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福建省宁德市部分一级达标中学2015-2016学年高二上学期期中联合考试数学文试题



2015-2016 学年宁德市部分一级达标中学第一学期期中联合考试

高二数学试卷(文科)
考试时间 : 120 分钟 命题、审核人:兰诗全 张沪博 陈长帮 周玲芬 刘荣坤 杨恩彬 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分.考试时间 120 分 钟.

第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选

择题:本小题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.不等式 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 A. [ ? 1 , 3 ] B. [?3, ?1] C. [?3,1] D. [1, 3]

2.若 a ? b, c ? d ,则下列不等式成立的是

a b B. ac ? bd C. a 2 ? c 2 ? b 2 ? d 2 D. a ? c ? b ? d ? c d 3.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? 7 ? a2 ,则 S4 的值为 A.15 B.14 C.13 D.12 ? ? 4.在 ?ABC 中, c ? 1, A ? , C ? ,则 a 等于 4 3 2 3 2 6 A. B. C. D. 3 3 2 3
A.
? x ? 2 y ? 2, ? 5.已知变量 x, y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4, 则目标函数 z ? 3x ? y 的最大值 ? y ? 2, ?

A. 6

B.

3 2

C. ? 1

D. ?

3 2

6.已知正项等比数列 {an } ,且 a2 a10 ? 2a52 , a3 =1 ,则 a 4 = A.

1 2

B.

2 2

C.

2

D.2 该 知 3分 为

7.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120° 的扇形 AOB,C 是 小区的一个出入口,且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已 某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟,从 D 沿着 DC 走到 C 用了 钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米,则该扇形的半径的长度 A. 50 5 B. 50 7 C. 50 11 D. 50 19

8.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .若角 A, B, C 成等差数列,边 a, b, c 成等比数列,则 sin A ? sin C 的值为 A.
3 4

B.

3 4

C.

1 2

D.

1 4

9.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a1 ? 9 , S5 ? 35 ,则使 Sn 取最大值时的 n 的值为

A.8

B.10

C.9 或 10

D.8 或 9

1 1 ? ? 1 ,则 a ? 4b 的最小值为 a b A.4 B. 9 C. 10 D. 12 ? b ? 2 ? B ? 45 11.在 ?ABC 中, a ? x , .若该三角形有两个解,则 x 的取值范围是
10.已知 a ? 0, b ? 0 ,且 A. x ? 2 B. 0 ? x ? 2 C. 2 ? x ? 2 2 D. 2 ? x ? 2 3

12.数列 {an } 满足 a1 =1 ,且对任意的 m, n ? N* 都有 am? n ? am ? an ? mn ,则
1 1 1 ? ??? 等于 a1 a2 a20

40 A. 21

20 B. 21

C.

19 10

D.

20 19

第 II 卷

(非选择题共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 13.不等式

x ?3 ? 0 的解集是________. x?2

14.已知数列 {an } 的通项公式为 an ? (?1)n (2n ? 1) ,则 a1 ? a2 ? ? ? a10 ? ________. 15.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an +1 ? an ? 3 ,则数列 {an } 的通项公式为 an ? _______. 16.如图,在四边形 ABCD 中, AD ? 4 , AB ? 5 , AD ? CD ,
9 cos ?ADB ? , ?DCB ? 135? ,则 BC ? 16
D C



A

B

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分10分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c . (Ⅰ)若 b ? c ? a ? bc ,求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a cos A ? b cos B ,试判断 ?ABC 的形状.
2 2 2

18. (本小题满分 12 分) 已知公差不为零的等差数列 {an } ,若 a1 ? 1 ,且 a1,a2,a5 成等比数列.

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2n ,求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 S n .

19. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,且 3a ? 2c sin A (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 ?ABC 为锐角三角形,且 c ? 2 ,且 a ? b ? 3 ,求 ?ABC 的面积.

20. (本小题满分 12 分)
1) ,且 b2 ? 6b ? 9 ? 0 . 已知 f ( x) ? kx ? b 的图象过点 (2 ,

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若 a ? 0 ,解关于 x 的不等式 x 2 ? (a 2 ? a ? 1) x ? a 3 ? 3 ? f ( x) .

21. (本小题满分 12 分) 某厂生产 A 产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件需另投入成本 C ( x) 万元.当年

1 产 量 不 足 80 千 件 时 C ( x) ? x2 ? 10 x ( 万 元 ) ; 当 年 产 量 不 小 于 80 千 件 时 3 C( x) ? 51x ? 10000 ,每千件产品的售价为 50 万元,该厂生产的产品能全部 ? 1450 (万元) x

售完. (Ⅰ)写出年利润 L( x) 万元关于 x (千件)的函数关系; (Ⅱ)当年产量为多少千件时该厂当年的利润最大?

22. (本小题满分 12 分)

3 3 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn = n2 ? n . 2 2 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; a ?a (Ⅱ) 记 Tn ? n n n?1 , 若对于一切的正整数 n , 总有 Tn ? m 成立, 求实数 m 的取值范围. 2

2015-2016 年宁德市五校联考高二(上) 数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如 果考生的解法与本解法不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分 细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程 度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的 解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 60 分. 1.C 2.D 3.B 4.D 5.A 6.C 7. B 8.A 9.C 10.B 11.C 12.B 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 20 分. 27 2 13. (??, ?2) ? (3, ??) 14.10 15. (3n ? 2)2 16. 8 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. b2+c2-a2 bc 1 17.解: (Ⅰ)由已知得 cosA= = = ,……………………………3 分 2bc 2bc 2 π 又∠A 是△ABC 的内角,∴A= .……………………………5 分 3 (Ⅱ)在△ABC 中,由 a cos A ? b cos B ,得 sin A cos A ? sin B cos B ,………………6 分 ∴ sin 2 A ? sin 2 B . ……………………………7 分 ∴ 2A ? 2B 或 2 A+2 B =? . ……………………………9 分 ? ∴ A ? B 或 A+B= 2 ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形.……………………………10 分 18.解: (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d . ∵ a1 ? 1 ,且 a1,a2,a5 成等比数列,

∴ a22 ? a1 ? a5 ,即 (1 ? d )2 ? 1? (1 ? 4d ) ,……………2 分 ∴ d 2 ? 2d , ∵ d ? 0 ,∴ d ? 2 .……………4 分 ∴ an =2n ? 1 .……………6 分 (Ⅱ) an ? bn =2n ? 1 ? 2n , Sn=(1+2)+(3+22)+(5+23)+…+( 2n ? 1 ? 2 n ).……………7 分 =(1+3+5+…+ 2n ?1 )+(2+22+23+…+ 2 n ).……………8 分 =
(1 ? 2n ? 1) ? n 2(1 ? 2n ) ……………10 分 ? 2 1? 2

? n 2 ? 2n ?1 ? 2 .……………………………12 分

19.解(Ⅰ)∵ 3a ? 2c sin A ,由正弦定理得

3 sin A ? 2sin C sin A , ……………………1 分 ∵ sin A ? 0 , 3 ∴ sin C ? .……………………3 分 2
∵0 ? C ? ?, ? ?? ∴ C = 或 C= .……………………5 分 ? ? (Ⅱ)∵ ?ABC 为锐角三角形, ? ∴ C = .……………………6 分 ? 由 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ,……………………7 分 即 4 ? a 2 ? b2 ? ab ? (a ? b)2 ? 3ab ? 9 ? 3ab ,……………………9 分 5 ∴ ab = .……………………10 分 3 1 1 5 3 5 3 ? ∴ S?ABC ? ab sin C = ? ? .……………………12 分 2 2 3 2 12

?2k ? b ? 1, 20.解: (Ⅰ)根据题意得 ? ………………2 分 2 ?(b ? 3) ? 0.
?k ? ?1, 解得 ? ………………4 分 ?b ? 3.

∴ f ( x) ? ? x ? 3 .………………5 分 (Ⅱ)原不等式可化为 x 2 ? (a 2 ? a ? 1) x ? a 3 ? 3 ? ? x ? 3 , 即 x 2 ? (a 2 ? a) x ? a 3 ? 0 ,………………6 分 即 ( x ? a )( x ? a ) ? 0 ,……………………7 分
2

由 a ? 0 ,当 a ? a ,即 0 ? a ? 1 时,
2

原不等式的解为 a ? x ? a ; ……………………9 分
2

当 a =a ,即 a ? 1 时,原不等式的解集为 ? ; ……………………10 分
2 2 当 a ? a ,即 a ? 1 时,

原不等式的解为 a ? x ? a .……………………12 分
2

综上所述,当 0 ? a ? 1 时,原不等式的解为 a ? x ? a ,
2

当 a ? 1 时,原不等式的解集为 ? ,
2 当 a ? 1 时,原不等式的解为 a ? x ? a .

21.解: (Ⅰ)由题意可知,当 0 ? x ? 80 时,

1 1 L( x) ? 50 x ? ( x2 ? 10 x) ? 250 ? ? x2 ? 40 x ? 250 ; ……………………2 分 3 3 当 x ? 80 时, 10000 10000 L( x) ? 50x ? (51x ? ? 1450) ? 250 ? 1200 ? ( x ? ) ,……………………4 分 x x
? 1 2 ? x ? 40 x ? 250,0 ? x ? 80, ? ? 3 ∴ L( x) ? ? ……………………5 分 ?1200 ? ( x ? 10000 ), x ? 80. ? x ?

1 1 (Ⅱ)当 0 ? x ? 80 时, L( x) ? ? x2 ? 40x ? 250 ? ? ( x ? 60)2 ? 950 , 3 3
∴ x =60 时, L( x)max ? 950 ; ……………………8 分 当 x ? 80 时,
L( x) ? 1200 ? ( x ? 10000 10000 ) ? 1200 ? 2 x ? ? 1000 .……………………9 分 x x

当且仅当 x=

10000 ,即 x ? 100 时 L( x) 取最大值 1000 .………………………11 分 x

综上所述,当 x ? 100 时, L( x)max ? 1000 . 故当年产量为 100 千件时该厂当年的利润最大.………………12 分 22.解: (Ⅰ)当 n ? 2 时, S n -1 =

3 3 (n ? 1) 2 ? (n ? 1) , 2 2

∴ an ? Sn ? Sn?1 ? 3n ,………………………… 2 分 又 n =1 时, a1 =S1 ? 3 满足上式,………………3 分 所以 an ? 3n .…………………………4 分

(Ⅱ) Tn ?

an ? an ?1 9n(n ? 1) = ………………5 分 2n 2n

∴ Tn ?1

9(n ? 1)(n ? 2) n ? 2 ,…………………7 分 2n ?1 ? ? 9n(n ? 1) Tn 2n n 2

当 n ? 1, 2 时, Tn?1 ? Tn ,………………8 分 当 n ? 3 时, n ? 2 ? 2n ? Tn?1 ? Tn ,………………9 分 ∴ n ? 1 时, T1 ? 9 , n ? 2,3 时, T2 ? T3 ?

27 , 2

n ? 4 时, Tn ? T3 ,

27 .…………………………11 分 2 27 ? m, 要使 Tn ? m 对于一切的正整数 n 恒成立,只需 2 27 ∴m ? .…………………………12 分 2
∴ ?Tn ? 中的最大值为 T2 ? T3 ?



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