)



. ,使 .

分析:由周期函数的定义,即找非零常数

解:(1)因为余弦函数的周期是 ,所以自变量 只要并且 至少要增加到 ,余弦函数的值才能重复取得,函数 , 的值也才能重复取得,从而函数 , 的周期是 . 即 (2) 令 的周期是 函数 以自变量 而函数 即 ∴ (3)令 , ,那么 的周期是 ,所以自变量 才能重复取得,即 必须并且只需 ,由于 只要并且至少要增加到 ,函数值 ,且函数 ,∴ , 那么 必须并且只需 , 且函数 ,就是说,变量 只要并且至少要增加到 , ,

, 的值才能重复取得, 而 所 只要并且至少要增加到 ,函数值就能重复取得,从 , 的周期是 .

是能使等式 , 的周期是 .

成立的最小正数,从而函数





21

师:从上例可以看出,这些函数的周期仅与自变量 关,其规律如何?你能否求出函数 , 的周期? (其中 , , , 为常数, 且

的系数有 及函数 , )

生:



. 的周期 .

同理可求得 【例 2】求证: (1) (2) (3)

的周期为 的周期为 的周期为

; ; . 证明.

分析:依据周期函数定义 证明:(1)



的周期为



(2)

22



的周期为



(3)



的周期为



3.演练反馈(投影)

(1)函数 A. B.

的最小正周期为( C. D.



(2)

的周期是_________

(3)求 参考答案:

的最小正周期.

(1)C;(2)



(3) 欲求 成易求周期的函数

的周期, 一般是把三角函数 或



的形式,然

后用公式 求最小正周期,而化得的一般思路是“多个化一个, 高次化一次”,将所给函数化成单角单函数.



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4.总结提炼 (1)三角函数所特有的性质是周期性,周期与最小正周期是不 同概念,研究三角函数的周期时,如未特别声明,一般是指它的最小 正周期. (2)设 为无限集,② (3)只有 可用公式 说它的周期为 (四)板书设计 课题 1.周期函数定义 的周期 两点注意: 思考问题① 练习反馈 ② 2.最小正周期定义 例1 总结提炼 的周期 例2 , .若 ;③ 或 为 的周期,则必有:① 在 上恒成立.

型的三角函数周期才 ,就不能

,不具有此形式,不能套用.如 .

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思考题: 设 且是偶函数,当

是定义在 时,

上的以 2 为周期的周期函数, ,求 上的表达式

参考答案: 典型例题 例 1.求函数 的定义域.

分析: 要求 , 即 , 因为正弦函数具有周期性, 所以只需先根据正弦曲线在一个周期上找出适合条件区间, 然后两边 加 . 解:由题意 即 . ,

在一周期

上符合条件的角为



∴定义域为



小结:解题时注意结合正弦曲线,而由于正弦函数的周期性,只 需先在一个周期上求范围,这个周期的长度为 ,并非一定取 ,而应该是否得到一个完整区间为标准,如本题若在 求范围则分为两段 一段. 例 2.求函数 和 ,不如在 上

上是完整的

的定义域。

分析:上述函数从形式上看是一个较为复杂的复合函数,它是由 三角函数、 二次函数、 对数函数复合而成。 求定义域时, 应分清脉络, 逐一分析,综合得出结论。

25

解:欲求函数定义域,则由



也即

解得 取 、0、1,可分别得到







即所求的定义域为 小结: 在解本题时, 容易出现的失误是, 由

。 , 得



; 或在解不等式组 或 等。

时出现错

误,如得出函数的定义域为

解类似本例的问题, 其关键在于求出两个或更多个不等式的公共 解。 而求公共解, 如能借助于图形, 由数形结合, 往往可以事半功倍。 具体方法一般可借助于数轴、单位圆或三角函数的图像来完成。如图 甲、乙所示。

例 3.求下列函数的值域:
26

(1) (3)



(2) ; (4)

; .

分析:(1)先利用降幂公式,将其化为一个角的一个三角函数 式,再根据三角函数性质求其值域;(2)可利用降幂公式,倍角公 式,差角公式,化为一个角的一个三角函数其值域;(3)利用配方 法,并结合二次函数、正弦函数的性质求解;(4)从反函数观点出 发,借助于余弦函数的有界性求解. 解:(1) ∵ ,∴ . .

将其利用降幂公式化为一个角的一个三角函数形式, 然后利用三 角函数的性质求值域. (2)









利用了降幂公式和倍角公式, 将其化为一个角的一个三角函数的 形式.

(3) 将其看做关于

. 的二次函数,注意到
27



∴当 当

时, 时, ,





. 的取值范围.

本题结合了二次函数求极值,但应注意

(4)由原式得



∵ ∴ 或

,∴ .



值域为



小结: 配方法、化一法、逆求法、有界性法等,是求三角函数 值域常用的几种方法. 相信你会从此题的求解过程中, 领悟到这一点. 例 4.求函数 的单调减区间.

分析:容易想到将函数转化为 ,进而转化为 .

,换元令

解: 令 ,则 .



由正弦函数的单调性,知

28

当 即 ∴ (

( (

)时,函数递减, ),

).

∴函数的单调减区间是



).

小结: 本题通过换元, 将函数 充分体现了转化的数学思想. 例 5.作函数 的图像。

化为



分析:首先将函数的解析式变形,化为最简形式,然后作函数的 图像。 解:当 ,即 时,有 。其图像如图, ,即

小结:函数 的图像即是 因此作出 的图像后,要把 例 6.已知 求 。

的图像, 的这些点去掉。 ,

,(a、b 为常数),且

分析:要求函数值,需知函数解析式,因含 a、b 两个参数,一 个条件 难确定。深入分析 与 的内在联系,应向函 数奇偶性联想。注意到 为奇函数,问题自可获解。

29

解: 因为 ,所以 为奇函数,所以 , 所以 。

小结:(1)判断函数奇偶性时应注意“定义域关 于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件”的应用。 (2)函数奇偶性的确定,可使研究问题的条件增加,从而使问 题难度变小,尤其是自变量互为相反数时的函数值关系问题,可考虑 奇偶性的应用。 扩展资料 一剪刀剪出一条正弦曲线 把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上,卷上几圈.用剪刀斜着将纸筒 剪断,再把卷着的纸展开,你就会看到:纸的边缘线是一条波浪形的 曲线. 你知道吗?这条曲线就是正弦曲线!下面就来证明这一事实. 如图 1,设纸筒底面半径为 1 单位长,截面(椭圆面) 与底面所成的二面角为 (定值),截口的中心为 . 作圆柱的直截面,交截口曲线于两点.取其中一 点为 , 在过点 且与圆柱侧面相切的平面内, 以点 为 坐标原点建立直角坐标系,使得 轴是圆柱的一条母线. 设点 是截口曲线上任意一点,点 是点 在⊙ 所在平面 内的射影,过 作 ,垂足为 ,连接 ,则 是 截面与底面所成二面角的平面角,所以, ,又设 (变量). 在图 2 中,设 和纵坐标. 点坐标为 ,以下分别计算 点的横坐标 过


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而在



中,

,所以 nbsp; ②

将①代入②,且令

(定值),则有

这就证明了截口曲线是一条正弦曲线. (原载《数学通讯》2000 年第 10 期 王方汉 文) 探究活动 试问方程 是否有实数解?若有, 请求出实数解的个数; 若没有,请说明理由. 分析:可借助函数 和 的图像,通过判断图像是 否有交点来判定方程是否有实数解.如有交点,可通过讨论交点数来 获得实数解的个数. 解:设 为 R,所以 解,于是 上研究 ,因为 ,且 的定义域 是奇函数,且 ,所以 是 =0 的一个 =0 的实数解存在且除 外是成对出现的.在 和 图像交点的情况(参考图) ,且 =0 无解. 是增函数,而 ,所

因为 以当 x≥100 时,方程 又

,从图像中可得知直线 与曲线 在 中从 0 开始每相隔 会有两个交点,所以,当 x≥0 时共 有 32 个交点,则当 x>0 时有 31 个交点. 故原方程有 31×2+1=63 个解. 习题精选

31

一、选择题 1.函数 的大致图像是( )

2.下列叙述中正确的个数为(



①作正弦、余弦函数图像时,单位圆的半径长与 x 轴上的单位可 以不一致。 ② ③ 的图像关于点 的图像关于直线 成中心对称图形。 成轴对称图形。 的图像不超出两直线

④正弦、余弦函数 所夹的范围。 A.1 3.使 B.2 C.3 D.4

成立的 x 的一个区间是( )

A. 4.函数 A. 5.若 B.

B.

C. 的最小正周期是( ) C. D. 的奇函数,则
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D.

是周期为

可以是( )

A. 6.函数 A.奇函数 函数

B.

C. 是( )

D.

B.偶函数

C.既奇且偶函数

D.非奇非偶

7.若函数 的图像和直线 的平面图形,则这个封闭图形的面积为( ) A.4 8.如果 B.8 C. ,则函数 D.

围成一个封闭

的定义域为(



A. 9. A.

B.

C. 的值域是( )

D.

B.

C. 、 、 的函数的个数为( C.3 个

D. 、 ) D.4 个

10.在函数 中,最小正周期为 A.1 个

B.2 个

11.已知函数 (其中 ),当自变量 x 在 任何两个整数之间(包括整数本身)变化时,至少会有一个周期,则 最小的正整数 k 是( ) A.60 12.若 A. 二、填空题
33

B.61

C.62

D.63 的值域是( ) C. D.

,则函数 B.

13.函数

的最小正周期是



14.函数 15.若 。 为奇函数,且

的增区间是 时,

。 ,则 时,

16.函数 为 。 三、解答题

的最大值为

,最小值

17.求函数 18.已知函数 求函数 的值域。

的定义域。 的最大值为 5,最小值为 1。

19.求函数

的最大值及此时 x 的值。

20. 设 21.已知函数 (1)求出它的定义域和值域; (3)判定它的奇偶性; 参考答案: 一、选择题 1.B 2.C 3.A 11.D 12.B 。

, 试比较 A 与 B 的大小。

(2)指出它的单调区间;

(4)求出它的周期。

4.D 5.B 6.D 7.D 8.C 9.D 10.C

34

二、填空题

13. 15. 三、解答题

14. 16. ,



17.要使函数有定义,就必须有:



∴ ∴ 或 , .

故函数的定义域是



18.由题设知 . 故当







时,该函数有最大值



35

当 [1,9].

时该函数有最小值为

.∴所求函数的值域为

19.令 , 而函数 ∴当 . ,即



,则



上是增函数. 时, 取最大值为 1,此时 ,

20.由 ∴ 即

得 , ,即 ,

.又



. 复合而成的函数.

21.(1)这是由

它的定义域应满足: , ( ),

,即



故定义域为



又 根据 故函数值域为 , .

,∴ 是减函数,∴

, ,

36

(2) 图像向右平移 ( 而得到的,而 ),递减区间是

,它的图像是由 的单调递增区间是 ( ),



所以 ( ),

的单调递增区间是

递减区间是



),又因为



是减函数,所以原函数的单

递减区间是



递减区间是

( ,所以应将此值舍去).

),(注意

时,

(3)由于定义域不关于原点对称,所以此函数既不是奇函数, 也不是偶函数. (4)由于 的周期为 . 的周期为 (根据其图像判断) ,故原函数

37



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